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多项式,即式子
,而且若
为正整数,则称此式为多项式
项:多项式中每一个
皆称之为多项式的项
次数:多项式
中每一项的n为此项的次数
同次项:若有多个多项式,其中每一项的
项称之为同次项
首项:指多项式的项中次数最大者,若多项式首项为
,则称此多项式为
次多项式
项数:顾名思义,即为多项式项的数目
系数:指任意多项式
中的
且
为多项式
零次多项式(单项式,有时不被视为多项式):指多项式
中,
,而没有其他
的项,其中
为常数
零多项式:零次多项式中的
者称
多项式里面的任意
的
必须为正整数,否则不能称之为多项式
以下的式子为多项式:
、
、
、
以下的式子不为多项式:
、
、
、
多项式有类似于一般数字的运算,凡举加减乘除在多项式中都有相对应的算法
當中間有些項的係數為零時,最好將這些項也給寫出來,以減少錯誤,而寫答案時,係數為零的項可省略不寫
若有两个多项式
和
,它们的同次项可相加,例子如下:
例:
、
则
例:
、
则
多项式的乘法,
就是
的每一项,都乘以
的每一项,有次方的就累积。
例:![{\displaystyle f(x)=x^{2}+x+36,g(x)=x^{2}+x+11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2818ce68fb9898860bc12f2ab7f841ad888961)
则:
多项式除法,如
除以
,意即求出商式
和余式
,
使得
,其中
多项式与多项式之间的长除法,步骤类同于数与数之间的长除法
例子:用多项式长除法求解 ![{\displaystyle x^{2}+36x+155}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edf77f224312ed8d774c02da7981625d4165832) 除以 ![{\displaystyle x+5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bbb7e847415d82345ec95aa6d41d8514f32c660)
|
一般的综合除法能计算除式形如
的除法。
得出形如
的恒等式。
例子:用综合除法求解 ![{\displaystyle x^{3}-12x^{2}-42}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dee5553f1fbbcadb18061f371726251155918cd) 除以 ![{\displaystyle x-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3f47620c3dc382c2f3e7e5f31a52a3b0fbc64c) 在顶部写上被除式的各项系数,左边写上k
![{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69112e119671c8866b4f2286498aa96dcaaf1fba)
把被除式最高次项的系数写下来
![{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c424cce187abc53e45a54f8a5df3c1e4fb6b4e7d)
乘上左边的常数再放上第二行
![{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af2c6896801c4b306f86509bc0336426e65cc761)
与上面的系数相加,写到下面
![{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&&\\\hline 1&-9&&\\\end{array}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920f5ed4f60163f2f486f4f0c10a184fee7f1ab0)
重复乘法加法运算,直到除法结束
![{\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&-27&-81\\\hline 1&-9&-27&-123\end{array}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed77709c4ea43031d279457cc59d50c1def93e26)
结果得出商式为 ,余式为
|
多项式
除以
的余式为
,
证明余式定理 由多项式除法得到:
![{\displaystyle f(x)=(x-a)q(x)+r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88de03e18e421def651e8a8d1f7a1800009db45)
因为除式为一次多项式,所以余式一定是常数,代入 ,得到![{\displaystyle f(a)=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d6a767c5b485abedeaf9c0ca82e27ef7aa3f66)
|
- 求
除以
的余式
- 用长除法求
除以
的余式
因式分解和整式的乘法一样,是一种整式的恒等变形,但因式分解的结果与整式乘法正好相反.例如有恒等式
从左向右是整式乘法,从右向左是因式分解.
因式分解的基本方法有4种:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.
例如:![{\displaystyle x^{2}+47x+396}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e93f877da0df586aa85344e46c7a78748caecd7)
首先,先要找和为47、积为396的两个数,396为36、11之积,![{\displaystyle 36+11=47}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c4578bdd0d3a58226c70e0ea43e66f5b855fbe)
所以
![{\displaystyle x^{2}+31x-180}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0136f2ca2a786f0c43948a78e3d9767c40af99e)
常数项小于0,首先,先要找和为31、积为—180的两个数,一正一负,—180为—5、36之积,
36+(-5)=36-5=31
所以
若设一个多项式
,则使此式成立的所有
我们称之为此多项式的解,而求出此
的过程称之为求解,以下为各种求解的方法和一些定理的介绍:
每个复系数的多项式至少有一个复数解
任意的一元二次方程式
,它的解都可用以下公式来表示:
例子:找出 ![{\displaystyle 4x^{2}+7x-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b62d68d6091356eae593e4ad5ca24f9cdcde792) 的所有根 即求 ![{\displaystyle 4x^{2}+7x-2=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567469b79b5ba8fedf44581a1275d673ee4db3e9) 的所有解。
代入 到求根公式,得到:
|
这个公式也可以应用在二次多项式的因式分解。
例子:因式分解 ![{\displaystyle 4x^{2}+7x-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b62d68d6091356eae593e4ad5ca24f9cdcde792) 从上例中我们得到多项式的根为 ![{\displaystyle x={\frac {1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd3e7b138771ba823a16c49799ec71cbdb32750) and ![{\displaystyle x=-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3fcffdbfac20f62b54d9d9dca69c3f5ac1c871) ,于是多项式可分解成:
![{\displaystyle 4x^{2}+7x-2=C(x+2)(x-{\frac {1}{4}})=C(x^{2}+{\frac {7}{4}}x-{\frac {1}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0714b8c500db7824688adf0caed66bfd5bd58c49)
可见 时等式成立,于是多项式可因式分解为:
|
可是当
时方程根不是实数,不可以因式分解。
由乘法公式
,可以对任意一元二次方程式
进行配方,而以上的公式解也是由配方法推导出来的,推导过程如下:
![{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\Rightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e21b5a959d3b637cdd2fb43eee5e592de26fd3da)
![{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\Rightarrow x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203522610e7e723fd7ea81b6e2db062761c36ce5)
![{\displaystyle x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}=0\Rightarrow x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7647d39415279a6c1007696d8a83381ad13b4968)
![{\displaystyle x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\Rightarrow x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dad0c5571d149f26aefdfe9d85d60735c529bc1)
![{\displaystyle x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}\Rightarrow (x+{\frac {b}{2a}})^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a324091e7a32ee5b80f3a818ea6b8cea72e47ccf)
![{\displaystyle (x+{\frac {b}{2a}})^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\Rightarrow x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b7f576d0f61263675453383b7e3b815a3be3fa3)
![{\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\Rightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b06e9fd88e49acc3688f6bcad7eb9bd277ac52)
设一元二次方程式
的解为w和z,则有以下关系式:
![{\displaystyle w+z=-{\frac {b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb76facfa4843c0605612d92a042a9d83b690d3a)
![{\displaystyle wz={\frac {c}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f057a86b1508065eee9980bbd035895a6f995b46)
这两个公式由设w和z为符合一元二次方程式公式解的写法来求出