国中数学/国中数学八年级/1-2 多项式的加减运算
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本章节要来谈谈数学上很常使用的基本式子：多项式(polynomial)，并且谈谈它们的加减运算模式。它们的乘除模式留到下一节1-3 多项式的乘除运算讲解。
多项式[编辑]
在一个式子中，若文字符号(通常是)与数字只利用加法与乘法做运算而得，那这样的式子我们称为多项式。例如：是由得到的式子，所以它是一个多项式；是由得到的式子，它也是一个多项式。而依此定义，事实上也是多项式，不过在中学阶段，只会学习含有一个文字符号的多项式[注 1]。
多项式的判别[编辑]
- 多项式是一个式子，所以多项式本身没有等号。
- 不是多项式。
- 文字符号不能出现在分母，因为它用到了除法[注 2]。可是文字符号可以出现在分子，因为我们在七年级上学期3-1 一元一次式有提到，它是一个乘法运算。
- 、不是多项式，但、是。
- 文字符号不能出现在绝对值内。但如果绝对值内没有未知数的话也是可以的。
- 、不是多项式，但是多项式。
- 文字符号不能出现在次方。另外未知数的次方要是正整数或。
- 、不是多项式。
- 文字符号不能出现在根号内[注 3]。
- 不是多项式。
多项式的名词[编辑]
接下来介绍多项式的相关名词。在底下的介绍若没有特别说明，我们都是以多项式为例子。
- 项：多项式当中，使用加号（＋）分开的各部分。
- 在例子中，，所以有三个项：、、。
- 对于项的辨识，作者建议学生将前面的“运算符号(与)”都视为“性质符号”。对于这两个名词陌生的同学，请参考国中七年级 1-1 正数与负数的内容。
- 单项式(monomial)：只有一个项的多项式[注 4]。
- 、、都是单项式。
- 次数：多项式的所有项当中，文字符号次数最大的数字。
- 在例子中，所有项次数最大的是，它是二次方，所以次数为。
- 次数会记录为(多项式)，如。
- 系数：每一项出现的数字部分。
- 在例子中，各项系数为、、。
- 各个项的系数可以直接称呼“的几次方项系数”，也可以省略称呼为“几次项系数”。如的项系数是，也可以说二次项系数为。
- 没有文字符号的项称作常数项(constant term)。
- 若多项式没有某一项，则称该项系数为。如没有项，所以项系数是。
- 常数多项式：任何一个数字。如：、、、、圆周率。
- 【课外补充】其中如果不是的任意数，我们称作零次多项式；若此多项式为，我们称作零多项式。
- 升幂排列：将多项式的项依照次方数由小到大排列。
- 降幂排列：将多项式的项依照次方数由大到小排列。是最常使用的排列方式。
- 为降幂排列，因为次数从降到；而此多项式的升幂排列为。
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例题 有一个多项式为，请问：
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解
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随堂练习
有一个多项式为，请问：
- 此多项式总共有几项？
- 此多项式项系数是多少？
- 此多项式为几次多项式？
- 此多项式的升幂排列与降幂排列为何？[解答 1]
多项式的加法[编辑]
多项式的加法运算方式就是同类项合并，搭配去括号规则，可以使用横式计算也可以使用直式计算。
而介绍同类项合并之前，介绍一下何谓“同类项”：
同類項：兩個單項式中，其未知數相同，未知數的次方數也相同。
根据这个定义，以下是几个例子：
- 与不是同类项，因为它们不是单项式。
- 与不是同类项，因为未知数不相同。
- 与不是同类项，因为未知数的次方数不相同。
- 与是同类项，因为未知数相同，未知数的次方数也相同。
- 与不是同类项，因为虽然未知数相同，但未知数的次方数不相同，的次方数也不相同。
- 任意两个常数都是同类项，如圆周率与。
接下来就是同类项合并的主要公式了，这里的与都是常数，可以是任意形式的单项式(只要是相同的即可)：
底下来做一个练习：
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例题 化简下列各式： |
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解
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![{\displaystyle (-7y)+12y=[(-7)+12]y=5y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3982d4074a8c179bd76c04fc4dc287a5cb700c1f)
![{\displaystyle (-11a^{2}b^{3})-5a^{2}b^{3}=[(-11)-5]a^{2}b^{3}=-16a^{2}b^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96024d2abec5c3da39c6668039d6703ff36387e4)
在上面的例题的第1题中，；第2题中，。
随堂练习
化简下列各式：
接下来练习比较复杂的例子：
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例题 化简下列各式，答案使用降幂排列表示： |
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解
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![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}1.&2y^{2}+3y-4+5y^{2}+6y+7\\&=(2+5)y^{2}+(3+6)y+[(-4)+7]\\&=7y^{2}+9y+3\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc6cbc63063e0b85262ee129e63927a360db2d5)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}2.&7x-8x^{2}+10x-9x^{2}+2-7\\&=[(-8)-9]x^{2}+(7+10)x+(2-7)\\&=-17x^{2}+17x-5\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf2de094cdb670f0cc589577c929de24ba567ab)
随堂练习
化简下列各式：
