多項式

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多項式的定義

多項式，即式子 $f(x)=a_{n}x^{n}+......+a_{1}x+a_{0}$ ，而且若 $n$ 為正整數，則稱此式為多項式

名詞解釋

項：多項式中每一個 $x^{n}$ 皆稱之為多項式的項

次數：多項式 $x^{n}$ 中每一項的n為此項的次數

同次項：若有多個多項式，其中每一項的 $x^{k}$ 項稱之為同次項

首項：指多項式的項中次數最大者，若多項式首項為 $n$ ，則稱此多項式為 $n$ 次多項式

項數：顧名思義，即為多項式項的數目

係數：指任意多項式 $a_{n}x^{n}$ 中的 $a_{n}$ 且 $a_{n}$ 為多項式

零次多項式(單項式，有時不被視為多項式)：指多項式 $f(x)$ 中， $f(x)=c$ ，而沒有其他 $x^{n}$ 的項，其中 $c$ 為常數

零多項式：零次多項式中的 $c=0$ 者稱

多項式及非多項式

多項式裡面的任意 $x^{n}$ 的 $n$ 必須為正整數，否則不能稱之為多項式

以下的式子為多項式：

$x^{10}+60x^{8}-33x^{5}+42x^{2}-3$ 、 $({\sqrt {2}}-{\sqrt[{3}]{5}})x^{2}-{\sqrt[{4}]{6}}$ 、 $\pi ^{e}x^{10^{10}}-6x+1$ 、 $(3+i)x^{5}-2ix^{2}+1$

以下的式子不為多項式：

$2x^{3}+10x^{-1}$ 、 $5x^{\sqrt {2}}+x^{3\pi }+2x-1$ 、 $x^{3}-5x^{\frac {2}{3}}+4{\sqrt {x}}-3{\sqrt[{3}]{x^{5}}}$ 、 ${\sqrt {1+x^{2}}}$

習題

多項式的計算

多項式有類似於一般數字的運算，凡舉加減乘除在多項式中都有相對應的算法

 當中間有些項的係數為零時，最好將這些項也給寫出來，以減少錯誤，而寫答案時，係數為零的項可省略不寫

加法

若有兩個多項式 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，它們的同次項可相加，例子如下：例： $f(x)=2x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+5x+5$ 、 $g(x)=5x^{4}+10x^{3}+x^{2}+3x+2$ 則

$f(x)+g(x)=(2x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+5x+5)+(5x^{4}+10x^{3}+x^{2}+3x+2)=7x^{4}+13x^{3}+3x^{2}+8x+7$

減法

例： $f(x)=36x^{5}+7x^{4}+66x^{3}+36x^{2}+66x+6$ 、 $g(x)=5x^{5}-73x^{4}-11x^{3}-11x^{2}+5x+3$ 則

$f(x)-g(x)=(36{\color {Orange}-5})x^{5}+(7{\color {Orange}+73})x^{4}+(66{\color {Orange}+11})x^{3}+(36{\color {Orange}+11})x^{2}+(66{\color {Orange}-5})x+(6{\color {Orange}-3})=31x^{5}+80x^{4}+77x^{3}+47x^{2}+61x+3$

乘法

多項式的乘法， $f(x)g(x)$ 就是 $f(x)$ 的每一項，都乘以 $g(x)$ 的每一項，有次方的就累積。
例： $f(x)=x^{2}+x+36,g(x)=x^{2}+x+11$
則： $f(x)g(x)=36x^{2}+36x+36*11+11x^{2}+11x+x^{3}+x^{2}+x^{4}+x^{3}=x^{4}+(1+1)x^{3}+(36+11+1)x^{2}+(36+11)x+(36*11)=x^{4}+2x^{3}+48x^{2}+47x+396$

除法

多項式除法，如 $f(x)$ 除以 $g(x)$ ，意即求出商式 $q(x)$ 和餘式 $r(x)$ ，

使得 $f(x)=q(x)g(x)+r(x)$ ，其中 $\deg(r)<\deg(g)$

多項式長除法

多項式與多項式之間的長除法，步驟類同於數與數之間的長除法

例子：用多項式長除法求解

x^{2}+36x+155

除以

x+5

如下寫上被除式與除式

{\begin{array}{rl}\\x+5\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}+36x+155\end{array}}\end{array}}

首先要消掉 $x^{2}$ 這一項， $x$ 乘上 $x+5$ 是二次多項式，把 $x$ 記到商式部份

{\begin{array}{rl}&~~\,x\\x+5\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}+36x+155\end{array}}\\\end{array}}

把 $x(x+5)=x^{2}+5x$ 寫到被除式的下方

{\begin{array}{rl}&~~\,x\\x+5\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}+36x+155\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+5x)~~~}}\\\end{array}}

與被除式相減

{\begin{array}{rl}&~~\,x\\x+5\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}+36x+155\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+5x)~~~~~~~~~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~(36{\color {Orange}-5})x+155~~~\\\end{array}}

把相減得到的結果看成另外一個被除式，重復以上步驟

{\begin{array}{rl}&~~\,x+31\\x+5\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}+36x+155\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+5x)~~~~~~~~~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~~~~~~~~~31x+155~~~\\&\!\!\!\!~~~~~~~-{\underline {(31x+155)~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~\\\end{array}}

