国中数学/国中数学八年级/1-2 多项式的加减运算

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国中数学八年级
1-2 多项式的加减运算

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本章节要来谈谈数学上很常使用的基本式子：多项式(polynomial)，并且谈谈它们的加减运算模式。它们的乘除模式留到下一节1-3 多项式的乘除运算讲解。

多项式

在一个式子中，若文字符号(通常是 $x$ )与数字只利用加法与乘法做运算而得，那这样的式子我们称为多项式。例如： $x^{2}+3$ 是由 $x\times x+3$ 得到的式子，所以它是一个多项式； $x^{2}-3$ 是由 $x\times x+(-3)$ 得到的式子，它也是一个多项式。而依此定义，事实上 $x^{2}y^{3}+z=x\times x\times y\times y\times y+z$ 也是多项式，不过在中学阶段，只会学习含有一个文字符号的多项式^{[注 1]}。

多项式的判别

多项式是一个式子，所以多项式本身没有等号。
- $x^{2}+3=7$ 不是多项式。
文字符号不能出现在分母，因为它用到了除法^{[注 2]}。可是文字符号可以出现在分子，因为我们在七年级上学期3-1 一元一次式有提到 ${\frac {ax}{b}}={\frac {a}{b}}x$ ${\frac {ax}{b}}={\frac {a}{b}}x$ ，它是一个乘法运算。
- ${\frac {5}{x}}$ 、 ${\frac {5x^{3}+7}{2x}}$ 不是多项式，但 ${\frac {x}{5}}$ 、 ${\frac {5x^{3}+7}{2}}$ 是。
文字符号不能出现在绝对值内。但如果绝对值内没有未知数的话也是可以的。
- $\left\vert x-4\right\vert$ 、 $\left\vert x\right\vert -4$ 不是多项式，但 $x-\left\vert 4\right\vert$ 是多项式。
文字符号不能出现在次方。另外未知数的次方要是正整数或 ${\color {red}0}$ ${\color {red}0}$ 。
- $3^{x}$ 、 $x^{0.3}$ 不是多项式。
文字符号不能出现在根号内^{[注 3]}。
- ${\sqrt {6x}}$ 不是多项式。

多项式的名词

接下来介绍多项式的相关名词。在底下的介绍若没有特别说明，我们都是以多项式 $3x^{2}-5x+7$ 为例子。

项：多项式当中，使用加号（＋）分开的各部分。
- 在例子 $3x^{2}-5x+7$ 中， $3x^{2}-5x+7=3x^{2}+(-5x)+7$ ，所以 $3x^{2}-5x+7$ 有三个项： $3x^{2}$ 、 $-5x$ 、 $7$ 。
- 对于项的辨识，作者建议学生将前面的“运算符号( $+$ 与 $-$ )”都视为“性质符号”。对于这两个名词陌生的同学，请参考国中七年级 1-1 正数与负数的内容。
单项式(monomial)：只有一个项的多项式^{[注 4]}。
- $3x^{2}$ 、 $-5x$ 、 $7$ 都是单项式。
次数：多项式的所有项当中，文字符号次数最大的数字。
- 在例子 $3x^{2}-5x+7$ 中，所有项次数最大的是 $3x^{2}$ ，它是二次方，所以次数为 $2$ 。
- 次数会记录为 $deg$ (多项式)，如 $deg(3x^{2}-5x+7)=2$ 。
系数：每一项出现的数字部分。
- 在例子 $3x^{2}-5x+7$ 中，各项系数为 $3$ 、 $-5$ 、 $7$ 。
- 各个项的系数可以直接称呼“ $x$ 的几次方项系数”，也可以省略称呼为“几次项系数”。如 $3x^{2}-5x+7$ 的 $x^{2}$ 项系数是 $5$ ，也可以说二次项系数为 $5$ 。
- 没有文字符号的项称作常数项(constant term)。
- 若多项式没有某一项，则称该项系数为 $0$ 。如 $3x^{2}-5x+7$ 没有 $x^{3}$ 项，所以 $x^{3}$ 项系数是 $0$ 。
常数多项式：任何一个数字。如： $7$ $7$ 、 $0$ $0$ 、 $4.91$ $4.91$ 、 $-{\frac {3}{7}}$ $-{\frac {3}{7}}$ 、圆周率 $\pi$ $\pi$ 。
- 【课外补充】其中如果不是 $0$ 的任意数，我们称作零次多项式；若此多项式为 $0$ ，我们称作零多项式。
升幂排列：将多项式的项依照次方数由小到大排列。
降幂排列：将多项式的项依照次方数由大到小排列。是最常使用的排列方式。
- $3x^{2}-5x+7$ 为降幂排列，因为次数从 $2$ 降到 $0$ ；而此多项式的升幂排列为 $7-5x+3x^{2}$ 。

