微积分学/常微分方程

常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程。

其实，在之前的学习过程中，你已经研究过一些非常简单的微分方程的解。比如说

$\int f(x)\mathrm {d} x=g(x)$

其中$g(x)$为函数，你实际上是在解微分方程

$g'(x)=f(x)\,$

符号和术语

使用恰当的符号可以让我们解微分方程更容易。

本文将主要使用以下四个符号来表示$f$的导数：

• $\mathrm {D} y$
• $f'$
• $\mathrm {d} f$
• ${\mathrm {d} f \over \mathrm {d} x}$（用于可分离变量方程）

术语

考虑如下微分方程

$3f^{\prime \prime }(x)+5xf(x)=11$

方程中导数最高为2阶，因此我们说该方程为二阶微分方程。

一些简单的微分方程

求解微分方程的一个关键思想是积分。

我们来考虑下面这个二阶微分方程

$f''(x)=2\,$

我们怎么解决这个问题呢？方程告诉我们，求两次导以后，得到常数2，所以，如果我们积分两次，应该就能算出答案。

积分一次：

$\int f''(x)\,dx=\int 2\,dx$

$f'(x)=2x+C_{1}\,$

我们已经把困难的二阶微分方程转化成了一个简单点的方程，即

$f'(x)=2x+C_{1}\,$

这个等式告诉我们，把函数求一次导，可以得到$2x+C_{1}$。我们再积分一次，就能算出答案了。

$\int f'(x)\,dx=\int 2x+C_{1}\,dx$

$f(x)=x^{2}+C_{1}x+C_{2}\,$

这就是微分方程的解。对任意$C_{1}$和 $C_{2}$，都有$f''=2\,$。

$C_{1}$和$C_{2}$与初始条件的值有关。如果待解方程给定了初始条件，我们可以在积分之后替换进去。

例题

求解 $f''(x)=2\,$，初始条件为$f'(0)=3\,$，$f(0)=2\,$。

解答过程会比上面多这么几步：

$f'(0)=2(0)+C_{1}\,$

$3=C_{1}\,$

$\int f'(x)\,dx=\int 2x+3\,dx$

$f(x)=x^{2}+3x+C_{2}\,$

$f(0)=0^{2}+3(0)+C_{2}\,$

$2=C_{2}\,$

$f(x)=x^{2}+3x+2\,$

如果没有初始条件，我们算出的答案就叫通解；如果有初始条件，就叫特解。

基本一阶微分方程

在本节中，我们将研究四种微分方程：

• 可分离变量方程
• 齐次方程
• 线性方程
• 全微分方程

此外，还有许多其他形式的微分方程，将在下一节中讨论。

可分离变量方程

可分离变量方程基本形式为（这里使用${dy \over dx}$更方便）

${dy \over dx}={f(x) \over g(y)}$

之前我们只处理过$g(y)=1$的微分方程。上面那个可分离变量方程怎么解决呢？

我们把变量$x$和$dx$、$y$和$dy$放到一起

$g(y)\ dy=f(x)\ dx$

两边分别对$y$和$x$积分

$\int g(y)\,dy=\int f(x)\,dx+C$

便能得到解答。

例题

求解

${dy \over dx}=3x^{2}y$

分离变量

${dy \over y}=(3x^{2})\,dx$

两边积分

$\int {dy \over y}=\int 3x^{2}\,dx$

$\ln {y}=x^{3}+C\,\!$

$y=e^{x^{3}+C}$

令$k=e^{C}$，其中$k$为常数，得到

$y=ke^{x^{3}}$

这便是上述方程的通解。

验算

这一步不是必要的，但是可以用来验证答案的正确性。

我们算出来的答案是

$y=ke^{x^{3}}$

题目是

${dy \over dx}=3x^{2}y$

把答案对$x$微分，得

${dy \over dx}=3kx^{2}e^{x^{3}}$

由于$y=ke^{x^{3}}$，所以

${dy \over dx}=3x^{2}y$

我们得到了题给的微分方程，因此我们的答案是正确的。

齐次方程

齐次方程形式为

${dy \over dx}=f({y \over x})$

这看起来很困难，但我们可以令$v={y \over x}$，得到

${dy \over dx}=f(v)$

现在只需处理$f(v)$而非$f({y \over x})$了。

再用$v$来表示$y$，即$y=vx$，

${dy \over dx}={dvx \over dx}=v+x{dv \over dx}$

于是

$v+x{dv \over dx}=f(v)$

$x{dv \over dx}=f(v)-v$

${dv \over dx}={f(v)-v \over x}$

就变成了可分离变量方程。

例题

求解

${dy \over dx}={y^{2}+x^{2} \over yx}$

我们把式子写成这样

${dy \over dx}={y^{2} \over yx}+{x^{2} \over yx}$

${dy \over dx}={x \over y}+{y \over x}$

令$v={y \over x}$，得到

${dy \over dx}={1 \over v}+v$

再用$v$来表示$y$

$v+x{dv \over dx}={1 \over v}+v$

两边消去$v$，化简

$x{dv \over dx}={1 \over v}$

分离变量

$v\,dv={dx \over x}$

两边积分

${1 \over 2}v^{2}+C=\ln(x)\,$

${1 \over 2}\left({y \over x}\right)^{2}=\ln(x)-C$

$y^{2}=2x^{2}\ln(x)-2Cx^{2}\,$

$y=x{\sqrt {2\ln(x)-2C}}$

这便是上述方程的通解。

线性方程

一阶线性微分方程形式为

$a(x){dy \over dx}+b(x)y=c(x)$

注意到方程两边同时乘或除$x$的任意非零函数，都不会对解产生影响。

乍一看，等式左边不能直接积分。但是，有一个特殊情况。如果$b$是$a$的导数，我们就可以这么办

$a(x){dy \over dx}+b(x)y=a(x){dy \over dx}+y{da \over dx}={d \over dx}a(x)y$

现在，积分就很简单了。

我们把原方程两边同时乘以任意一个函数$I(x)$，得到

$aI{dy \over dx}+bIy=cI$

我们假设如下条件：

${\frac {d}{dx}}aI=bI$

如果这个条件满足，就可以用上面说的那种办法了。

这个条件其实等价于

${\frac {1}{I}}{\frac {dI}{dx}}={\frac {b-{\frac {da}{dx}}}{a}}$

