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微積分學/比較審斂法

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比較審斂法[編輯]

比較審斂法

若級數在區間上滿足,則

  1. 發散,則發散
  2. 收斂,則收斂

例1[編輯]

已知級數發散,判斷下列級數斂散性:

解答[編輯]

  1. 級數可改寫為,故級數發散。
  2. 級數可改寫為,故級數發散。
  3. 級數可改寫為,即 ,故級數發散。
  4. 對任意大於,故級數發散。
  5. 對任意小於,故需要進一步分析以確定級數斂散性。

例2[編輯]

已知級數收斂,判斷下列級數斂散性:

解答[編輯]

  1. 遞減的速度比快,但級數不滿足,因為大於。為此,我們可刪掉第一項,得到。比較可得 收斂。
  2. 對任意小於 ,故級數收斂。
  3. 對任意小於小於等於,故級數收斂。
  4. 級數可改寫為,故級數收斂。
  5. 對任意大於,故需要進一步分析以確定級數斂散性。
  6. 級數不滿足非負的要求,故需要進一步分析以確定級數斂散性。