国中数学/国中数学八年级/1-2 多项式的加减运算

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国中数学八年级
1-2 多项式的加减运算

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本章节要来谈谈数学上很常使用的基本式子：多项式(polynomial)，并且谈谈它们的加减运算模式。它们的乘除模式留到下一节1-3 多项式的乘除运算讲解。

多项式

在一个式子中，若文字符号(通常是 $x$ )与数字只利用加法与乘法做运算而得，那这样的式子我们称为多项式。例如： $x^{2}+3$ 是由 $x\times x+3$ 得到的式子，所以它是一个多项式； $x^{2}-3$ 是由 $x\times x+(-3)$ 得到的式子，它也是一个多项式。而依此定义，事实上 $x^{2}y^{3}+z=x\times x\times y\times y\times y+z$ 也是多项式，不过在中学阶段，只会学习含有一个文字符号的多项式^{[注 1]}。

多项式的判别

多项式是一个式子，所以多项式本身没有等号。
- $x^{2}+3=7$ 不是多项式。
文字符号不能出现在分母，因为它用到了除法^{[注 2]}。可是文字符号可以出现在分子，因为我们在七年级上学期3-1 一元一次式有提到 ${\frac {ax}{b}}={\frac {a}{b}}x$ ${\frac {ax}{b}}={\frac {a}{b}}x$ ，它是一个乘法运算。
- ${\frac {5}{x}}$ 、 ${\frac {5x^{3}+7}{2x}}$ 不是多项式，但 ${\frac {x}{5}}$ 、 ${\frac {5x^{3}+7}{2}}$ 是。
文字符号不能出现在绝对值内。但如果绝对值内没有未知数的话也是可以的。
- $\left\vert x-4\right\vert$ 、 $\left\vert x\right\vert -4$ 不是多项式，但 $x-\left\vert 4\right\vert$ 是多项式。
文字符号不能出现在次方。另外未知数的次方要是正整数或 ${\color {red}0}$ ${\color {red}0}$ 。
- $3^{x}$ 、 $x^{0.3}$ 不是多项式。
文字符号不能出现在根号内^{[注 3]}。
- ${\sqrt {6x}}$ 不是多项式。

多项式的名词

接下来介绍多项式的相关名词。在底下的介绍若没有特别说明，我们都是以多项式 $3x^{2}-5x+7$ 为例子。

项：多项式当中，使用加号（＋）分开的各部分。
- 在例子 $3x^{2}-5x+7$ 中， $3x^{2}-5x+7=3x^{2}+(-5x)+7$ ，所以 $3x^{2}-5x+7$ 有三个项： $3x^{2}$ 、 $-5x$ 、 $7$ 。
- 对于项的辨识，作者建议学生将前面的“运算符号( $+$ 与 $-$ )”都视为“性质符号”。对于这两个名词陌生的同学，请参考国中七年级 1-1 正数与负数的内容。
单项式(monomial)：只有一个项的多项式^{[注 4]}。
- $3x^{2}$ 、 $-5x$ 、 $7$ 都是单项式。
次数：多项式的所有项当中，文字符号次数最大的数字。
- 在例子 $3x^{2}-5x+7$ 中，所有项次数最大的是 $3x^{2}$ ，它是二次方，所以次数为 $2$ 。
- 次数会记录为 $deg$ (多项式)，如 $deg(3x^{2}-5x+7)=2$ 。
系数：每一项出现的数字部分。
- 在例子 $3x^{2}-5x+7$ 中，各项系数为 $3$ 、 $-5$ 、 $7$ 。
- 各个项的系数可以直接称呼“ $x$ 的几次方项系数”，也可以省略称呼为“几次项系数”。如 $3x^{2}-5x+7$ 的 $x^{2}$ 项系数是 $5$ ，也可以说二次项系数为 $5$ 。
- 没有文字符号的项称作常数项(constant term)。
- 若多项式没有某一项，则称该项系数为 $0$ 。如 $3x^{2}-5x+7$ 没有 $x^{3}$ 项，所以 $x^{3}$ 项系数是 $0$ 。
常数多项式：任何一个数字。如： $7$ $7$ 、 $0$ $0$ 、 $4.91$ $4.91$ 、 $-{\frac {3}{7}}$ $-{\frac {3}{7}}$ 、圆周率 $\pi$ $\pi$ 。
- 【课外补充】其中如果不是 $0$ 的任意数，我们称作零次多项式；若此多项式为 $0$ ，我们称作零多项式。
升幂排列：将多项式的项依照次方数由小到大排列。
降幂排列：将多项式的项依照次方数由大到小排列。是最常使用的排列方式。
- $3x^{2}-5x+7$ 为降幂排列，因为次数从 $2$ 降到 $0$ ；而此多项式的升幂排列为 $7-5x+3x^{2}$ 。

