微积分学/比较审敛法

比较审敛法

比较审敛法

若级数$S=\sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}$和$Z=\sum _{n=j}^{\infty }{z_{n}}$在区间$[j,\infty )$上满足$0\leq z_{n}\leq s_{n}$，则

1. 若$Z$发散，则$S$发散
2. 若$S$收敛，则$Z$收敛

例1

已知级数$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$发散，判断下列级数敛散性：

1. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}$
2. $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n-1}}$
3. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{n}}$
4. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}$
5. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

解答

1. 级数可改写为$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n}}$，故级数发散。
2. 级数可改写为$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$，故级数发散。
3. 级数可改写为$3\times \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$，即 $3\times \infty$，故级数发散。
4. 对任意$n$，${\frac {1}{\sqrt {n}}}$大于${\frac {1}{n}}$，故级数发散。
5. 对任意$n$，${\frac {1}{n^{2}}}$小于${\frac {1}{n}}$，故需要进一步分析以确定级数敛散性。

例2

已知级数$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$收敛，判断下列级数敛散性：

1. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$
2. $\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-n}}$
3. $\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2^{n}}}\sin ^{2}x}$
4. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{2^{n}}}$
5. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1.5^{n}}}$
6. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}$

解答

1. $n^{-2}$递减的速度比$2^{-n}$快，但级数不满足$0\leq z_{n}\leq s_{n}$，因为$n<2$时$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$大于$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$。为此，我们可删掉第一项，得到$1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$和$2+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$。比较$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$和$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$可得 $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$收敛。
2. 对任意$n$，$\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-n}}$小于 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$，故级数收敛。
3. 对任意$n$，$0$小于$\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2^{n}}}\sin ^{2}x}$小于等于$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$，故级数收敛。
4. 级数可改写为$2\times \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$，故级数收敛。
5. 对任意$n$，$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1.5^{n}}}$大于$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$，故需要进一步分析以确定级数敛散性。
6. 级数不满足非负的要求，故需要进一步分析以确定级数敛散性。