积分，得

$\ln I(x)=\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz-\ln a(x)+c\quad$

$I(x)={\frac {k}{a(x)}}e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}$

把常数$k$设为1，不会对结果产生影响。

代入原方程，得

$e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{dy \over dx}+e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {b(x)}{a(x)}}y=e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {c(x)}{a(x)}}$

化简，得

${d \over dx}(ye^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz})=e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {c(x)}{a(x)}}$

两边积分并除以$e^{I}$ 得

$y=e^{-\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}\left(\int e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {c(x)}{a(x)}}dx+C\right)$

我们称$I$为积分因子。类似的方法也可用于其他一些微积分问题。

例题

求解

${\frac {dy}{dx}}+y\tan x=1$，初始条件为$y(0)=0$

首先算出积分因子$I$

$I=e^{\int \tan xdx}=e^{\ln \sec x}=\sec x$

方程两边同时乘$I$，得

$\sec x{\frac {dy}{dx}}+y\sec x\tan x=\sec x$

或

${\frac {d}{dx}}y\sec x=\sec x$

积分，得

$y=\cos x\int _{0}^{x}\sec z\,dz=\cos x\ln(\sec x+\tan x)$

全微分方程

全微分方程形式为

$f(x,y)dx+g(x,y)dy=0$

且有性质

$D_{x}f=D_{y}g$（即$f$对$x$的导数等于$g$对$y$的导数）

（如果微分方程没有这个性质，那么我们就不能再继续解下去了。）

因此，如果我们有一个全微分方程，那么就存在一个函数$h(x,y)$使得

$D_{y}h=f$，且$D_{x}h=g$

于是解的形式为

$h(x,y)=c$

便可通过积分找到$h(x,y)$。

基本二阶和高阶常微分方程

$n$阶常微分方程的通解会含有$n$个积分常量。要把它们都计算出来，我们还需要$n$个方程。大多数情况下，题目会给定

边缘条件，即$x$取两个不同的值时$y$及其导数的值

或者

初始条件，即$x$取某一值时$y$及其前$n-1$阶导数的值。

可降阶常微分方程

一、如果自变量$x$不出现在微分方程中，那么我们便可以把二阶微分方程降为一阶微分方程。

考虑方程

$F\left(y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)=0$

令

$u={\frac {dy}{dx}}$

则

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {du}{dx}}={\frac {du}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dy}}\cdot u$

将这两个表达式代入原方程，我们得到

$F\left(y,u,{\frac {du}{dy}}\cdot u\right)$=0

这便是一个一阶微分方程。

例题

求解

$1+2y^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0$

其中当$x=0$时，$y=y'=1$。

首先，我们进行代换，得到

$1+2y^{2}u{\frac {du}{dy}}=0$

这是一个一阶常微分方程。整理并分离变量，得

$udu=-{\frac {dy}{2y^{2}}}$

两边积分，得

${\frac {u^{2}}{2}}=c+{\frac {y}{2}}$

我们知道了当$x=0$时$y$和$u$的值，所以我们可以求出$c$

$c={\frac {u^{2}}{2}}-{\frac {y}{2}}={\frac {1^{2}}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 1}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}=0$

接下来

${\frac {dy}{dx}}^{2}=u^{2}={\frac {1}{y}}$

然后开平方根

${\frac {dy}{dx}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {y}}}$

要找到根号外面是取正号还是取负号，我们可以再用一遍初始条件，便可以把符号排除，得到

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {y}}}$

其解为

${\frac {2}{3}}y^{\frac {3}{2}}=x+d$

因为当$x=0$时$y=1$，所以$d={\frac {2}{3}}$，于是

$y=\left(1+{\frac {3x}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}$

二、如果因变量$y$不出现在微分方程中，那么我们也可以把二阶微分方程降为一阶微分方程。

考虑方程

$F\left(x,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)=0$

令

$u={\frac {dy}{dx}}$

则

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {du}{dx}}$

将这两个表达式代入原方程，我们得到

$F\left(x,u,{\frac {du}{dx}}\right)$=0

这便是一个一阶微分方程。

线性常微分方程

称形如

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a_{1}(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+...+a_{n}y=F(x)$

