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多项式的定义[编辑]
多项式,即式子
,而且若
为正整数,则称此式为多项式
名词解释[编辑]
项:多项式中每一个
皆称之为多项式的项
次数:多项式
中每一项的n为此项的次数
同次项:若有多个多项式,其中每一项的
项称之为同次项
首项:指多项式的项中次数最大者,若多项式首项为
,则称此多项式为
次多项式
项数:顾名思义,即为多项式项的数目
系数:指任意多项式
中的
且
为多项式
零次多项式(单项式,有时不被视为多项式):指多项式
中,
,而没有其他
的项,其中
为常数
零多项式:零次多项式中的
者称
多项式及非多项式[编辑]
多项式里面的任意
的
必须为正整数,否则不能称之为多项式
以下的式子为多项式:
、
、
、
以下的式子不为多项式:
、
、
、
多项式的计算[编辑]
多项式有类似于一般数字的运算,凡举加减乘除在多项式中都有相对应的算法
當中間有些項的係數為零時,最好將這些項也給寫出來,以減少錯誤,而寫答案時,係數為零的項可省略不寫
若有两个多项式
和
,它们的同次项可相加,例子如下:
例:
、
则
例:
、
则
多项式的乘法,
就是
的每一项,都乘以
的每一项,有次方的就累积。
例:
则:
多项式除法,如
除以
,意即求出商式
和余式
,
使得
,其中
多项式长除法[编辑]
多项式与多项式之间的长除法,步骤类同于数与数之间的长除法
例子:用多项式长除法求解  除以 
|
综合除法[编辑]
一般的综合除法能计算除式形如
的除法。
得出形如
的恒等式。
例子:用综合除法求解  除以  在顶部写上被除式的各项系数,左边写上k

把被除式最高次项的系数写下来

乘上左边的常数再放上第二行

与上面的系数相加,写到下面

重复乘法加法运算,直到除法结束

结果得出商式为 ,余式为
|
余式定理[编辑]
多项式
除以
的余式为
,
证明余式定理 由多项式除法得到:

因为除式为一次多项式,所以余式一定是常数,代入 ,得到
|
- 求
除以
的余式
- 用长除法求
除以
的余式
因式分解[编辑]
因式分解和整式的乘法一样,是一种整式的恒等变形,但因式分解的结果与整式乘法正好相反.例如有恒等式
从左向右是整式乘法,从右向左是因式分解.
因式分解的基本方法有4种:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.
例如:
首先,先要找和为47、积为396的两个数,396为36、11之积,
所以
最大公因式和最小公倍式[编辑]
辗转相除法[编辑]
方程式求解[编辑]
若设一个多项式
,则使此式成立的所有
我们称之为此多项式的解,而求出此
的过程称之为求解,以下为各种求解的方法和一些定理的介绍:
代数基本定理[编辑]
每个复系数的多项式至少有一个复数解
一次因式检验法[编辑]
根式解[编辑]
一元二次方程式[编辑]
任意的一元二次方程式
,它的解都可用以下公式来表示:
例子:找出  的所有根 即求  的所有解。
代入 到求根公式,得到:
|
这个公式也可以应用在二次多项式的因式分解。
例子:因式分解  从上例中我们得到多项式的根为  and  ,于是多项式可分解成:

可见 时等式成立,于是多项式可因式分解为:
|
可是当
时方程根不是实数,不可以因式分解。
配方法[编辑]
由乘法公式
,可以对任意一元二次方程式
进行配方,而以上的公式解也是由配方法推导出来的,推导过程如下:







根与系数的关系[编辑]
设一元二次方程式
的解为w和z,则有以下关系式:


这两个公式由设w和z为符合一元二次方程式公式解的写法来求出
根与系数的关系[编辑]
勘根定理[编辑]