多项式

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多项式的定义

多项式，即式子 $f (x) = a_{n} x^{n} + ...... + a_{1} x + a_{0}$ ，而且若 $n$ 为正整数，则称此式为多项式

名词解释

项：多项式中每一个 $x^{n}$ 皆称之为多项式的项

次数：多项式 $x^{n}$ 中每一项的n为此项的次数

同次项：若有多个多项式，其中每一项的 $x^{k}$ 项称之为同次项

首项：指多项式的项中次数最大者，若多项式首项为 $n$ ，则称此多项式为 $n$ 次多项式

项数：顾名思义，即为多项式项的数目

系数：指任意多项式 $a_{n} x^{n}$ 中的 $a_{n}$ 且 $a_{n}$ 为多项式

零次多项式(单项式，有时不被视为多项式)：指多项式 $f (x)$ 中， $f (x) = c$ ，而没有其他 $x^{n}$ 的项，其中 $c$ 为常数

零多项式：零次多项式中的 $c = 0$ 者称

多项式及非多项式

多项式里面的任意 $x^{n}$ 的 $n$ 必须为正整数，否则不能称之为多项式

以下的式子为多项式：

$x^{10} + 60 x^{8} - 33 x^{5} + 42 x^{2} - 3$ 、 $(\sqrt{2} - \sqrt[3]{5}) x^{2} - \sqrt[4]{6}$ 、 $π^{e} x^{1 0^{10}} - 6 x + 1$ 、 $(3 + i) x^{5} - 2 i x^{2} + 1$

以下的式子不为多项式：

$2 x^{3} + 10 x^{- 1}$ 、 $5 x^{\sqrt{2}} + x^{3 π} + 2 x - 1$ 、 $x^{3} - 5 x^{\frac{2}{3}} + 4 \sqrt{x} - 3 \sqrt[3]{x^{5}}$ 、 $\sqrt{1 + x^{2}}$

习题

多项式的计算

多项式有类似于一般数字的运算，凡举加减乘除在多项式中都有相对应的算法

 當中間有些項的係數為零時，最好將這些項也給寫出來，以減少錯誤，而寫答案時，係數為零的項可省略不寫

加法

若有两个多项式 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，它们的同次项可相加，例子如下：例： $f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5$ 、 $g (x) = 5 x^{4} + 10 x^{3} + x^{2} + 3 x + 2$ 则

$f (x) + g (x) = (2 x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5) + (5 x^{4} + 10 x^{3} + x^{2} + 3 x + 2) = 7 x^{4} + 13 x^{3} + 3 x^{2} + 8 x + 7$

减法

例： $f (x) = 36 x^{5} + 7 x^{4} + 66 x^{3} + 36 x^{2} + 66 x + 6$ 、 $g (x) = 5 x^{5} - 73 x^{4} - 11 x^{3} - 11 x^{2} + 5 x + 3$ 则

$f (x) - g (x) = (36 - 5) x^{5} + (7 + 73) x^{4} + (66 + 11) x^{3} + (36 + 11) x^{2} + (66 - 5) x + (6 - 3) = 31 x^{5} + 80 x^{4} + 77 x^{3} + 47 x^{2} + 61 x + 3$

乘法

多项式的乘法， $f (x) g (x)$ 就是 $f (x)$ 的每一项，都乘以 $g (x)$ 的每一项，有次方的就累积。
例： $f (x) = x^{2} + x + 36, g (x) = x^{2} + x + 11$
则： $f (x) g (x) = 36 x^{2} + 36 x + 36 * 11 + 11 x^{2} + 11 x + x^{3} + x^{2} + x^{4} + x^{3} = x^{4} + (1 + 1) x^{3} + (36 + 11 + 1) x^{2} + (36 + 11) x + (36 * 11) = x^{4} + 2 x^{3} + 48 x^{2} + 47 x + 396$

除法

多项式除法，如 $f (x)$ 除以 $g (x)$ ，意即求出商式 $q (x)$ 和馀式 $r (x)$ ，

使得 $f (x) = q (x) g (x) + r (x)$ ，其中 $\deg (r) < \deg (g)$

多项式长除法

多项式与多项式之间的长除法，步骤类同于数与数之间的长除法

例子：用多项式长除法求解

x^{2} + 36 x + 155

除以

x + 5

如下写上被除式与除式

\begin{matrix} x + 5 & ) \begin{matrix} x^{2} + 36 x + 155 \end{matrix} \end{matrix}

首先要消掉 $x^{2}$ 这一项， $x$ 乘上 $x + 5$ 是二次多项式，把 $x$ 记到商式部份

\begin{matrix} x \\ x + 5 & ) \begin{matrix} x^{2} + 36 x + 155 \end{matrix} \end{matrix}

