高中数学/不等式与数列/数列前n项和的求法与一般性质

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

前面我们讲过了等差数列和等比数列的求和问题解法，本节我们介绍更多的数列求和方法。本节介绍的方法后面还会在学习极限的时候起到比较大的用途。

预备知识

阅读本节之前，读者应该确保自己熟悉等差数列与等比数列的基本概念以及它们的求和方法。

基础知识

已知数列通项公式时，求其前n项和的表达式的常用方法包括：

• 套用公式法（适用于等差数列与等比数列）
• 累加法与累乘法
• 倒序相加法
• 错位相减法
• 裂项求和法
• 分组求和法

如果已知的关系式中混有数列的通项和前n项和，一般需要考虑利用下面介绍的有限项和与通项公式的关系，将表达式完全化为只包含通项的递推式或只包含有限项和的递推式。

此外，如果递推出数列前几项后，发现数列的取值有周期性的特点，也容易得到求和公式。

累加法与累乘法

如果数列的相邻项之间具有简单的差值形式，就可以考虑使用累加法；如果数列的相邻项之间具有简单的比值形式，就可以考虑使用累乘法。累加法和累成法都是不逐一求出具体值，而是直接一路递推到底的方法。

错位相减法

如果数列通项公式的形式为一个等差数列的通项与一个等比数列的通项之积，我们就称其为等差比数列。等差比数列是等差数列和等比数列的混合品，普通的等差数列和等比数列都可以视为等差比数列的特例。求这种等差比数列的前n项和，也可以使用错位相减法。

提示：错位相减法不但适用于等比数列求和，而且也适用于等差比数列求和。只有公比为1的等差比数列（也就是常数列）是不能使用错位相减法的例外。

相关例题1：判断下列说法正误：
(1) 普通的等差数列是特殊的等差比数列，但是所以也可以使用错位相减法求和。(    )
(2) 等差比数列一定是单调的。(    )

解答：对于第1个小问，由于使用错位相减法时要求公比不能为1，因此普通的等差数列虽然能看作特殊的等差比数列，但是依然无法使用错位相减法求和。对于第2个小问，直观上看应该是不正确的，举出一个反例即可。例如可以取$\{\frac{3n}{2^n}\}$，它的前2项是相等的，所以不能说有单调性。

答案：(1)错。(2)错。

相关例题2： 已知一个数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=(2n-1)3^n$，求它的前n项之和$S_n$的表达式。

解答：
因为数列的通项$a_n=(2n-1)3^n$从形式上可以看成是一个等差数列的通项$(2n-1)$与一个公比为3的等比数列的通项$3^n$的乘积，所以这是一个等差比数列，可以采用错位相减法求和。
我们先列出原始求和式：
$S_n=1\times 3^1+3\times 3^2+5\times 3^3+\mathrm{...}+(2n-3)3^{n-1}+(2n-1)3^n$
再对以上式子的两边各项同时乘以公比3，可得：
$3S_n=1\times 3^2+3\times 3^3+5\times 3^4+\mathrm{...}+(2n-3)3^n+(2n-1)3^{n+1}$
将前一个求和式的两边对后一个求和式的两边同时作差，可得：
$\begin{array}{cc}{S}_n-3S_n& =(1\times 3^1+3\times 3^2+5\times 3^3+\mathrm{...}+(2n-3)3^{n-1}+(2n-1)3^n)\\ & -(1\times 3^2+3\times 3^3+5\times 3^4+\mathrm{...}+(2n-3)3^n+(2n-1)3^{n+1})\\ & =1\times 3^1+(3-1)\times 3^2+(5-3)\times 3^3+\mathrm{...}+((2n-1)-(2n-3))3^n-(2n-1)3^{n+1}\\ & =3^1+2\times 3^2+2\times 3^3+\mathrm{...}+2\times 3^n-(2n-1)3^{n+1}\\ & =3+2\times (3^2+3^3+\mathrm{...}+3^n)-(2n-1)3^{n+1}\\ & =3+2\times (\frac{3^2(1-3^{n-1})}{1-3})-(2n-1)3^{n+1}\\ & =3-3^2(1-3^{n-1})-(2n-1)3^{n+1}\\ & =3-9+3^{n+1}-(2n-1)3^{n+1}\\ & =-6+(1-(2n-1))3^{n+1}\\ & =-6+2(1-n)3^{n+1}\\ \end{array}$
即有$-2S_n=-6+2(1-n)3^{n+1}$，即$S_n=3+(n-1)3^{n+1}$。

答案：$S_n=3+(n-1)3^{n+1}$。

相关例题3：证明公比非零的等差比数列的差分仍然是等差比数列。（这个性质是普通等比数列所没有的。）

裂项求和法

聪明的你可能在小学就见到过邪恶的老师摆出这样的分数巧算题目：
$\begin{array}{cc}\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}& =\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+\frac{1}{5\times 6}\\ & =(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})\\ & =1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3})+(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4})+(-\frac{1}{5}+\frac{1}{5})-\frac{1}{6}\\ & =1+0+0+0+0-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\end{array}$
这就是裂项求和法的最经典例子。只不过在高中课本中，我们还需要多知道几种可以裂项求和的情形。

裂项是一种将每一项巧妙地拆分为求和时可以成对消去的多个项的技巧。常用的裂项法是将1个项分为2个项，需要分为多个项的情况因为比较复杂所以并不多见。为了达到便于求和时彼此相消的目的，最常见的做法是将每一项拆分为形式相似的两项之差。

