多项式

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多项式的定义

多项式，即式子 $f(x)=a_{n}x^{n}+......+a_{1}x+a_{0}$ ，而且若 $n$ 为正整数，则称此式为多项式

名词解释

项：多项式中每一个 $x^{n}$ 皆称之为多项式的项

次数：多项式 $x^{n}$ 中每一项的n为此项的次数

同次项：若有多个多项式，其中每一项的 $x^{k}$ 项称之为同次项

首项：指多项式的项中次数最大者，若多项式首项为 $n$ ，则称此多项式为 $n$ 次多项式

项数：顾名思义，即为多项式项的数目

系数：指任意多项式 $a_{n}x^{n}$ 中的 $a_{n}$ 且 $a_{n}$ 为多项式

零次多项式(单项式，有时不被视为多项式)：指多项式 $f(x)$ 中， $f(x)=c$ ，而没有其他 $x^{n}$ 的项，其中 $c$ 为常数

零多项式：零次多项式中的 $c=0$ 者称

多项式及非多项式

多项式里面的任意 $x^{n}$ 的 $n$ 必须为正整数，否则不能称之为多项式

以下的式子为多项式：

$x^{10}+60x^{8}-33x^{5}+42x^{2}-3$ 、 $({\sqrt {2}}-{\sqrt[{3}]{5}})x^{2}-{\sqrt[{4}]{6}}$ 、 $\pi ^{e}x^{10^{10}}-6x+1$ 、 $(3+i)x^{5}-2ix^{2}+1$

以下的式子不为多项式：

$2x^{3}+10x^{-1}$ 、 $5x^{\sqrt {2}}+x^{3\pi }+2x-1$ 、 $x^{3}-5x^{\frac {2}{3}}+4{\sqrt {x}}-3{\sqrt[{3}]{x^{5}}}$ 、 ${\sqrt {1+x^{2}}}$

习题

多项式的计算

多项式有类似于一般数字的运算，凡举加减乘除在多项式中都有相对应的算法

 當中間有些項的係數為零時，最好將這些項也給寫出來，以減少錯誤，而寫答案時，係數為零的項可省略不寫

加法

若有两个多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，它们的同次项可相加，例子如下：例： $f(x)=2x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+5x+5$ 、 $g(x)=5x^{4}+10x^{3}+x^{2}+3x+2$ 则

$f(x)+g(x)=(2x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+5x+5)+(5x^{4}+10x^{3}+x^{2}+3x+2)=7x^{4}+13x^{3}+3x^{2}+8x+7$

减法

例： $f(x)=36x^{5}+7x^{4}+66x^{3}+36x^{2}+66x+6$ 、 $g(x)=5x^{5}-73x^{4}-11x^{3}-11x^{2}+5x+3$ 则

$f(x)-g(x)=(36{\color {Orange}-5})x^{5}+(7{\color {Orange}+73})x^{4}+(66{\color {Orange}+11})x^{3}+(36{\color {Orange}+11})x^{2}+(66{\color {Orange}-5})x+(6{\color {Orange}-3})=31x^{5}+80x^{4}+77x^{3}+47x^{2}+61x+3$

乘法

多项式的乘法， $f(x)g(x)$ 就是 $f(x)$ 的每一项，都乘以 $g(x)$ 的每一项，有次方的就累积。
例： $f(x)=x^{2}+x+36,g(x)=x^{2}+x+11$
则： $f(x)g(x)=36x^{2}+36x+36*11+11x^{2}+11x+x^{3}+x^{2}+x^{4}+x^{3}=x^{4}+(1+1)x^{3}+(36+11+1)x^{2}+(36+11)x+(36*11)=x^{4}+2x^{3}+48x^{2}+47x+396$

除法

多项式除法，如 $f(x)$ 除以 $g(x)$ ，意即求出商式 $q(x)$ 和馀式 $r(x)$ ，

使得 $f(x)=q(x)g(x)+r(x)$ ，其中 $\deg(r)<\deg(g)$

多项式长除法

多项式与多项式之间的长除法，步骤类同于数与数之间的长除法

例子：用多项式长除法求解

x^{2}+36x+155

除以

x+5

如下写上被除式与除式

{\begin{array}{rl}\\x+5\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}+36x+155\end{array}}\end{array}}

首先要消掉 $x^{2}$ 这一项， $x$ 乘上 $x+5$ 是二次多项式，把 $x$ 记到商式部份

{\begin{array}{rl}&~~\,x\\x+5\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}+36x+155\end{array}}\\\end{array}}

把 $x(x+5)=x^{2}+5x$ 写到被除式的下方

{\begin{array}{rl}&~~\,x\\x+5\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}+36x+155\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+5x)~~~}}\\\end{array}}

与被除式相减

{\begin{array}{rl}&~~\,x\\x+5\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}+36x+155\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+5x)~~~~~~~~~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~(36{\color {Orange}-5})x+155~~~\\\end{array}}

把相减得到的结果看成另外一个被除式，重复以上步骤

{\begin{array}{rl}&~~\,x+31\\x+5\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}+36x+155\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+5x)~~~~~~~~~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~~~~~~~~~31x+155~~~\\&\!\!\!\!~~~~~~~-{\underline {(31x+155)~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~\\\end{array}}

