高中數學/不等式與數列/數列前n項和的求法與一般性質

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

前面我們講過了等差數列和等比數列的求和問題解法，本節我們介紹更多的數列求和方法。本節介紹的方法後面還會在學習極限的時候起到比較大的用途。

預備知識

閱讀本節之前，讀者應該確保自己熟悉等差數列與等比數列的基本概念以及它們的求和方法。

基礎知識

已知數列通項公式時，求其前n項和的表達式的常用方法包括：

• 套用公式法（適用於等差數列與等比數列）
• 累加法與累乘法
• 倒序相加法
• 錯位相減法
• 裂項求和法
• 分組求和法

如果已知的關係式中混有數列的通項和前n項和，一般需要考慮利用下面介紹的有限項和與通項公式的關係，將表達式完全化為只包含通項的遞推式或只包含有限項和的遞推式。

此外，如果遞推出數列前幾項後，發現數列的取值有周期性的特點，也容易得到求和公式。

累加法與累乘法

如果數列的相鄰項之間具有簡單的差值形式，就可以考慮使用累加法；如果數列的相鄰項之間具有簡單的比值形式，就可以考慮使用累乘法。累加法和累成法都是不逐一求出具體值，而是直接一路遞推到底的方法。

錯位相減法

如果數列通項公式的形式為一個等差數列的通項與一個等比數列的通項之積，我們就稱其為等差比數列。等差比數列是等差數列和等比數列的混合品，普通的等差數列和等比數列都可以視為等差比數列的特例。求這種等差比數列的前n項和，也可以使用錯位相減法。

提示：錯位相減法不但適用於等比數列求和，而且也適用於等差比數列求和。只有公比為1的等差比數列（也就是常數列）是不能使用錯位相減法的例外。

相關例題1：判斷下列說法正誤：
(1) 普通的等差數列是特殊的等差比數列，但是所以也可以使用錯位相減法求和。(    )
(2) 等差比數列一定是單調的。(    )

解答：對於第1個小問，由於使用錯位相減法時要求公比不能為1，因此普通的等差數列雖然能看作特殊的等差比數列，但是依然無法使用錯位相減法求和。對於第2個小問，直觀上看應該是不正確的，舉出一個反例即可。例如可以取$\{{\frac {3n}{2^{n}}}\}$，它的前2項是相等的，所以不能說有單調性。

答案：(1)錯。(2)錯。

相關例題2： 已知一個數列$\{a_{n}\}$的通項公式為$a_{n}=(2n-1)3^{n}$，求它的前n項之和$S_{n}$的表達式。

解答：
因為數列的通項$a_{n}=(2n-1)3^{n}$從形式上可以看成是一個等差數列的通項$(2n-1)$與一個公比為3的等比數列的通項$3^{n}$的乘積，所以這是一個等差比數列，可以採用錯位相減法求和。
我們先列出原始求和式：
$S_{n}=1\times 3^{1}+3\times 3^{2}+5\times 3^{3}+...+(2n-3)3^{n-1}+(2n-1)3^{n}$
再對以上式子的兩邊各項同時乘以公比3，可得：
$3S_{n}=\quad \quad \quad 1\times 3^{2}+3\times 3^{3}+5\times 3^{4}+...\quad \quad \quad +(2n-3)3^{n}+(2n-1)3^{n+1}$
將前一個求和式的兩邊對後一個求和式的兩邊同時作差，可得：
${\begin{aligned}S_{n}-3S_{n}&=(1\times 3^{1}+3\times 3^{2}+5\times 3^{3}+...+(2n-3)3^{n-1}+(2n-1)3^{n})\\&\quad \quad \quad \quad -(1\times 3^{2}+3\times 3^{3}+5\times 3^{4}+...\quad \quad \quad +(2n-3)3^{n}+(2n-1)3^{n+1})\\&=1\times 3^{1}+(3-1)\times 3^{2}+(5-3)\times 3^{3}+...+((2n-1)-(2n-3))3^{n}-(2n-1)3^{n+1}\\&=3^{1}+2\times 3^{2}+2\times 3^{3}+...+2\times 3^{n}-(2n-1)3^{n+1}\\&=3+2\times (3^{2}+3^{3}+...+3^{n})-(2n-1)3^{n+1}\\&=3+2\times ({\frac {3^{2}(1-3^{n-1})}{1-3}})-(2n-1)3^{n+1}\\&=3-3^{2}(1-3^{n-1})-(2n-1)3^{n+1}\\&=3-9+3^{n+1}-(2n-1)3^{n+1}\\&=-6+(1-(2n-1))3^{n+1}\\&=-6+2(1-n)3^{n+1}\\\end{aligned}}$
即有$-2S_{n}=-6+2(1-n)3^{n+1}$，即$S_{n}=3+(n-1)3^{n+1}$。

