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國中數學/國中數學八年級/1-2 多項式的加減運算

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 1-1 乘法公式 國中數學八年級
1-2 多項式的加減運算
1-3 多項式的乘除運算 

本章節要來談談數學上很常使用的基本式子:多項式(polynomial),並且談談它們的加減運算模式。它們的乘除模式留到下一節1-3 多項式的乘除運算講解。

多項式

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在一個式子中,若文字符號(通常是)與數字只利用加法乘法做運算而得,那這樣的式子我們稱為多項式。例如:是由得到的式子,所以它是一個多項式;是由得到的式子,它也是一個多項式。而依此定義,事實上也是多項式,不過在中學階段,只會學習含有一個文字符號的多項式[註 1]

多項式的判別

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  1. 多項式是一個式子,所以多項式本身沒有等號
    • 不是多項式。
  2. 文字符號不能出現在分母,因為它用到了除法[註 2]。可是文字符號可以出現在分子,因為我們在七年級上學期3-1 一元一次式有提到,它是一個乘法運算。
    • 不是多項式,但是。
  3. 文字符號不能出現在絕對值內。但如果絕對值內沒有未知數的話也是可以的。
    • 不是多項式,但是多項式。
  4. 文字符號不能出現在次方。另外未知數的次方要是正整數
    • 不是多項式。
  5. 文字符號不能出現在根號內[註 3]
    • 不是多項式。

多項式的名詞

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接下來介紹多項式的相關名詞。在底下的介紹若沒有特別說明,我們都是以多項式為例子。

  1. :多項式當中,使用加號(+)分開的各部分。
    • 在例子中,,所以有三個項:
    • 對於項的辨識,作者建議學生將前面的「運算符號()」都視為「性質符號」。對於這兩個名詞陌生的同學,請參考國中七年級 1-1 正數與負數的內容。
  2. 單項式(monomial):只有一個項的多項式[註 4]
    • 都是單項式。
  3. 次數:多項式的所有項當中,文字符號次數最大的數字。
    • 在例子中,所有項次數最大的是,它是二次方,所以次數為
    • 次數會記錄為(多項式),如
  4. 係數:每一項出現的數字部分。
    • 在例子中,各項係數為
    • 各個項的係數可以直接稱呼「的幾次方項係數」,也可以省略稱呼為「幾次項係數」。如項係數是,也可以說二次項係數為
    • 沒有文字符號的項稱作常數項(constant term)。
    • 若多項式沒有某一項,則稱該項係數為。如沒有項,所以項係數是
  5. 常數多項式:任何一個數字。如:、圓周率
    • 【課外補充】其中如果不是的任意數,我們稱作零次多項式;若此多項式為,我們稱作零多項式
  6. 升冪排列:將多項式的項依照次方數由小到大排列。
  7. 降冪排列:將多項式的項依照次方數由大到小排列。是最常使用的排列方式。
    • 為降冪排列,因為次數從降到;而此多項式的升冪排列為
例題

有一個多項式為,請問:

  1. 此多項式總共有幾項?
  2. 此多項式各項係數是多少?
  3. 此多項式為幾次多項式?
  4. 此多項式的升冪排列與降冪排列為何?
  1. 此多項式總共有項,它們分別是
  2. 各項係數依序為項係數為項係數為項係數為,常數項為
  3. 最高次方為,所以是五次多項式。
  4. 此多項式的升冪排列為,降冪排列為

隨堂練習

有一個多項式為,請問:

  1. 此多項式總共有幾項?
  2. 此多項式項係數是多少?
  3. 此多項式為幾次多項式?
  4. 此多項式的升冪排列與降冪排列為何?[解答 1]

多項式的加法

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多項式的加法運算方式就是同類項合併,搭配去括號規則,可以使用橫式計算也可以使用直式計算。

而介紹同類項合併之前,介紹一下何謂「同類項」:

 同類項:兩個單項式中,其未知數相同,未知數的次方數也相同。

根據這個定義,以下是幾個例子:

  1. 不是同類項,因為它們不是單項式
  2. 不是同類項,因為未知數不相同
  3. 不是同類項,因為未知數的次方數不相同
  4. 是同類項,因為未知數相同,未知數的次方數也相同。
  5. 不是同類項,因為雖然未知數相同,但未知數的次方數不相同的次方數也不相同。
  6. 任意兩個常數都是同類項,如圓周率

接下來就是同類項合併的主要公式了,這裡的都是常數,可以是任意形式的單項式(只要是相同的即可):

底下來做一個練習:

例題

化簡下列各式:

在上面的例題的第1題中,;第2題中,


隨堂練習

化簡下列各式:

  1. [解答 2]

接下來練習比較複雜的例子:

例題

化簡下列各式,答案使用降冪排列表示:



隨堂練習

化簡下列各式:

  1. [解答 3]

註解

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  1. 唯一的例外是二元一次式
  2. 如果未知數出現在式子的分母,這樣的式子我們稱之為分式,這是高中會習得的教材。
  3. 關於根號,請見2-1 二次方根的意義
  4. 課外參考資料:維基百科:單項式

習題解答

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  1. 1. 項。
    2.
    3. 次多項式。
    4.升冪排列為;降冪排列為
  2. 1.
    2.
    3.
  3. 1.
    2.
    3.