国中数学/国中数学八年级/3-2 利用乘法公式作因式分解

3-1 利用提公因式作因式分解

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国中数学八年级 3-2 利用乘法公式作因式分解

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3-3 利用十字交乘法作因式分解

本章节为了介绍解一元二次方程式的方式，于是我们介绍利用乘法公式作一些式子的因式分解。

利用和的平方公式

和的平方公式为$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$，反过来说，$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$，所以当一个欲分解的二次多项式出现以下两个特征：

1. 二次项系数与常数项皆为完全平方数，也就是此数为某个数的平方。
2. 一次项的系数是二次项系数与常数项开根号相乘的$2$倍。

则此二次多项式就可以使用和的乘法公式进行因式分解。

以一个简单的例子说明：

例题$1$ 因式分解$x^{2}+8x+16$。

解 注意到$16=4^{2}$为完全平方数，而且一次项$8x=2\times x\times 4$，所以根据和的平方公式可知$x^{2}+8x+16=(x+4)^{2}$。

随堂练习

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

因式分解$x^{2}+12x+36$的结果为何？

	$(x+6)^{2}$
	$(x+12)^{2}$
	$(x+18)^{2}$
	$(x+36)^{2}$

接下来，介绍一个二次项系数不为$1$的二次多项式，利用和的乘法公式作因式分解的方式。注意对于任意数$a$，$a^{2}x^{2}=(ax)^{2}$。

例题$2$ 因式分解$4x^{2}+12x+9$。

解 注意到$4=2^{2}$、$9=3^{2}$为完全平方数，而且一次项$12x=2\cdot 2x\cdot 3$，所以根据和的平方公式可知$4x^{2}+12x+9=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot 3+3^{2}=(2x+3)^{2}$。

随堂练习

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 因式分解$9x^{2}+6x+1$的结果为何？

	$(9x+1)^{2}$
	$(6x+1)^{2}$
	$(3x+1)^{2}$
	$(x+3)^{2}$

2 因式分解$25x^{2}+40x+16$的结果为何？

	$(25x+16)^{2}$
	$(5x+16)^{2}$
	$(5x+8)^{2}$
	$(5x+4)^{2}$

但这边要注意的一件事情就是一次项的系数必须是前后开根号相乘的$2$倍，要不然此二次多项式有可能是无法分解成两个一次式的乘积。如$x^{2}+x+1$与$25x^{2}+30x+16$等等。
我们接下来看一个系数不完全是整数的二次式要如何利用和的平方公式作因式分解。

例题$3$ 因式分解$5x^{2}+4{\sqrt {5}}x+4$。

解 根据和的平方公式可知$5x^{2}+4{\sqrt {5}}x+4=({\sqrt {5}}x)^{2}+2\cdot {\sqrt {5}}x\cdot 2+2^{2}=({\sqrt {5}}x+2)^{2}$。

搭配提出公因式也是常用手段。底下就是一些例子。

例题$4$ 因式分解${\frac {4}{5}}x^{2}+{\frac {28}{5}}x+{\frac {49}{5}}$。

解 先提出${\frac {1}{5}}$得${\frac {4}{5}}x^{2}+{\frac {28}{5}}x+{\frac {49}{5}}={\frac {1}{5}}(4x^{2}+28x+49)$， 再由和的平方公式可知$4x^{2}+28x+49=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot 7+7^{2}=(2x+7)^{2}$， 所以${\frac {4}{5}}x^{2}+{\frac {28}{5}}x+{\frac {49}{5}}={\frac {1}{5}}(4x^{2}+28x+49)={\frac {1}{5}}(2x+7)^{2}$。

例题$5$ 因式分解$-36x^{2}-84x-49$。

解 先提出$-1$得$-36x^{2}-84x-49=-(36x^{2}+84x+49)$， 再由和的平方公式可知$36x^{2}+84x+49=(6x)^{2}+2\cdot 6x\cdot 7+7^{2}=(6x+7)^{2}$， 所以$-36x^{2}-84x-49=-(36x^{2}+84x+49)=-(6x+7)^{2}$。

随堂练习

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 因式分解${\frac {1}{4}}x^{2}+x+1$的结果为何？

	${\frac {1}{4}}(x+1)^{2}$
	${\frac {1}{4}}(x+2)^{2}$
	${\frac {1}{2}}(x+1)^{2}$
	${\frac {1}{2}}(x+2)^{2}$

2 因式分解$9x^{2}+54x+81$的结果为何？

	$3(x+3)^{2}$
	$3(x+9)^{2}$
	$9(x+3)^{2}$
	$9(x+9)^{2}$

3 因式分解$-16x^{2}-88x-121$的结果为何？

	$-(16x+121)^{2}$
	$-(4x+11)^{2}$
	$-(16x+11)^{2}$
	$-(4x+121)^{2}$

有时候会有式子的公因式，导致式子变得复杂，作这类的问题必须要注意到有没有公因式，并且尽量提出公因式。

例题$6$ 因式分解$9x^{2}y+30xy+25y$。

解 注意每一项都有$y$这个因式，所以先提出$y$得$9x^{2}y+30xy+25y=y(9x^{2}+30x+25)$， 再由和的平方公式可知$9x^{2}+30x+25=(3x)^{2}+2\cdot 3x\cdot 5+5^{2}=(3x+5)^{2}$， 所以$9x^{2}y+30xy+25y=y(9x^{2}+30x+25)=y(3x+5)^{2}=(3x+5)^{2}y$。