的常微分方程为线性。这类方程比典型的非线性常微分方程更容易解决。初等函数只能解决少数特殊情况，但一般的线性常微分方程的解法超出本书讨论范围。

若对任意$x$，$F(x)=0$，则称该常微分方程齐次。

一般的线性方程有这么两个有用的性质：

1. 一个齐次线性方程的解的任意线性组合都是该方程的解；
2. 如果已知一个非齐次线性方程的解，我们给它加上对应的齐次线性方程的任意一个解，就会得到该非齐次线性方程的另一个解。

常数变易法

假设我们有一个线性常微分方程

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a_{1}(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+...+a_{n}(x)y=0$

并且我们知道它的一个解为$y=w(x)$。

由性质可知$y=wz$总是原方程的一个解，因此方程便变为$z$的$n$阶线性方程。

我们知道$z$为常数是方程的一个解，因此$z$的这个常微分方程一定不含有$z$项，所以它实际上是一个$n-1$阶线性常微分方程，这样便使方程降了一阶。

例题

求解

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {6}{x^{2}}}y=0$

方程的一个解为$y=x^{2}$，因此我们把$y=zx^{2}$代入方程，得到

$\left(x^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+4x{\frac {dz}{dx}}+2z\right)+{\frac {2}{x}}\left(x^{2}{\frac {dz}{dx}}+2xz\right)-{\frac {6}{x^{2}}}x^{2}z=0$

化简，得

$x^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+6x{\frac {dz}{dx}}=0$

这是一个${\frac {dz}{dx}}$的一阶方程，解得

$z=Cx^{-5}$，$y=Cx^{-3}$

由于方程是线性的，两个解的线性组合便是通解，即

$y=C_{1}x^{-3}+C_{2}x^{2}$

常系数线性齐次常微分方程

假设我们有一个常微分方程

$(D^{n}+a_{1}D^{n-1}+...+a_{n-1}D+a_{0})y=0$

我们猜测有一个解为

$y=e^{px}$

这个函数$D^{n}y=p^{n}y$，因此方程变为

$(p^{n}+a_{1}p^{n-1}+...+a_{n-1}p+a_{0})y=0$

$y=0$显然是一个解，不考虑。我们只需研究

$p^{n}+a_{1}p^{n-1}+...+a_{n-1}p+a_{0}=0$

这是原方程的特征方程。

这个方程可以有多达$n$个解$p_{1},p_{2},...,p_{n}$，每一个$p$都对应着原方程的一个解。

由于方程是线性的，$n$个解的线性组合便是通解，即

$y=C_{1}e^{p_{1}x}+C_{2}e^{p_{2}x}+...+C_{n}e^{p_{n}x}$

二阶

如果常微分方程是二阶

$D^{2}y+bDy+cy=0$

那么特征方程就是二次方程

$p^{2}+bp+c=0$

其根为

$p_{\pm }={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}$

依$b^{2}-4c$的符号不同，我们有以下三种情况：

一、$b^{2}-4c>0$

此时方程有两个不同实根，我们可直接写出解

$y=C_{1}e^{p_{+}}+C_{2}e^{p_{-}}$

二、$b^{2}-4c<0$

此时方程有两个虚根。我们可以像上面那样直接把它们写到表达式中，但其实还有另一种更好的形式。

令$k^{2}=4c-b^{2}$，则解为

$y=C_{+}e^{ikx-{\frac {bx}{2}}}+C_{-}e^{-ikx-{\frac {bx}{2}}}$

这个表达式如果是实数，两个$C$必定共轭，即

$C_{\pm }=Ce^{\pm ia}$

代入，得

$y=Ce^{\frac {-bx}{2}}\cos(kx+c)$

三、$b^{2}-4c=0$

此时方程有两个相等的实根$p=-{\frac {b}{2}}$。我们得使用另一种方法来找到另一个不同的解。

为此，我们使用常数变易法。用$p$表示$b$和$c$，待解方程变为

$D^{2}y-2pDy+p^{2}y=0$

从这个特征方程我们可以知道方程的一个解是$y=e^{px}$，因此我们令$y=ze^{px}$，得到

$(e^{px}D^{2}z+2pe^{px}Dz+p^{2}e^{px}z)-2p(e^{px}Dz+pe^{px}z)+p^{2}e^{px}z=0$

所以$D^{2}z=0$，于是

$z=C_{1}x+C_{2}$，$y=(C_{1}x+C_{2})e^{px}$

所以这第二个解就是第一个解乘$x$。

高阶方程的处理方法也是这样的。比如说，如果特征方程是这样的：

$(p-1)^{4}(p-3)(p^{2}+1)^{2}=0$

那么对应的常微分方程的通解就是

$y=(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{4}x^{3})e^{x}+C_{5}e^{3x}+C_{6}\cos(x+c_{1})+C_{7}x\cos(x+c_{2})$

过程中最困难的部分就是找到特征方程的解。