常微分方程是未知函數只含有一個自變量的微分方程。
其實,在之前的學習過程中,你已經研究過一些非常簡單的微分方程的解。比如說
其中為函數,你實際上是在解微分方程
符號和術語[編輯]
使用恰當的符號可以讓我們解微分方程更容易。
本文將主要使用以下四個符號來表示的導數:
- (用於可分離變量方程)
考慮如下微分方程
方程中導數最高為2階,因此我們說該方程為二階微分方程。
一些簡單的微分方程[編輯]
求解微分方程的一個關鍵思想是積分。
我們來考慮下面這個二階微分方程
我們怎麼解決這個問題呢?方程告訴我們,求兩次導以後,得到常數2,所以,如果我們積分兩次,應該就能算出答案。
積分一次:
我們已經把困難的二階微分方程轉化成了一個簡單點的方程,即
這個等式告訴我們,把函數求一次導,可以得到。我們再積分一次,就能算出答案了。
這就是微分方程的解。對任意和 ,都有。
和與初始條件的值有關。如果待解方程給定了初始條件,我們可以在積分之後替換進去。
求解 ,初始條件為,。
解答過程會比上面多這麼幾步:
如果沒有初始條件,我們算出的答案就叫通解;如果有初始條件,就叫特解。
基本一階微分方程[編輯]
在本節中,我們將研究四種微分方程:
此外,還有許多其他形式的微分方程,將在下一節中討論。
可分離變量方程[編輯]
可分離變量方程基本形式為(這裡使用更方便)
之前我們只處理過的微分方程。上面那個可分離變量方程怎麼解決呢?
我們把變量和、和放到一起
兩邊分別對和積分
便能得到解答。
求解
分離變量
兩邊積分
令,其中為常數,得到
這便是上述方程的通解。
這一步不是必要的,但是可以用來驗證答案的正確性。
我們算出來的答案是
題目是
把答案對微分,得
由於,所以
我們得到了題給的微分方程,因此我們的答案是正確的。
齊次方程[編輯]
齊次方程形式為
這看起來很困難,但我們可以令,得到
現在只需處理而非了。
再用來表示,即,
於是
就變成了可分離變量方程。
求解
我們把式子寫成這樣
令,得到
再用來表示
兩邊消去,化簡
分離變量
兩邊積分
這便是上述方程的通解。
線性方程[編輯]
一階線性微分方程形式為
注意到方程兩邊同時乘或除的任意非零函數,都不會對解產生影響。
乍一看,等式左邊不能直接積分。但是,有一個特殊情況。如果是的導數,我們就可以這麼辦
現在,積分就很簡單了。
我們把原方程兩邊同時乘以任意一個函數,得到
我們假設如下條件:
如果這個條件滿足,就可以用上面說的那種辦法了。
這個條件其實等價於
積分,得
把常數設為1,不會對結果產生影響。
代入原方程,得
化簡,得
兩邊積分並除以 得
我們稱為積分因子。類似的方法也可用於其他一些微積分問題。
求解
- ,初始條件為
首先算出積分因子
方程兩邊同時乘,得
或
積分,得
全微分方程[編輯]
全微分方程形式為
且有性質
- (即對的導數等於對的導數)
(如果微分方程沒有這個性質,那麼我們就不能再繼續解下去了。)
因此,如果我們有一個全微分方程,那麼就存在一個函數使得
- ,且
於是解的形式為
便可通過積分找到。
基本二階和高階常微分方程[編輯]
階常微分方程的通解會含有個積分常量。要把它們都計算出來,我們還需要個方程。大多數情況下,題目會給定
- 邊緣條件,即取兩個不同的值時及其導數的值
或者
- 初始條件,即取某一值時及其前階導數的值。
可降階常微分方程[編輯]
一、如果自變量不出現在微分方程中,那麼我們便可以把二階微分方程降為一階微分方程。
考慮方程
令
則
將這兩個表達式代入原方程,我們得到
- =0
這便是一個一階微分方程。
求解
其中當時,。
首先,我們進行代換,得到
這是一個一階常微分方程。整理並分離變量,得
兩邊積分,得
我們知道了當時和的值,所以我們可以求出
接下來
然後開平方根
要找到根號外面是取正號還是取負號,我們可以再用一遍初始條件,便可以把符號排除,得到
其解為
因為當時,所以,於是
二、如果因變量不出現在微分方程中,那麼我們也可以把二階微分方程降為一階微分方程。
考慮方程
令
則
將這兩個表達式代入原方程,我們得到
- =0
這便是一個一階微分方程。
線性常微分方程[編輯]
稱形如
的常微分方程為線性。這類方程比典型的非線性常微分方程更容易解決。初等函數只能解決少數特殊情況,但一般的線性常微分方程的解法超出本書討論範圍。
若對任意,,則稱該常微分方程齊次。
一般的線性方程有這麼兩個有用的性質:
- 一個齊次線性方程的解的任意線性組合都是該方程的解;
- 如果已知一個非齊次線性方程的解,我們給它加上對應的齊次線性方程的任意一個解,就會得到該非齊次線性方程的另一個解。
常數變易法[編輯]
假設我們有一個線性常微分方程
並且我們知道它的一個解為。
由性質可知總是原方程的一個解,因此方程便變為的階線性方程。
我們知道為常數是方程的一個解,因此的這個常微分方程一定不含有項,所以它實際上是一個階線性常微分方程,這樣便使方程降了一階。
求解
方程的一個解為,因此我們把代入方程,得到
化簡,得
這是一個的一階方程,解得
- ,
由於方程是線性的,兩個解的線性組合便是通解,即
常係數線性齊次常微分方程[編輯]
假設我們有一個常微分方程
我們猜測有一個解為
這個函數,因此方程變為
顯然是一個解,不考慮。我們只需研究
這是原方程的特徵方程。
這個方程可以有多達個解,每一個都對應着原方程的一個解。
由於方程是線性的,個解的線性組合便是通解,即
如果常微分方程是二階
那麼特徵方程就是二次方程
其根為
依的符號不同,我們有以下三種情況:
一、
此時方程有兩個不同實根,我們可直接寫出解
二、
此時方程有兩個虛根。我們可以像上面那樣直接把它們寫到表達式中,但其實還有另一種更好的形式。
令,則解為
這個表達式如果是實數,兩個必定共軛,即
代入,得
三、
此時方程有兩個相等的實根。我們得使用另一種方法來找到另一個不同的解。
為此,我們使用常數變易法。用表示和,待解方程變為
從這個特徵方程我們可以知道方程的一個解是,因此我們令,得到
所以,於是
- ,
所以這第二個解就是第一個解乘。
高階方程的處理方法也是這樣的。比如說,如果特徵方程是這樣的:
那麼對應的常微分方程的通解就是
過程中最困難的部分就是找到特徵方程的解。