答案：$S_{n}=3+(n-1)3^{n+1}$。

相關例題3：證明公比非零的等差比數列的差分仍然是等差比數列。（這個性質是普通等比數列所沒有的。）

裂項求和法

聰明的你可能在小學就見到過邪惡的老師擺出這樣的分數巧算題目：
${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{30}}&={\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{3\times 4}}+{\frac {1}{4\times 5}}+{\frac {1}{5\times 6}}\\&=(1-{\frac {1}{2}})+({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}})+({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}})+({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}})+({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}})\\&=1+(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}})+(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}})+(-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}})+(-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{5}})-{\frac {1}{6}}\\&=1+0+0+0+0-{\frac {1}{6}}={\frac {5}{6}}\end{aligned}}$
這就是裂項求和法的最經典例子。只不過在高中課本中，我們還需要多知道幾種可以裂項求和的情形。

裂項是一種將每一項巧妙地拆分為求和時可以成對消去的多個項的技巧。常用的裂項法是將1個項分為2個項，需要分為多個項的情況因為比較複雜所以並不多見。為了達到便於求和時彼此相消的目的，最常見的做法是將每一項拆分為形式相似的兩項之差。

裂項法適用於某些數列的求和和不等式的證明，可考慮進行裂項的求和項必須具有明顯的特徵。

常用裂項公式如下：

• 已知$a_{n}$是以d為公差的等差數列，則：${\frac {1}{a_{n}a_{n+1}}}=({\frac {1}{a_{n}}}-{\frac {1}{a_{n+1}}})\times {\frac {1}{d}}$
  • 特例：${\frac {1}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {1}{2}}({\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n+1}})$
• ${\frac {1}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {1}{2}}({\frac {1}{n(n+1)}}-{\frac {1}{(n+1)(n+2)}})$
• 利用根式分母的有理化技巧：${\frac {1}{{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}}={\frac {1}{a-b}}({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})$
  • 特例：${\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$
• 利用對數運算規律變乘除為加減：$\log _{a}({\frac {n+1}{n}})=\log _{a}(n+1)-\log _{a}n$
• 利用階乘運算規律變乘除為加減：${\frac {n}{(n+1)!}}={\frac {1}{n!}}-{\frac {1}{(n+1)!}}$
• 利用通項與前n項的轉換關係：$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$

提示：「!」是階乘符號。對於一個正整數n，階乘的定義是從1到n的所有整數的連續乘積。階乘在計數原理章節會重點介紹。

裂項求和時，需要注意抵消後的剩餘項是哪些、剩餘項之間是相加還是相減的關係。

相關例題1：已知數列$\{a_{n}\}$的通項公式為$\{a_{n}\}={\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}$，求其前n項和的表達式。

相關例題2：已知數列$\{a_{n}\}$的通項公式為$a_{n}=lg{\frac {n+1}{n}}$，則求其前n項的表達式。

相關例題3：已知正項數列$\{a_{n}\}$滿足$a_{n}^{2}-(2n-1)a_{n}-2n=0$。
(1) 求$\{a_{n}\}$的通項公式。
(2) 設$b_{n}={\frac {1}{(n+1)a_{n}}}$，求$b_{n}$的前n項和。

分組求和法

分組求和就是將要求和的表達式拆分成多個易求和的部分，分別求和後再相加。可採用分組求和的常見情形：

• 若$a_{n}=b_{n}\pm c_{n}$，其中$b_{n}$和$c_{n}$都是求和方法已知的數列通項。
• 若通項公式為$f(n)={\begin{cases}b_{n},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\c_{n},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}$，其中$b_{n}$和$c_{n}$都是求和方法已知的數列通項。