利用差的平方公式

差的平方公式为$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$，反过来说，$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$，所以当一个欲分解的二次多项式出现以下两个特征：

1. 二次项系数与常数项皆为完全平方数，也就是此数为某个数的平方。
2. 一次项的系数是二次项系数与常数项开根号相乘的$-2$倍。

则此二次多项式就可以使用差的平方公式进行因式分解。

以一个简单的例子说明：

例题$7$ 因式分解$x^{2}-8x+16$。

解 注意到$16=4^{2}$为完全平方数，而且一次项$-8x=-2\times x\times 4$，所以根据差的平方公式可知$x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$。

随堂练习

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

因式分解$x^{2}-14x+49$的结果为何？

	$(x-7)^{2}$
	$(x+7)^{2}$
	$(x+49)^{2}$
	$(x-49)^{2}$

课堂讨论 看得出例题$7$与例题$1$的差异吗？

由课堂讨论的结果我们知道：刚刚和的平方公式能作的事情，差的平方公式也能作！

例题$8$ 因式分解$81x^{2}-126x+49$。

解 注意到$81=9^{2}$、$49=7^{2}$为完全平方数，而且一次项$-126x=-2\cdot 9x\cdot 7$，所以根据差的平方公式可知$81x^{2}-126x+49=(9x)^{2}-2\cdot 9x\cdot 7+7^{2}=(9x-7)^{2}$。

随堂练习

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 因式分解$121x^{2}-44x+4$的结果为何？

	$(121x-4)^{2}$
	$(121x+4)^{2}$
	$(11x-2)^{2}$
	$(11x+2)^{2}$

2 因式分解$25x^{2}-40x+16$的结果为何？

	$(25x-16)^{2}$
	$(25x+16)^{2}$
	$(5x+4)^{2}$
	$(5x-4)^{2}$

接下来就来看一些提出公因式的作法，事实上就是和的乘法公式一次项系数由正转为负而已，作法是换汤不换药。

例题$9$ 因式分解$-x^{2}+22x-121$。

解 注意到$-x^{2}+22x-121=-(x^{2}-22x+121)$，$121=11^{2}$为完全平方数，而且一次项$-22x=-2\times x\times 11$，所以根据差的平方公式可知$-x^{2}+22x-121=-(x^{2}-22x+121)=-(x-11)^{2}$。

例题$10$ 因式分解$2x^{2}-6x+{\frac {9}{2}}$。

解 提出${\frac {1}{2}}$，可得$2x^{2}-6x+{\frac {9}{2}}={\frac {1}{2}}(4x^{2}-12x+9)={\frac {1}{2}}[(2x)^{2}-2\cdot 2x\cdot 3+3^{2}]={\frac {1}{2}}(2x-3)^{2}$。

利用平方差公式

平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$，反过来说，$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$，所以当一个欲分解的二次多项式出现以下三个特征：

1. 二次项系数为完全平方数，也就是此数为某个数的平方。
2. 常数项为负的完全平方数。
3. 没有一次项。

则此二次多项式就可以使用平方差公式进行因式分解。

以一个简单的例子说明：

例题$12$ 因式分解$x^{2}-25$。

解 注意到$25=5^{2}$为完全平方数，而且没有一次项，中间的运算符号是“$-$”，所以根据平方差公式可知$x^{2}-25=x^{2}-5^{2}=(x+5)(x-5)$。

随堂练习

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

因式分解$y^{2}-81$的结果为何？

	$(y+81)(y-81)$
	$(y+9)(y-9)$
	$(y+9)^{2}$
	$(y-9)^{2}$

接下来来看一个二次项系数不为$1$的例子。

例题$13$ 因式分解$169x^{2}-289$。

解 注意到$169=13^{2}$与$289=17^{2}$皆为完全平方数，而且没有一次项，中间的运算符号是“$-$”，所以根据平方差公式可知$169x^{2}-289=(13x)^{2}-17^{2}=(13x+17)(13x-17)$。

随堂练习

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 因式分解$36y^{2}-121$的结果为何？

	$(6y+121)(6y-121)$
	$(36y+121)(36y-121)$
	$(6y+11)(6y-11)$
	$(36y+11)(36y-11)$

2 因式分解$25x^{2}-1$之后，判断以下何者是它的因式？

	$5x+1$
	$25x+1$
	$x-5$
	$x-25$

再来就是介绍一些提公因式的技巧。在平方差公式最需要注意的就是提出“$-1$”和公因数，这是有的时候为了让你误判而刻意设计不是平方数的陷阱。

例题$14$ 因式分解$-16x^{2}+25$。

解 如果你以为中间是加号所以不能因式分解的话你就大错特错了！注意到$-16x^{2}+25=-(16^{2}-25)$，$16=4^{2}$与$25=5^{2}$皆为完全平方数，而且没有一次项，中间的运算符号是“$-$”，所以根据平方差公式可知$-16x^{2}+25=-(16x^{2}-25)=-[(4x)^{2}-5^{2}]=-(4x+5)(4x-5)$。

上述例题$14$还有一种作法：利用交换律可得$-16x^{2}+25=25-16x^{2}$，再利用上述方式得到$25-16x^{2}=5^{2}-(4x)^{2}=(5+4x)(5-4x)$。不过由于我们习惯让文字符号$x$放前面，所以利用上一节所教先变号再提公因式的方式以及交换律可得$(5+4x)(5-4x)=-(4x+5)(4x-5)$。