裂项法适用于某些数列的求和和不等式的证明，可考虑进行裂项的求和项必须具有明显的特征。

常用裂项公式如下：

• 已知$a_n$是以d为公差的等差数列，则：$\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}=(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}})\times \frac{1}{d}$
  • 特例：$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
• $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})$
• 利用根式分母的有理化技巧：$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{1}{a-b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$
  • 特例：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
• 利用对数运算规律变乘除为加减：${\log }_a(\frac{n+1}{n})={\log }_a(n+1)-{\log }_{a}n$
• 利用阶乘运算规律变乘除为加减：$\frac{n}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$
• 利用通项与前n项的转换关系：$a_n=S_n-S_{n-1}$

提示：“!”是阶乘符号。对于一个正整数n，阶乘的定义是从1到n的所有整数的连续乘积。阶乘在计数原理章节会重点介绍。

裂项求和时，需要注意抵消后的剩余项是哪些、剩余项之间是相加还是相减的关系。

相关例题1：已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$\{a_n\}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，求其前n项和的表达式。

相关例题2：已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=lg\frac{n+1}{n}$，则求其前n项的表达式。

相关例题3：已知正项数列$\{a_n\}$满足$a_n^2-(2n-1)a_n-2n=0$。
(1) 求$\{a_n\}$的通项公式。
(2) 设$b_n=\frac{1}{(n+1)a_n}$，求$b_n$的前n项和。

分组求和法

分组求和就是将要求和的表达式拆分成多个易求和的部分，分别求和后再相加。可采用分组求和的常见情形：

• 若$a_n=b_n\pm c_n$，其中$b_n$和$c_n$都是求和方法已知的数列通项。
• 若通项公式为$f(n)=\{\begin{array}{cc}{b}_n,& \text{if }n\text{ is even}\\ c_n,& \text{if }n\text{ is odd}\end{array}$，其中$b_n$和$c_n$都是求和方法已知的数列通项。

相关例题：已知一个数列的前n项和的表达式为$S_n=n+3^n$，求这个数列的通项公式。

其它求和方法

一些形式特殊的求和可以套用专门的公式/恒等式，例如等幂求和、阿贝尔求和公式、三角函数积化和差公式、组合恒等式与借助微积分的求和法。这些求和方法在普通高中阶段的数列章节考试中并不常见，可以适当了解，但是一般不要求掌握。

此外，如果已给出或者能猜出求和后的公式形式，也可以考虑使用下面介绍的数学归纳法。此处就不再赘述了。

常用结论与常见模型

有限项和与通项公式的关系

如果已知有限项和$S_n$的表达式，可以利用公式$a_n=S_n-S_{n-1}(n>1)$求出通项公式$a_n(n>1)$。但还需要验证数列的首项$a_1=S_1$是否也满足当$n>1$时求得的通项公式，如果满足就可以用同一个通项公式表达整个数列，否则只能按下标n是否大于1写成分段函数表达式的形式。

已知数列前n项和的表达式$S_n$，求通项公式$a_n$的方法为： $a_n=\{\begin{array}{cc}{S}_n-S_{n-1},& n>1,n\in \mathbb{N}\\ S_1,& n=1\end{array}$

简而言之，当已知数列前n项和的表达式时，对此表达式进行差分运算，就可以得到通项公式。

提示：公式$a_n=S_n-S_{n-1}(n>1)$既可以用于根据前n项和求出通项公式，也可以反过来以裂项相消法由通项公式求出前n项和。

相关例题1： 已知一个数列的前n项和的表达式为$S_n=n^2+n$，求这个数列的通项公式。

相关例题2： 已知一个数列的首项为常数b，且通项公式$a_n$与前n项和$S_n$满足递推关系式$a_n=S_{n-1}(n\ge 2,n\in \mathbb{N})$，求这个数列的通项公式。

相关例题3： 已知在数列$\{a_n\}$中，有$a_1=1$，且$a_n=\frac{2S_n^2}{2S_n-1}(n\ge 2,n\in \mathbb{N})$，求这个数列的前n项和。

相关例题4： 已知在数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，当$n\ge 2$时，其前n项和$S_n$满足$S_n^2=a_n(S_n-\frac{1}{2})$。
(1)求$S_n$的表达式。
(2)设$b_n=\frac{S_n}{2n+1}$，求$\{b_n\}$的前n项和$T_n$。

前n项和的单调性和最值

通过判断数列通项公式的正负，可以获知前n项和的增减性。与函数类似，在可能存在的单调性分界点处，数列的前n项和可能会取到最大值或最小值。

类似地，通过判断数列通项差分结果的正负，可以获知原始通项公式的增减性。这其实就对应于不等式知识中的作差比较法。

注意：周期数列的差分一定也是周期数列，但周期数列的前n项和不一定是周期数列。

相关例题： 判断下列说法的正误：
(1) 单调数列的前n项和一定也是单调数列。
(2) 周期数列的前n项和一定不是周期数列。
(3) 如果一个数列的前n项和的取值范围不会超过常数m，那么它的每一项也一定不会超过m。

先添项再求和

有时候，需要通过填补项的技巧，先凑出某个公式的形式，才好化简和求和。这种题目技巧性强，解题思路的适用范围很有限，有兴趣的读者适当了解即可。

相关例题1： 求$\ln 1+\ln 3+\ln 15+\ln 31+\mathrm{...}+\ln (2^n-1)$的值。

相关例题2： 求$\cos \frac{2\pi }{n}+\cos \frac{4\pi }{n}+\cos \frac{6\pi }{n}+\mathrm{...}+\cos \frac{2(n-1)\pi }{n}$的值。（出自：1960年上海市高三数学竞赛决赛第2题。）

补充习题