例题

1

有一个多项式为 $5x-3x^{5}+2x^{2}-7$ ，请问：

此多项式总共有几项？
此多项式各项系数是多少？
此多项式为几次多项式？
此多项式的升幂排列与降幂排列为何？

解

此多项式总共有 $4$ 项，它们分别是 $5x$ 、 $-3x^{5}$ 、 $2x^{2}$ 、 $-7$ 。
各项系数依序为 $x^{5}$ 项系数为 $-3$ ； $x^{2}$ 项系数为 $2$ ； $x$ 项系数为 $5$ ，常数项为 $-7$
最高次方为 $5$ ，所以是五次多项式。
此多项式的升幂排列为 $-7+5x+2x^{2}-3x^{5}$ ，降幂排列为 $-3x^{5}+2x^{2}+5x-7$ 。

随堂练习

有一个多项式为 $2-4x^{3}-2x^{2}$ ，请问：

此多项式总共有几项？
此多项式 $x$ 项系数是多少？
此多项式为几次多项式？
此多项式的升幂排列与降幂排列为何？^{[解答 1]}

多项式的加法

多项式的加法运算方式就是同类项合并，搭配去括号规则，可以使用横式计算也可以使用直式计算。

而介绍同类项合并之前，介绍一下何谓“同类项”：

 同類項：兩個單項式中，其未知數相同，未知數的次方數也相同。

根据这个定义，以下是几个例子：

$x+3$ 与 $2x-3$ 不是同类项，因为它们不是单项式。
$4x$ 与 $4y$ 不是同类项，因为未知数不相同。
$4x^{2}$ 与 $5x^{3}$ 不是同类项，因为未知数的次方数不相同。
$7x^{2}y$ 与 $-{\frac {3}{5}}x^{2}y$ 是同类项，因为未知数相同，未知数的次方数也相同。
$7x^{2}y$ 与 $-{\frac {3}{5}}xy^{2}$ 不是同类项，因为虽然未知数相同，但未知数 ${\color {blue}x}$ 的次方数不相同， $y$ 的次方数也不相同。
任意两个常数都是同类项，如圆周率 $\pi$ 与 ${\frac {15}{7}}$ 。

接下来就是同类项合并的主要公式了，这里的 $a$ 与 $b$ 都是常数， $X$ 可以是任意形式的单项式(只要是相同的即可)：

$aX+bX=(a+b)X$
$aX-bX=(a-b)X$

底下来做一个练习：

例题

2

化简下列各式：

$(-7y)+12y$
$(-11a^{2}b^{3})-5a^{2}b^{3}$

解

$(-7y)+12y=[(-7)+12]y=5y$ 。
$(-11a^{2}b^{3})-5a^{2}b^{3}=[(-11)-5]a^{2}b^{3}=-16a^{2}b^{3}$ 。