在這個例子中商式為 $x+31$ ，餘式為0

綜合除法

一般的綜合除法能計算除式形如 $x-k$ 的除法。

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}~\\k\\~\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}f(x)&~\\~&~\\\hline q(x)&r\\\end{array}}\end{array}}$

得出形如 $f(x)=(x-k)q(x)+r$ 的恆等式。

例子：用綜合除法求解

x^{3}-12x^{2}-42

除以

x-3

在頂部寫上被除式的各項係數，左邊寫上k

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}

把被除式最高次項的係數寫下來

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}

乘上左邊的常數再放上第二行

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}

與上面的係數相加，寫到下面

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&&\\\hline 1&-9&&\\\end{array}}\end{array}}

重複乘法加法運算，直到除法結束

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&-27&-81\\\hline 1&-9&-27&-123\end{array}}\end{array}}

結果得出商式為 $x^{2}-9x-27$ ，餘式為 $-123$

餘式定理

多項式 $f(x)$ 除以 $x-a$ 的餘式為 $f(a)$ ， $(x-a)|f(x)\Leftrightarrow f(a)=0$

證明餘式定理

由多項式除法得到：

$f(x)=(x-a)q(x)+r$
因為除式為一次多項式，所以餘式一定是常數，代入 $x=a$ ，得到 $f(a)=r$

Example

例子：

$f(x)=x^{2}+36x+155$ 除以 $x+5$ 的餘式為 $f(-5)=(-5)^{2}+36(-5)+155=25-180+155=0$
$f(x)=x^{3}-12x^{2}-42$ 除以 $x-3$ 的餘式為 $f(3)=(3)^{3}-12(3)^{2}-42=27-108-42=-123$
$f(x)=x^{3}-7x-55$ 除以 $x-4$ 的餘式為 $f(4)=(4)^{3}-7(4)-55=64-28-55=36-55=-19$

習題

求 $f(x)=2x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+5x+5$ 除以 $x+2$ 的餘式
用長除法求 $f(x)=x^{3}+36x^{2}+36x+155$ 除以 $x^{2}+5x+5$ 的餘式

因式分解

因式分解和整式的乘法一樣，是一種整式的恆等變形，但因式分解的結果與整式乘法正好相反.例如有恆等式 $\left(a+b\right)\left(m+n\right)=am+bm+an+bn$ 從左向右是整式乘法，從右向左是因式分解. 因式分解的基本方法有4種:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法. 例如： $x^{2}+47x+396$
首先，先要找和為47、積為396的兩個數，396為36、11之積， $36+11=47$
所以 $x^{2}+47x+396=x^{2}+(36+11)x+(36*11)=(x+36)(x+11)$

$x^{2}+31x-180$

常數項小於0，首先，先要找和為31、積為—180的兩個數，一正一負，—180為—5、36之積， 36＋(－5)＝36－５＝31
所以 $x^{2}+31x-180=x^{2}+(36-5)x+((-5)*36)=(x+36)(x-5)$

習題

最大公因式和最小公倍式

輾轉相除法

方程式求解

若設一個多項式 $f(x)=0$ ，則使此式成立的所有 $x$ 我們稱之為此多項式的解，而求出此 $x$ 的過程稱之為求解，以下為各種求解的方法和一些定理的介紹：

代數基本定理

每個複係數的多項式至少有一個複數解

證明

一次因式檢驗法

根式解

一元二次方程式

任意的一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ ，它的解都可用以下公式來表示： $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

例子：找出

4x^{2}+7x-2

的所有根

即求

4x^{2}+7x-2=0

的所有解。

代入 $a=4,b=7,c=-2$ 到求根公式，得到：

$x={\frac {-7\pm {\sqrt {7^{2}-4(4)(-2)}}}{2(4)}}={\frac {-7\pm {\sqrt {49+32}}}{8}}={\frac {-7\pm {\sqrt {81}}}{8}}={\frac {-7\pm 9}{8}}$

$x={\frac {2}{8}},x={\frac {-16}{8}}$

$x={\frac {1}{4}},x=-2$

這個公式也可以應用在二次多項式的因式分解。

例子：因式分解

4x^{2}+7x-2

從上例中我們得到多項式的根為

x={\frac {1}{4}}

and

x=-2

，於是多項式可分解成：

$4x^{2}+7x-2=C(x+2)(x-{\frac {1}{4}})=C(x^{2}+{\frac {7}{4}}x-{\frac {1}{2}})$
可見 $C=4$ 時等式成立，於是多項式可因式分解為：
$4x^{2}+7x-2=4(x+2)(x-{\frac {1}{4}})=(x+2)(4x-1)$

可是當 $4ac>b^{2}$ 時方程根不是實數，不可以因式分解。

配方法

由乘法公式 $(m+n)^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}$ ，可以對任意一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ 進行配方，而以上的公式解也是由配方法推導出來的，推導過程如下：

$ax^{2}+bx+c=0\Rightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\Rightarrow x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}=0$

$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}=0\Rightarrow x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\Rightarrow x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}$

$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}\Rightarrow (x+{\frac {b}{2a}})^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$