例题

1

有一个多项式为 $5x-3x^{5}+2x^{2}-7$ ，请问：

此多项式总共有几项？
此多项式各项系数是多少？
此多项式为几次多项式？
此多项式的升幂排列与降幂排列为何？

解

此多项式总共有 $4$ 项，它们分别是 $5x$ 、 $-3x^{5}$ 、 $2x^{2}$ 、 $-7$ 。
各项系数依序为 $x^{5}$ 项系数为 $-3$ ； $x^{2}$ 项系数为 $2$ ； $x$ 项系数为 $5$ ，常数项为 $-7$
最高次方为 $5$ ，所以是五次多项式。
此多项式的升幂排列为 $-7+5x+2x^{2}-3x^{5}$ ，降幂排列为 $-3x^{5}+2x^{2}+5x-7$ 。

随堂练习

有一个多项式为 $2-4x^{3}-2x^{2}$ ，请问：

此多项式总共有几项？
此多项式 $x$ 项系数是多少？
此多项式为几次多项式？
此多项式的升幂排列与降幂排列为何？^{[解答 1]}

多项式的加法

多项式的加法运算方式就是同类项合并，搭配去括号规则，可以使用横式计算也可以使用直式计算。

而介绍同类项合并之前，介绍一下何谓“同类项”：

 同類項：兩個單項式中，其未知數相同，未知數的次方數也相同。

根据这个定义，以下是几个例子：

$x+3$ 与 $2x-3$ 不是同类项，因为它们不是单项式。
$4x$ 与 $4y$ 不是同类项，因为未知数不相同。
$4x^{2}$ 与 $5x^{3}$ 不是同类项，因为未知数的次方数不相同。
$7x^{2}y$ 与 $-{\frac {3}{5}}x^{2}y$ 是同类项，因为未知数相同，未知数的次方数也相同。
$7x^{2}y$ 与 $-{\frac {3}{5}}xy^{2}$ 不是同类项，因为虽然未知数相同，但未知数 ${\color {blue}x}$ 的次方数不相同， $y$ 的次方数也不相同。
任意两个常数都是同类项，如圆周率 $\pi$ 与 ${\frac {15}{7}}$ 。

接下来就是同类项合并的主要公式了，这里的 $a$ 与 $b$ 都是常数， $X$ 可以是任意形式的单项式(只要是相同的即可)：

$aX+bX=(a+b)X$
$aX-bX=(a-b)X$

底下来做一个练习：

例题

2

化简下列各式：

$(-7y)+12y$
$(-11a^{2}b^{3})-5a^{2}b^{3}$

解

$(-7y)+12y=[(-7)+12]y=5y$ 。
$(-11a^{2}b^{3})-5a^{2}b^{3}=[(-11)-5]a^{2}b^{3}=-16a^{2}b^{3}$ 。

在上面的例题 $2$ 的第1题中， $X=y$ ；第2题中， $X=a^{2}b^{3}$ 。

随堂练习

化简下列各式：

$(-13x)+(-15x)$
$7xy^{2}-(-5xy^{2})$
$13x-x$ ^{[解答 2]}

接下来练习比较复杂的例子：

例题

3

化简下列各式，答案使用降幂排列表示：

$2y^{2}+3y-4+5y^{2}+6y+7$
$7x-8x^{2}+10x-9x^{2}+2-7$

解

${\begin{alignedat}{2}1.&2y^{2}+3y-4+5y^{2}+6y+7\\&=(2+5)y^{2}+(3+6)y+[(-4)+7]\\&=7y^{2}+9y+3\\\end{alignedat}}$
${\begin{alignedat}{2}2.&7x-8x^{2}+10x-9x^{2}+2-7\\&=[(-8)-9]x^{2}+(7+10)x+(2-7)\\&=-17x^{2}+17x-5\\\end{alignedat}}$