在上面的例题 $2$ 的第1题中， $X=y$ ；第2题中， $X=a^{2}b^{3}$ 。

随堂练习

化简下列各式：

$(-13x)+(-15x)$
$7xy^{2}-(-5xy^{2})$
$13x-x$ ^{[解答 2]}

接下来练习比较复杂的例子：

例题

3

化简下列各式，答案使用降幂排列表示：

$2y^{2}+3y-4+5y^{2}+6y+7$
$7x-8x^{2}+10x-9x^{2}+2-7$

解

${\begin{alignedat}{2}1.&2y^{2}+3y-4+5y^{2}+6y+7\\&=(2+5)y^{2}+(3+6)y+[(-4)+7]\\&=7y^{2}+9y+3\\\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}2.&7x-8x^{2}+10x-9x^{2}+2-7\\&=[(-8)-9]x^{2}+(7+10)x+(2-7)\\&=-17x^{2}+17x-5\\\end{alignedat}}$

随堂练习

化简下列各式：

$-x^{2}+3x-4+5x^{2}-6x+12$
$5a^{2}+7-4a^{2}+9a-5-9a$
$13y^{2}+11y-12+15-10y-13y^{2}$ ^{[解答 3]}

接下来练习两个多项式相加的运算。

例题

4

化简下列各式，答案使用降幂排列表示：

$(7y^{2}-8y-12)+(-5y^{2}-4y+7)$
$(23x-14x^{2}+19)+(18x^{2}+12-11x)$

解

${\begin{alignedat}{2}1.&(7y^{2}-8y-12)+(-5y^{2}-4y+7)\\&=7y^{2}-8y-12-5y^{2}-4y+7\\&=(7-5)y^{2}+[(-8)-4)]y+[(-12)+7]\\&=2y^{2}+(-12)y+(-5)=2y^{2}-12y-5\\\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}2.&(23x-14x^{2}+19)+(18x^{2}+12-11x)\\&=23x-14x^{2}+19+18x^{2}+12-11x\\&=[(-14)+18]x^{2}+(23-11)x+(19+12)\\&=4x^{2}+12x+31\\\end{alignedat}}$

随堂练习

计算下列各式：

$(-4x^{2}+9x+12)+(11x^{2}-9x+5)$
$(5a^{2}+7)+(-4a^{2}+9a-5)$
$(13y^{3}+11y^{2}-12y+15)+(7+10y-11y^{2}-13y^{3})$ ^{[解答 4]}

我们注意到上面随堂练习的第3小题， $13y^{3}+11y^{2}-12y+15$ 与 $7+10y-11y^{2}-13y^{3}$ 都是三次多项式，但是加起来的结果却是一次式 $-2y+22$ 。事实上，两个同次数的多项式相加，答案的次数可能会少于原本的次数。那如果我们确定两个相加的多项式次数不相同的时候，得到的和会发生什么事呢？

例题

5

设多项式 $A=5x^{2}+7x-4$ ，多项式 $B=2x^{3}-6x^{2}-3$ ，则：

多项式 $A$ 与多项式 $B$ 的次数各为何？
计算 $A+B$ 。 $A+B$ 的次数是多少？

解

多项式 $A$ 的次数为 $2$ 次，多项式 $B$ 的次数为 $3$ 次。
计算 $A+B$ $A+B$ 的过程如下所示：
- ${\begin{alignedat}{2}A+B&=(5x^{2}+7x-4)+(2x^{3}-6x^{2}-3)\\&=5x^{2}+7x-4+2x^{3}-6x^{2}-3\\&=2x^{3}+(5-6)x^{2}+7x+[(-4)+(-3)]\\&=2x^{3}+(-1)x^{2}+7x+(-7)=2x^{3}-x^{2}+7x-7\\\end{alignedat}}$
- $A+B$ 的次数为 $3$ 次。

在上面这个例子，我们发现：最高次方的系数是无法“被撼动的”，所以当两个次数不同的多项式相加，其结果的次数跟次数比较大的多项式相同。
随堂练习
设多项式 $A=x^{2}-4x+5$ ，多项式 $B=9x-3$ ，则：

