微積分學/比較審斂法

比較審斂法

比較審斂法

若級數$S=\sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}$和$Z=\sum _{n=j}^{\infty }{z_{n}}$在區間$[j,\infty )$上滿足$0\leq z_{n}\leq s_{n}$，則

1. 若$Z$發散，則$S$發散
2. 若$S$收斂，則$Z$收斂

例1

已知級數$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$發散，判斷下列級數斂散性：

1. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}$
2. $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n-1}}$
3. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{n}}$
4. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}$
5. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

解答

1. 級數可改寫為$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n}}$，故級數發散。
2. 級數可改寫為$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$，故級數發散。
3. 級數可改寫為$3\times \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$，即 $3\times \infty$，故級數發散。
4. 對任意$n$，${\frac {1}{\sqrt {n}}}$大於${\frac {1}{n}}$，故級數發散。
5. 對任意$n$，${\frac {1}{n^{2}}}$小於${\frac {1}{n}}$，故需要進一步分析以確定級數斂散性。

例2

已知級數$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$收斂，判斷下列級數斂散性：

1. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$
2. $\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-n}}$
3. $\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2^{n}}}\sin ^{2}x}$
4. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{2^{n}}}$
5. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1.5^{n}}}$
6. $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}$

解答

1. $n^{-2}$遞減的速度比$2^{-n}$快，但級數不滿足$0\leq z_{n}\leq s_{n}$，因為$n<2$時$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$大於$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$。為此，我們可刪掉第一項，得到$1+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$和$2+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$。比較$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$和$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$可得 $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$收斂。
2. 對任意$n$，$\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-n}}$小於 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$，故級數收斂。
3. 對任意$n$，$0$小於$\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2^{n}}}\sin ^{2}x}$小於等於$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$，故級數收斂。
4. 級數可改寫為$2\times \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$，故級數收斂。
5. 對任意$n$，$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1.5^{n}}}$大於$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$，故需要進一步分析以確定級數斂散性。
6. 級數不滿足非負的要求，故需要進一步分析以確定級數斂散性。