國中數學/國中數學八年級/1-2 多項式的加減運算

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國中數學八年級
1-2 多項式的加減運算

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本章節要來談談數學上很常使用的基本式子：多項式(polynomial)，並且談談它們的加減運算模式。它們的乘除模式留到下一節1-3 多項式的乘除運算講解。

多項式

在一個式子中，若文字符號(通常是 $x$ )與數字只利用加法與乘法做運算而得，那這樣的式子我們稱為多項式。例如： $x^{2}+3$ 是由 $x\times x+3$ 得到的式子，所以它是一個多項式； $x^{2}-3$ 是由 $x\times x+(-3)$ 得到的式子，它也是一個多項式。而依此定義，事實上 $x^{2}y^{3}+z=x\times x\times y\times y\times y+z$ 也是多項式，不過在中學階段，只會學習含有一個文字符號的多項式^{[註 1]}。

多項式的判別

多項式是一個式子，所以多項式本身沒有等號。
- $x^{2}+3=7$ 不是多項式。
文字符號不能出現在分母，因為它用到了除法^{[註 2]}。可是文字符號可以出現在分子，因為我們在七年級上學期3-1 一元一次式有提到 ${\frac {ax}{b}}={\frac {a}{b}}x$ ${\frac {ax}{b}}={\frac {a}{b}}x$ ，它是一個乘法運算。
- ${\frac {5}{x}}$ 、 ${\frac {5x^{3}+7}{2x}}$ 不是多項式，但 ${\frac {x}{5}}$ 、 ${\frac {5x^{3}+7}{2}}$ 是。
文字符號不能出現在絕對值內。但如果絕對值內沒有未知數的話也是可以的。
- $\left\vert x-4\right\vert$ 、 $\left\vert x\right\vert -4$ 不是多項式，但 $x-\left\vert 4\right\vert$ 是多項式。
文字符號不能出現在次方。另外未知數的次方要是正整數或 ${\color {red}0}$ ${\color {red}0}$ 。
- $3^{x}$ 、 $x^{0.3}$ 不是多項式。
文字符號不能出現在根號內^{[註 3]}。
- ${\sqrt {6x}}$ 不是多項式。

多項式的名詞

接下來介紹多項式的相關名詞。在底下的介紹若沒有特別說明，我們都是以多項式 $3x^{2}-5x+7$ 為例子。

項：多項式當中，使用加號（＋）分開的各部分。
- 在例子 $3x^{2}-5x+7$ 中， $3x^{2}-5x+7=3x^{2}+(-5x)+7$ ，所以 $3x^{2}-5x+7$ 有三個項： $3x^{2}$ 、 $-5x$ 、 $7$ 。
- 對於項的辨識，作者建議學生將前面的「運算符號( $+$ 與 $-$ )」都視為「性質符號」。對於這兩個名詞陌生的同學，請參考國中七年級 1-1 正數與負數的內容。
單項式(monomial)：只有一個項的多項式^{[註 4]}。
- $3x^{2}$ 、 $-5x$ 、 $7$ 都是單項式。
次數：多項式的所有項當中，文字符號次數最大的數字。
- 在例子 $3x^{2}-5x+7$ 中，所有項次數最大的是 $3x^{2}$ ，它是二次方，所以次數為 $2$ 。
- 次數會記錄為 $deg$ (多項式)，如 $deg(3x^{2}-5x+7)=2$ 。
系數：每一項出現的數字部分。
- 在例子 $3x^{2}-5x+7$ 中，各項系數為 $3$ 、 $-5$ 、 $7$ 。
- 各個項的系數可以直接稱呼「 $x$ 的幾次方項系數」，也可以省略稱呼為「幾次項系數」。如 $3x^{2}-5x+7$ 的 $x^{2}$ 項系數是 $5$ ，也可以說二次項系數為 $5$ 。
- 沒有文字符號的項稱作常數項(constant term)。
- 若多項式沒有某一項，則稱該項系數為 $0$ 。如 $3x^{2}-5x+7$ 沒有 $x^{3}$ 項，所以 $x^{3}$ 項系數是 $0$ 。
常數多項式：任何一個數字。如： $7$ $7$ 、 $0$ $0$ 、 $4.91$ $4.91$ 、 $-{\frac {3}{7}}$ $-{\frac {3}{7}}$ 、圓周率 $\pi$ $\pi$ 。
- 【課外補充】其中如果不是 $0$ 的任意數，我們稱作零次多項式；若此多項式為 $0$ ，我們稱作零多項式。
升冪排列：將多項式的項依照次方數由小到大排列。
降冪排列：將多項式的項依照次方數由大到小排列。是最常使用的排列方式。
- $3x^{2}-5x+7$ 為降冪排列，因為次數從 $2$ 降到 $0$ ；而此多項式的升冪排列為 $7-5x+3x^{2}$ 。