多项式 $A$ 与多项式 $B$ 的次数各为何？
计算 $A+B$ 。 $A+B$ 的次数是多少？^{[解答 5]}

多项式的减法

多项式的减法运算方式与多项式的加法运算类似，只是在去括号规则的地方要注意变号的问题。

例题

6

化简下列各式，答案使用降幂排列表示：

$(2y^{2}+4y-4)-(-5y^{2}+8y+12)$
$(5-7x^{2})-(x+2x^{2}-7)$

解

${\begin{alignedat}{2}1.&(2y^{2}+4y-4)-(-5y^{2}+8y+12)\\&=2y^{2}+4y-4+5y^{2}-8y-12\\&=(2+5)y^{2}+(4-8)y+[(-4)-12]\\&=7y^{2}+(-4)y+(-16)=7y^{2}-4y-16\\\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}2.&(5-7x^{2})-(x+2x^{2}-7)\\&=5-7x^{2}-x-2x^{2}+7\\&=[(-7)-2]x^{2}-x+(5+7)\\&=-9x^{2}-x+12\\\end{alignedat}}$

随堂练习

计算下列各式：

$(13x^{2}+4x-4)-(9x^{2}-2x-4)$
$(6x^{2}-1)-(7x^{2}+7x)$
$(5y^{3}+2y^{2}+3y-4)-(9+7y+2y^{2}+5y^{3})$ ^{[解答 6]}

给定三个多项式 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 而且 $A+B=C$ ，我们可以推知 $A=C-B$ 或 $B=C-A$ ，这说明了多项式的加减运算具有等量减法公理。同样的，若 $A-B=C$ ，我们可以推知 $A=C+B$ 或 $B=A-C$ ，这说明了多项式的加减运算也同时具有等量加法公理。

例题

7

已知多项式 $A$ 与多项式 $5x^{2}+7x-3$ 的结果是 $7$ ，求多项式 $A$ 为何？

解

依题意可知 $A+(5x^{2}+7x-3)=7$ ，由等量减法公理可知 $A=7-(5x^{2}+7x-3)=7-5x^{2}-7x+3=-5x^{2}-7x+10$ 。

随堂练习

已知多项式 $B$ 减去多项式 $2x^{2}-7x+9$ 的结果是 $6x^{2}+8x-3$ ，求多项式 $B$ 为何？^{[解答 7]}

多项式的加减混合计算

与数的加减混合计算一样，多项式的加减混合计算也必须遵守以下两个法则：

有括号要先算。
- 也可以先去括号再计算。
没有括号的时候：从左而右计算。

例题

8

化简下列各式，答案使用降幂排列表示：

$(2y+6y^{2}+6)-(3y^{2}-4+y)-(2y^{2}+3)$
$(3x^{2}-2x+6)-[(-2x^{2}+x-4)-(-3x^{2}+8x-11)]$

解

${\begin{alignedat}{2}1.&(2y+6y^{2}+6)-(3y^{2}-4+y)-(2y^{2}+3)\\&=2y+6y^{2}+6-3y^{2}+4-y-2y^{2}-3\\&=(6-3-2)y^{2}+(2-1)y+(6+4-3)\\&=y^{2}+1y+7=y^{2}+y+7\\\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}2.&(3x^{2}-2x+6)-[(-2x^{2}+x-4)-(-3x^{2}+8x-11)]\\&=(3x^{2}-2x+6)-[-2x^{2}+x-4+3x^{2}-8x+11]\\&=(3x^{2}-2x+6)-[x^{2}-7x+7]\\&=3x^{2}-2x+6-x^{2}+7x-7\\&=(3-1)x^{2}+[(-2)+7]x+(6-7)\\&=2x^{2}+5x+(-1)=2x^{2}+5x-1\\\end{alignedat}}$