常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程。
其实,在之前的学习过程中,你已经研究过一些非常简单的微分方程的解。比如说
其中为函数,你实际上是在解微分方程
符号和术语[编辑]
使用恰当的符号可以让我们解微分方程更容易。
本文将主要使用以下四个符号来表示的导数:
- (用于可分离变量方程)
考虑如下微分方程
方程中导数最高为2阶,因此我们说该方程为二阶微分方程。
一些简单的微分方程[编辑]
求解微分方程的一个关键思想是积分。
我们来考虑下面这个二阶微分方程
我们怎么解决这个问题呢?方程告诉我们,求两次导以后,得到常数2,所以,如果我们积分两次,应该就能算出答案。
积分一次:
我们已经把困难的二阶微分方程转化成了一个简单点的方程,即
这个等式告诉我们,把函数求一次导,可以得到。我们再积分一次,就能算出答案了。
这就是微分方程的解。对任意和 ,都有。
和与初始条件的值有关。如果待解方程给定了初始条件,我们可以在积分之后替换进去。
求解 ,初始条件为,。
解答过程会比上面多这么几步:
如果没有初始条件,我们算出的答案就叫通解;如果有初始条件,就叫特解。
基本一阶微分方程[编辑]
在本节中,我们将研究四种微分方程:
此外,还有许多其他形式的微分方程,将在下一节中讨论。
可分离变量方程[编辑]
可分离变量方程基本形式为(这里使用更方便)
之前我们只处理过的微分方程。上面那个可分离变量方程怎么解决呢?
我们把变量和、和放到一起
两边分别对和积分
便能得到解答。
求解
分离变量
两边积分
令,其中为常数,得到
这便是上述方程的通解。
这一步不是必要的,但是可以用来验证答案的正确性。
我们算出来的答案是
题目是
把答案对微分,得
由于,所以
我们得到了题给的微分方程,因此我们的答案是正确的。
齐次方程[编辑]
齐次方程形式为
这看起来很困难,但我们可以令,得到
现在只需处理而非了。
再用来表示,即,
于是
就变成了可分离变量方程。
求解
我们把式子写成这样
令,得到
再用来表示
两边消去,化简
分离变量
两边积分
这便是上述方程的通解。
线性方程[编辑]
一阶线性微分方程形式为
注意到方程两边同时乘或除的任意非零函数,都不会对解产生影响。
乍一看,等式左边不能直接积分。但是,有一个特殊情况。如果是的导数,我们就可以这么办
现在,积分就很简单了。
我们把原方程两边同时乘以任意一个函数,得到
我们假设如下条件:
如果这个条件满足,就可以用上面说的那种办法了。
这个条件其实等价于
积分,得
把常数设为1,不会对结果产生影响。
代入原方程,得
化简,得
两边积分并除以 得
我们称为积分因子。类似的方法也可用于其他一些微积分问题。
求解
- ,初始条件为
首先算出积分因子
方程两边同时乘,得
或
积分,得
全微分方程[编辑]
全微分方程形式为
且有性质
- (即对的导数等于对的导数)
(如果微分方程没有这个性质,那么我们就不能再继续解下去了。)
因此,如果我们有一个全微分方程,那么就存在一个函数使得
- ,且
于是解的形式为
便可通过积分找到。
基本二阶和高阶常微分方程[编辑]
阶常微分方程的通解会含有个积分常量。要把它们都计算出来,我们还需要个方程。大多数情况下,题目会给定
- 边缘条件,即取两个不同的值时及其导数的值
或者
- 初始条件,即取某一值时及其前阶导数的值。
可降阶常微分方程[编辑]
一、如果自变量不出现在微分方程中,那么我们便可以把二阶微分方程降为一阶微分方程。
考虑方程
令
则
将这两个表达式代入原方程,我们得到
- =0
这便是一个一阶微分方程。
求解
其中当时,。
首先,我们进行代换,得到
这是一个一阶常微分方程。整理并分离变量,得
两边积分,得
我们知道了当时和的值,所以我们可以求出
接下来
然后开平方根
要找到根号外面是取正号还是取负号,我们可以再用一遍初始条件,便可以把符号排除,得到
其解为
因为当时,所以,于是
二、如果因变量不出现在微分方程中,那么我们也可以把二阶微分方程降为一阶微分方程。
考虑方程
令
则
将这两个表达式代入原方程,我们得到
- =0
这便是一个一阶微分方程。
线性常微分方程[编辑]
称形如
的常微分方程为线性。这类方程比典型的非线性常微分方程更容易解决。初等函数只能解决少数特殊情况,但一般的线性常微分方程的解法超出本书讨论范围。
若对任意,,则称该常微分方程齐次。
一般的线性方程有这么两个有用的性质:
- 一个齐次线性方程的解的任意线性组合都是该方程的解;
- 如果已知一个非齐次线性方程的解,我们给它加上对应的齐次线性方程的任意一个解,就会得到该非齐次线性方程的另一个解。
常数变易法[编辑]
假设我们有一个线性常微分方程
并且我们知道它的一个解为。
由性质可知总是原方程的一个解,因此方程便变为的阶线性方程。
我们知道为常数是方程的一个解,因此的这个常微分方程一定不含有项,所以它实际上是一个阶线性常微分方程,这样便使方程降了一阶。
求解
方程的一个解为,因此我们把代入方程,得到
化简,得
这是一个的一阶方程,解得
- ,
由于方程是线性的,两个解的线性组合便是通解,即
常系数线性齐次常微分方程[编辑]
假设我们有一个常微分方程
我们猜测有一个解为
这个函数,因此方程变为
显然是一个解,不考虑。我们只需研究
这是原方程的特征方程。
这个方程可以有多达个解,每一个都对应着原方程的一个解。
由于方程是线性的,个解的线性组合便是通解,即
如果常微分方程是二阶
那么特征方程就是二次方程
其根为
依的符号不同,我们有以下三种情况:
一、
此时方程有两个不同实根,我们可直接写出解
二、
此时方程有两个虚根。我们可以像上面那样直接把它们写到表达式中,但其实还有另一种更好的形式。
令,则解为
这个表达式如果是实数,两个必定共轭,即
代入,得
三、
此时方程有两个相等的实根。我们得使用另一种方法来找到另一个不同的解。
为此,我们使用常数变易法。用表示和,待解方程变为
从这个特征方程我们可以知道方程的一个解是,因此我们令,得到
所以,于是
- ,
所以这第二个解就是第一个解乘。
高阶方程的处理方法也是这样的。比如说,如果特征方程是这样的:
那么对应的常微分方程的通解就是
过程中最困难的部分就是找到特征方程的解。