例題

1

有一個多項式為 $5x-3x^{5}+2x^{2}-7$ ，請問：

此多項式總共有幾項？
此多項式各項系數是多少？
此多項式為幾次多項式？
此多項式的升冪排列與降冪排列為何？

解

此多項式總共有 $4$ 項，它們分別是 $5x$ 、 $-3x^{5}$ 、 $2x^{2}$ 、 $-7$ 。
各項系數依序為 $x^{5}$ 項系數為 $-3$ ； $x^{2}$ 項系數為 $2$ ； $x$ 項系數為 $5$ ，常數項為 $-7$
最高次方為 $5$ ，所以是五次多項式。
此多項式的升冪排列為 $-7+5x+2x^{2}-3x^{5}$ ，降冪排列為 $-3x^{5}+2x^{2}+5x-7$ 。

隨堂練習

有一個多項式為 $2-4x^{3}-2x^{2}$ ，請問：

此多項式總共有幾項？
此多項式 $x$ 項系數是多少？
此多項式為幾次多項式？
此多項式的升冪排列與降冪排列為何？^{[解答 1]}

多項式的加法

多項式的加法運算方式就是同類項合併，搭配去括號規則，可以使用橫式計算也可以使用直式計算。

而介紹同類項合併之前，介紹一下何謂「同類項」：

 同類項：兩個單項式中，其未知數相同，未知數的次方數也相同。

根據這個定義，以下是幾個例子：

$x+3$ 與 $2x-3$ 不是同類項，因為它們不是單項式。
$4x$ 與 $4y$ 不是同類項，因為未知數不相同。
$4x^{2}$ 與 $5x^{3}$ 不是同類項，因為未知數的次方數不相同。
$7x^{2}y$ 與 $-{\frac {3}{5}}x^{2}y$ 是同類項，因為未知數相同，未知數的次方數也相同。
$7x^{2}y$ 與 $-{\frac {3}{5}}xy^{2}$ 不是同類項，因為雖然未知數相同，但未知數 ${\color {blue}x}$ 的次方數不相同， $y$ 的次方數也不相同。
任意兩個常數都是同類項，如圓周率 $\pi$ 與 ${\frac {15}{7}}$ 。

接下來就是同類項合併的主要公式了，這裏的 $a$ 與 $b$ 都是常數， $X$ 可以是任意形式的單項式(只要是相同的即可)：

$aX+bX=(a+b)X$
$aX-bX=(a-b)X$

底下來做一個練習：

例題

2

化簡下列各式：

$(-7y)+12y$
$(-11a^{2}b^{3})-5a^{2}b^{3}$

解

$(-7y)+12y=[(-7)+12]y=5y$ 。
$(-11a^{2}b^{3})-5a^{2}b^{3}=[(-11)-5]a^{2}b^{3}=-16a^{2}b^{3}$ 。

在上面的例題 $2$ 的第1題中， $X=y$ ；第2題中， $X=a^{2}b^{3}$ 。

隨堂練習

化簡下列各式：

$(-13x)+(-15x)$
$7xy^{2}-(-5xy^{2})$
$13x-x$ ^{[解答 2]}

接下來練習比較複雜的例子：

例題

3

化簡下列各式，答案使用降冪排列表示：

$2y^{2}+3y-4+5y^{2}+6y+7$
$7x-8x^{2}+10x-9x^{2}+2-7$

解

${\begin{alignedat}{2}1.&2y^{2}+3y-4+5y^{2}+6y+7\\&=(2+5)y^{2}+(3+6)y+[(-4)+7]\\&=7y^{2}+9y+3\\\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}2.&7x-8x^{2}+10x-9x^{2}+2-7\\&=[(-8)-9]x^{2}+(7+10)x+(2-7)\\&=-17x^{2}+17x-5\\\end{alignedat}}$