多项式

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多项式的定义[编辑]

多项式,即式子,而且若为正整数,则称此式为多项式

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名词解释[编辑]

项:多项式中每一个皆称之为多项式的项

次数:多项式中每一项的n为此项的次数

同次项:若有多个多项式,其中每一项的项称之为同次项

首项:指多项式的项中次数最大者,若多项式首项为,则称此多项式为次多项式

项数:顾名思义,即为多项式项的数目

系数:指任意多项式中的为多项式

零次多项式(单项式,有时不被视为多项式):指多项式中,,而没有其他的项,其中为常数

零多项式:零次多项式中的者称

多项式及非多项式[编辑]

多项式里面的任意必须为正整数,否则不能称之为多项式

以下的式子为多项式:

以下的式子不为多项式:

习题[编辑]

多项式的计算[编辑]

多项式有类似于一般数字的运算,凡举加减乘除在多项式中都有相对应的算法

 當中間有些項的係數為零時,最好將這些項也給寫出來,以減少錯誤,而寫答案時,係數為零的項可省略不寫

加法[编辑]

若有两个多项式,它们的同次项可相加,例子如下: 例:

减法[编辑]

例:

乘法[编辑]

多项式的乘法,就是的每一项,都乘以的每一项,有次方的就累积。
例:
则:

除法[编辑]

多项式除法,如除以,意即求出商式和余式

使得,其中

多项式长除法[编辑]

多项式与多项式之间的长除法,步骤类同于数与数之间的长除法

例子:用多项式长除法求解 除以
如下写上被除式与除式

首先要消掉这一项,乘上是二次多项式,把记到商式部分

写到被除式的下方

与被除式相减

把相减得到的结果看成另外一个被除式,重复以上步骤

在这个例子中商式为,余式为0

综合除法[编辑]

一般的综合除法能计算除式形如的除法。

得出形如的恒等式。

例子:用综合除法求解除以
在顶部写上被除式的各项系数,左边写上k

把被除式最高次项的系数写下来

乘上左边的常数再放上第二行

与上面的系数相加,写到下面

重复乘法加法运算,直到除法结束

结果得出商式为,余式为

余式定理[编辑]

多项式除以的余式为

证明余式定理
由多项式除法得到:


因为除式为一次多项式,所以余式一定是常数,代入,得到

Example
例子:

除以 的余式为
除以的余式为
除以的余式为

习题[编辑]

  1. 除以的余式
  2. 用长除法求 除以的余式

因式分解[编辑]

因式分解和整式的乘法一样,是一种整式的恒等变形,但因式分解的结果与整式乘法正好相反.例如有恒等式从左向右是整式乘法,从右向左是因式分解. 因式分解的基本方法有4种:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法. 例如:
首先,先要找和为47、积为396的两个数,396为36、11之积,
所以

习题[编辑]

最大公因式和最小公倍式[编辑]

辗转相除法[编辑]

方程式求解[编辑]

若设一个多项式,则使此式成立的所有我们称之为此多项式的解,而求出此的过程称之为求解,以下为各种求解的方法和一些定理的介绍:

代数基本定理[编辑]

每个复系数的多项式至少有一个复数解

证明[编辑]

一次因式检验法[编辑]

根式解[编辑]

一元二次方程式[编辑]

任意的一元二次方程式,它的解都可用以下公式来表示:

例子:找出的所有根
即求的所有解。

代入到求根公式,得到:

这个公式也可以应用在二次多项式的因式分解。

例子:因式分解
从上例中我们得到多项式的根为 and ,于是多项式可分解成:


可见 时等式成立,于是多项式可因式分解为:

可是当时方程根不是实数,不可以因式分解。

配方法[编辑]

由乘法公式,可以对任意一元二次方程式进行配方,而以上的公式解也是由配方法推导出来的,推导过程如下:

根与系数的关系[编辑]

设一元二次方程式的解为w和z,则有以下关系式:

这两个公式由设w和z为符合一元二次方程式公式解的写法来求出

一元三次方程式[编辑]

一元四次方程式[编辑]

根与系数的关系[编辑]

勘根定理[编辑]

习题[编辑]