# 高中數學/不等式與數列/數列前n項和的求法與一般性質

## 基礎知識

• 套用公式法（適用於等差數列與等比數列）
• 累加法與累乘法
• 倒序相加法
• 錯位相減法
• 裂項求和法
• 分組求和法

### 錯位相減法

(1) 普通的等差數列是特殊的等差比數列，但是所以也可以使用錯位相減法求和。(    )
(2) 等差比數列一定是單調的。(    )

${\displaystyle S_{n}=1\times 3^{1}+3\times 3^{2}+5\times 3^{3}+...+(2n-3)3^{n-1}+(2n-1)3^{n}}$

${\displaystyle 3S_{n}=\quad \quad \quad 1\times 3^{2}+3\times 3^{3}+5\times 3^{4}+...\quad \quad \quad +(2n-3)3^{n}+(2n-1)3^{n+1}}$

{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-3S_{n}&=(1\times 3^{1}+3\times 3^{2}+5\times 3^{3}+...+(2n-3)3^{n-1}+(2n-1)3^{n})\\&\quad \quad \quad \quad -(1\times 3^{2}+3\times 3^{3}+5\times 3^{4}+...\quad \quad \quad +(2n-3)3^{n}+(2n-1)3^{n+1})\\&=1\times 3^{1}+(3-1)\times 3^{2}+(5-3)\times 3^{3}+...+((2n-1)-(2n-3))3^{n}-(2n-1)3^{n+1}\\&=3^{1}+2\times 3^{2}+2\times 3^{3}+...+2\times 3^{n}-(2n-1)3^{n+1}\\&=3+2\times (3^{2}+3^{3}+...+3^{n})-(2n-1)3^{n+1}\\&=3+2\times ({\frac {3^{2}(1-3^{n-1})}{1-3}})-(2n-1)3^{n+1}\\&=3-3^{2}(1-3^{n-1})-(2n-1)3^{n+1}\\&=3-9+3^{n+1}-(2n-1)3^{n+1}\\&=-6+(1-(2n-1))3^{n+1}\\&=-6+2(1-n)3^{n+1}\\\end{aligned}}}

### 裂項求和法

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{30}}&={\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{3\times 4}}+{\frac {1}{4\times 5}}+{\frac {1}{5\times 6}}\\&=(1-{\frac {1}{2}})+({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}})+({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}})+({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}})+({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}})\\&=1+(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}})+(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}})+(-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}})+(-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{5}})-{\frac {1}{6}}\\&=1+0+0+0+0-{\frac {1}{6}}={\frac {5}{6}}\end{aligned}}}

• 已知${\displaystyle a_{n}}$是以d為公差的等差數列，則：${\displaystyle {\frac {1}{a_{n}a_{n+1}}}=({\frac {1}{a_{n}}}-{\frac {1}{a_{n+1}}})\times {\frac {1}{d}}}$
• 特例：${\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {1}{2}}({\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n+1}})}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {1}{2}}({\frac {1}{n(n+1)}}-{\frac {1}{(n+1)(n+2)}})}$
• 利用根式分母的有理化技巧：${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}}={\frac {1}{a-b}}({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}$
• 特例：${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}}$
• 利用對數運算規律變乘除為加減：${\displaystyle \log _{a}({\frac {n+1}{n}})=\log _{a}(n+1)-\log _{a}n}$
• 利用階乘運算規律變乘除為加減：${\displaystyle {\frac {n}{(n+1)!}}={\frac {1}{n!}}-{\frac {1}{(n+1)!}}}$
• 利用通項與前n項的轉換關係：${\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1}}$

(1) 求${\displaystyle \{a_{n}\}}$的通項公式。
(2) 設${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{(n+1)a_{n}}}}$，求${\displaystyle b_{n}}$的前n項和。

### 分組求和法

• ${\displaystyle a_{n}=b_{n}\pm c_{n}}$，其中${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle c_{n}}$都是求和方法已知的數列通項。
• 若通項公式為${\displaystyle f(n)={\begin{cases}b_{n},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\c_{n},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}}$，其中${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle c_{n}}$都是求和方法已知的數列通項。

## 常用結論與常見模型

### 有限項和與通項公式的關係

(1)求${\displaystyle S_{n}}$的表達式。
(2)設${\displaystyle b_{n}={\frac {S_{n}}{2n+1}}}$，求${\displaystyle \{b_{n}\}}$的前n項和${\displaystyle T_{n}}$[2]

### 前n項和的單調性和最值

(1) 單調數列的前n項和一定也是單調數列。
(2) 周期數列的前n項和一定不是周期數列。
(3) 如果一個數列的前n項和的取值範圍不會超過常數m，那麼它的每一項也一定不會超過m。

## 參考資料

1. 徐祝慶. 「拆」的技巧在數列求和中的應用. 中學數學研究 (中國華南師範大學數學科學學院). 2005, (4): 33–34 （中文（中國大陸））.
2. 農東. 金鈴, 編. 裂項相消法在數列求和中的應用. 中學教學參考(中旬) (廣西南寧市建政路37號: 廣西教育學院雜誌社). 2011, (10 (總第101期)): 36 （中文（中國大陸））.