相關例題：已知一個數列的前n項和的表達式為$S_{n}=n+3^{n}$，求這個數列的通項公式。

其它求和方法

一些形式特殊的求和可以套用專門的公式/恆等式，例如等冪求和、阿貝爾求和公式、三角函數積化和差公式、組合恆等式與藉助微積分的求和法。這些求和方法在普通高中階段的數列章節考試中並不常見，可以適當了解，但是一般不要求掌握。

此外，如果已給出或者能猜出求和後的公式形式，也可以考慮使用下面介紹的數學歸納法。此處就不再贅述了。

常用結論與常見模型

有限項和與通項公式的關係

如果已知有限項和$S_{n}$的表達式，可以利用公式$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}(n>1)$求出通項公式$a_{n}(n>1)$。但還需要驗證數列的首項$a_{1}=S_{1}$是否也滿足當$n>1$時求得的通項公式，如果滿足就可以用同一個通項公式表達整個數列，否則只能按下標n是否大於1寫成分段函數表達式的形式。

已知數列前n項和的表達式$S_{n}$，求通項公式$a_{n}$的方法為： $a_{n}={\begin{cases}S_{n}-S_{n-1},&n>1,n\in \mathbb {N} \\S_{1},&n=1\end{cases}}$

簡而言之，當已知數列前n項和的表達式時，對此表達式進行差分運算，就可以得到通項公式。

提示：公式$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}(n>1)$既可以用於根據前n項和求出通項公式，也可以反過來以裂項相消法由通項公式求出前n項和。

相關例題1： 已知一個數列的前n項和的表達式為$S_{n}=n^{2}+n$，求這個數列的通項公式。

相關例題2： 已知一個數列的首項為常數b，且通項公式$a_{n}$與前n項和$S_{n}$滿足遞推關係式$a_{n}=S_{n-1}(n\geq 2,n\in \mathbb {N} )$，求這個數列的通項公式。

相關例題3： 已知在數列$\{a_{n}\}$中，有$a_{1}=1$，且$a_{n}={\frac {2S_{n}^{2}}{2S_{n}-1}}(n\geq 2,n\in \mathbb {N} )$，求這個數列的前n項和。

相關例題4： 已知在數列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，當$n\geq 2$時，其前n項和$S_{n}$滿足$S_{n}^{2}=a_{n}(S_{n}-{\frac {1}{2}})$。
(1)求$S_{n}$的表達式。
(2)設$b_{n}={\frac {S_{n}}{2n+1}}$，求$\{b_{n}\}$的前n項和$T_{n}$。

前n項和的單調性和最值

通過判斷數列通項公式的正負，可以獲知前n項和的增減性。與函數類似，在可能存在的單調性分界點處，數列的前n項和可能會取到最大值或最小值。

類似地，通過判斷數列通項差分結果的正負，可以獲知原始通項公式的增減性。這其實就對應於不等式知識中的作差比較法。

注意：周期數列的差分一定也是周期數列，但周期數列的前n項和不一定是周期數列。

相關例題： 判斷下列說法的正誤：
(1) 單調數列的前n項和一定也是單調數列。
(2) 周期數列的前n項和一定不是周期數列。
(3) 如果一個數列的前n項和的取值範圍不會超過常數m，那麼它的每一項也一定不會超過m。

先添項再求和

有時候，需要通過填補項的技巧，先湊出某個公式的形式，才好化簡和求和。這種題目技巧性強，解題思路的適用範圍很有限，有興趣的讀者適當了解即可。

相關例題1： 求$\ln 1+\ln 3+\ln 15+\ln 31+...+\ln(2^{n}-1)$的值。

相關例題2： 求$\cos {\frac {2\pi }{n}}+\cos {\frac {4\pi }{n}}+\cos {\frac {6\pi }{n}}+...+\cos {\frac {2(n-1)\pi }{n}}$的值。（出自：1960年上海市高三數學競賽決賽第2題。）

補充習題