在这个例子中商式为 $x+31$ ，馀式为0

综合除法

一般的综合除法能计算除式形如 $x-k$ 的除法。

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}~\\k\\~\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}f(x)&~\\~&~\\\hline q(x)&r\\\end{array}}\end{array}}$

得出形如 $f(x)=(x-k)q(x)+r$ 的恒等式。

例子：用综合除法求解

x^{3}-12x^{2}-42

除以

x-3

在顶部写上被除式的各项系数，左边写上k

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}

把被除式最高次项的系数写下来

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}

乘上左边的常数再放上第二行

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}

与上面的系数相加，写到下面

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&&\\\hline 1&-9&&\\\end{array}}\end{array}}

重复乘法加法运算，直到除法结束

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&-27&-81\\\hline 1&-9&-27&-123\end{array}}\end{array}}

结果得出商式为 $x^{2}-9x-27$ ，馀式为 $-123$

馀式定理

多项式 $f(x)$ 除以 $x-a$ 的馀式为 $f(a)$ ， $(x-a)|f(x)\Leftrightarrow f(a)=0$

证明馀式定理

由多项式除法得到：

$f(x)=(x-a)q(x)+r$
因为除式为一次多项式，所以馀式一定是常数，代入 $x=a$ ，得到 $f(a)=r$

Example

例子：

$f(x)=x^{2}+36x+155$ 除以 $x+5$ 的馀式为 $f(-5)=(-5)^{2}+36(-5)+155=25-180+155=0$
$f(x)=x^{3}-12x^{2}-42$ 除以 $x-3$ 的馀式为 $f(3)=(3)^{3}-12(3)^{2}-42=27-108-42=-123$
$f(x)=x^{3}-7x-55$ 除以 $x-4$ 的馀式为 $f(4)=(4)^{3}-7(4)-55=64-28-55=36-55=-19$

习题

求 $f(x)=2x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+5x+5$ 除以 $x+2$ 的馀式
用长除法求 $f(x)=x^{3}+36x^{2}+36x+155$ 除以 $x^{2}+5x+5$ 的馀式

因式分解

因式分解和整式的乘法一样，是一种整式的恒等变形，但因式分解的结果与整式乘法正好相反.例如有恒等式 $\left(a+b\right)\left(m+n\right)=am+bm+an+bn$ 从左向右是整式乘法，从右向左是因式分解. 因式分解的基本方法有4种:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法. 例如： $x^{2}+47x+396$
首先，先要找和为47、积为396的两个数，396为36、11之积， $36+11=47$
所以 $x^{2}+47x+396=x^{2}+(36+11)x+(36*11)=(x+36)(x+11)$

$x^{2}+31x-180$

常数项小于0，首先，先要找和为31、积为—180的两个数，一正一负，—180为—5、36之积， 36＋(－5)＝36－５＝31
所以 $x^{2}+31x-180=x^{2}+(36-5)x+((-5)*36)=(x+36)(x-5)$

习题

最大公因式和最小公倍式

辗转相除法

方程式求解

若设一个多项式 $f(x)=0$ ，则使此式成立的所有 $x$ 我们称之为此多项式的解，而求出此 $x$ 的过程称之为求解，以下为各种求解的方法和一些定理的介绍：

代数基本定理

每个复系数的多项式至少有一个复数解

证明

一次因式检验法

根式解

一元二次方程式

任意的一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ ，它的解都可用以下公式来表示： $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

例子：找出

4x^{2}+7x-2

的所有根

即求

4x^{2}+7x-2=0

的所有解。

代入 $a=4,b=7,c=-2$ 到求根公式，得到：

$x={\frac {-7\pm {\sqrt {7^{2}-4(4)(-2)}}}{2(4)}}={\frac {-7\pm {\sqrt {49+32}}}{8}}={\frac {-7\pm {\sqrt {81}}}{8}}={\frac {-7\pm 9}{8}}$

$x={\frac {2}{8}},x={\frac {-16}{8}}$

$x={\frac {1}{4}},x=-2$

这个公式也可以应用在二次多项式的因式分解。

例子：因式分解

4x^{2}+7x-2

从上例中我们得到多项式的根为

x={\frac {1}{4}}

and

x=-2

，于是多项式可分解成：

$4x^{2}+7x-2=C(x+2)(x-{\frac {1}{4}})=C(x^{2}+{\frac {7}{4}}x-{\frac {1}{2}})$
可见 $C=4$ 时等式成立，于是多项式可因式分解为：
$4x^{2}+7x-2=4(x+2)(x-{\frac {1}{4}})=(x+2)(4x-1)$

可是当 $4ac>b^{2}$ 时方程根不是实数，不可以因式分解。

配方法

由乘法公式 $(m+n)^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}$ ，可以对任意一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ 进行配方，而以上的公式解也是由配方法推导出来的，推导过程如下：

$ax^{2}+bx+c=0\Rightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\Rightarrow x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}=0$

$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}=0\Rightarrow x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\Rightarrow x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}$

$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}\Rightarrow (x+{\frac {b}{2a}})^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$