# 高中数学/不等式与数列/数列前n项和的求法与一般性质

## 基础知识

• 套用公式法（适用于等差数列与等比数列）
• 累加法与累乘法
• 倒序相加法
• 错位相减法
• 裂项求和法
• 分组求和法

### 错位相减法

(1) 普通的等差数列是特殊的等差比数列，但是所以也可以使用错位相减法求和。(    )
(2) 等差比数列一定是单调的。(    )

${\displaystyle S_{n}=1\times 3^{1}+3\times 3^{2}+5\times 3^{3}+...+(2n-3)3^{n-1}+(2n-1)3^{n}}$

${\displaystyle 3S_{n}=\quad \quad \quad 1\times 3^{2}+3\times 3^{3}+5\times 3^{4}+...\quad \quad \quad +(2n-3)3^{n}+(2n-1)3^{n+1}}$

{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-3S_{n}&=(1\times 3^{1}+3\times 3^{2}+5\times 3^{3}+...+(2n-3)3^{n-1}+(2n-1)3^{n})\\&\quad \quad \quad \quad -(1\times 3^{2}+3\times 3^{3}+5\times 3^{4}+...\quad \quad \quad +(2n-3)3^{n}+(2n-1)3^{n+1})\\&=1\times 3^{1}+(3-1)\times 3^{2}+(5-3)\times 3^{3}+...+((2n-1)-(2n-3))3^{n}-(2n-1)3^{n+1}\\&=3^{1}+2\times 3^{2}+2\times 3^{3}+...+2\times 3^{n}-(2n-1)3^{n+1}\\&=3+2\times (3^{2}+3^{3}+...+3^{n})-(2n-1)3^{n+1}\\&=3+2\times ({\frac {3^{2}(1-3^{n-1})}{1-3}})-(2n-1)3^{n+1}\\&=3-3^{2}(1-3^{n-1})-(2n-1)3^{n+1}\\&=3-9+3^{n+1}-(2n-1)3^{n+1}\\&=-6+(1-(2n-1))3^{n+1}\\&=-6+2(1-n)3^{n+1}\\\end{aligned}}}

### 裂项求和法

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{30}}&={\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{3\times 4}}+{\frac {1}{4\times 5}}+{\frac {1}{5\times 6}}\\&=(1-{\frac {1}{2}})+({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}})+({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}})+({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}})+({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}})\\&=1+(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}})+(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}})+(-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}})+(-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{5}})-{\frac {1}{6}}\\&=1+0+0+0+0-{\frac {1}{6}}={\frac {5}{6}}\end{aligned}}}

• 已知${\displaystyle a_{n}}$是以d为公差的等差数列，则：${\displaystyle {\frac {1}{a_{n}a_{n+1}}}=({\frac {1}{a_{n}}}-{\frac {1}{a_{n+1}}})\times {\frac {1}{d}}}$
• 特例：${\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {1}{2}}({\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n+1}})}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {1}{2}}({\frac {1}{n(n+1)}}-{\frac {1}{(n+1)(n+2)}})}$
• 利用根式分母的有理化技巧：${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}}={\frac {1}{a-b}}({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}$
• 特例：${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}}$
• 利用对数运算规律变乘除为加减：${\displaystyle \log _{a}({\frac {n+1}{n}})=\log _{a}(n+1)-\log _{a}n}$
• 利用阶乘运算规律变乘除为加减：${\displaystyle {\frac {n}{(n+1)!}}={\frac {1}{n!}}-{\frac {1}{(n+1)!}}}$
• 利用通项与前n项的转换关系：${\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1}}$

(1) 求${\displaystyle \{a_{n}\}}$的通项公式。
(2) 设${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{(n+1)a_{n}}}}$，求${\displaystyle b_{n}}$的前n项和。

### 分组求和法

• ${\displaystyle a_{n}=b_{n}\pm c_{n}}$，其中${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle c_{n}}$都是求和方法已知的数列通项。
• 若通项公式为${\displaystyle f(n)={\begin{cases}b_{n},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\c_{n},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}}$，其中${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle c_{n}}$都是求和方法已知的数列通项。

## 常用结论与常见模型

### 有限项和与通项公式的关系

(1)求${\displaystyle S_{n}}$的表达式。
(2)设${\displaystyle b_{n}={\frac {S_{n}}{2n+1}}}$，求${\displaystyle \{b_{n}\}}$的前n项和${\displaystyle T_{n}}$[2]

### 前n项和的单调性和最值

(1) 单调数列的前n项和一定也是单调数列。
(2) 周期数列的前n项和一定不是周期数列。
(3) 如果一个数列的前n项和的取值范围不会超过常数m，那么它的每一项也一定不会超过m。

## 参考资料

1. 徐祝庆. “拆”的技巧在数列求和中的应用. 中学数学研究 (中国华南师范大学数学科学学院). 2005, (4): 33–34 （中文（中国大陆））.
2. 农东. 金铃, 编. 裂项相消法在数列求和中的应用. 中学教学参考(中旬) (广西南宁市建政路37号: 广西教育学院杂志社). 2011, (10 (总第101期)): 36 （中文（中国大陆））.