把 $x (x + 5) = x^{2} + 5 x$ 写到被除式的下方

\begin{matrix} x \\ x + 5 & ) \begin{matrix} x^{2} + 36 x + 155 \end{matrix} \\ - \underline{(x^{2} + 5 x)} \end{matrix}

与被除式相减

\begin{matrix} x \\ x + 5 & ) \begin{matrix} x^{2} + 36 x + 155 \end{matrix} \\ - \underline{(x^{2} + 5 x)} \\ (36 - 5) x + 155 \end{matrix}

把相减得到的结果看成另外一个被除式，重复以上步骤

\begin{matrix} x + 31 \\ x + 5 & ) \begin{matrix} x^{2} + 36 x + 155 \end{matrix} \\ - \underline{(x^{2} + 5 x)} \\ 31 x + 155 \\ - \underline{(31 x + 155)} \\ 0 \end{matrix}

在这个例子中商式为 $x + 31$ ，馀式为0

综合除法

一般的综合除法能计算除式形如 $x - k$ 的除法。

$\begin{matrix} \begin{matrix} k \end{matrix} & \begin{matrix} f (x) \\ q (x) & r \end{matrix} \end{matrix}$

得出形如 $f (x) = (x - k) q (x) + r$ 的恒等式。

例子：用综合除法求解

x^{3} - 12 x^{2} - 42

除以

x - 3

在顶部写上被除式的各项系数，左边写上k

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \end{matrix} \end{matrix}

把被除式最高次项的系数写下来

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}

乘上左边的常数再放上第二行

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}

与上面的系数相加，写到下面

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 3 \\ 1 & - 9 \end{matrix} \end{matrix}

重复乘法加法运算，直到除法结束

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & - 12 & 0 & - 42 \\ 3 & - 27 & - 81 \\ 1 & - 9 & - 27 & - 123 \end{matrix} \end{matrix}

结果得出商式为 $x^{2} - 9 x - 27$ ，馀式为 $- 123$

馀式定理

多项式 $f (x)$ 除以 $x - a$ 的馀式为 $f (a)$ ， $(x - a) | f (x) \Leftrightarrow f (a) = 0$

证明馀式定理

由多项式除法得到：

$f (x) = (x - a) q (x) + r$
因为除式为一次多项式，所以馀式一定是常数，代入 $x = a$ ，得到 $f (a) = r$

Example

例子：

$f (x) = x^{2} + 36 x + 155$ 除以 $x + 5$ 的馀式为 $f (- 5) = (- 5)^{2} + 36 (- 5) + 155 = 25 - 180 + 155 = 0$
$f (x) = x^{3} - 12 x^{2} - 42$ 除以 $x - 3$ 的馀式为 $f (3) = (3)^{3} - 12 (3)^{2} - 42 = 27 - 108 - 42 = - 123$
$f (x) = x^{3} - 7 x - 55$ 除以 $x - 4$ 的馀式为 $f (4) = (4)^{3} - 7 (4) - 55 = 64 - 28 - 55 = 36 - 55 = - 19$

习题

求 $f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 5$ 除以 $x + 2$ 的馀式
用长除法求 $f (x) = x^{3} + 36 x^{2} + 36 x + 155$ 除以 $x^{2} + 5 x + 5$ 的馀式

因式分解

因式分解和整式的乘法一样，是一种整式的恒等变形，但因式分解的结果与整式乘法正好相反.例如有恒等式 $(a + b) (m + n) = a m + b m + a n + b n$ 从左向右是整式乘法，从右向左是因式分解. 因式分解的基本方法有4种:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法. 例如： $x^{2} + 47 x + 396$
首先，先要找和为47、积为396的两个数，396为36、11之积， $36 + 11 = 47$
所以 $x^{2} + 47 x + 396 = x^{2} + (36 + 11) x + (36 * 11) = (x + 36) (x + 11)$

$x^{2} + 31 x - 180$

常数项小于0，首先，先要找和为31、积为—180的两个数，一正一负，—180为—5、36之积， 36＋(－5)＝36－５＝31
所以 $x^{2} + 31 x - 180 = x^{2} + (36 - 5) x + ((- 5) * 36) = (x + 36) (x - 5)$

习题

最大公因式和最小公倍式

辗转相除法

方程式求解

若设一个多项式 $f (x) = 0$ ，则使此式成立的所有 $x$ 我们称之为此多项式的解，而求出此 $x$ 的过程称之为求解，以下为各种求解的方法和一些定理的介绍：

代数基本定理

每个复系数的多项式至少有一个复数解

证明

一次因式检验法

根式解

一元二次方程式

任意的一元二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，它的解都可用以下公式来表示： $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

例子：找出

4 x^{2} + 7 x - 2

的所有根

即求

4 x^{2} + 7 x - 2 = 0

的所有解。

代入 $a = 4, b = 7, c = - 2$ 到求根公式，得到：

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 (4) (- 2)}}{2 (4)} = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{8} = \frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{8} = \frac{- 7 \pm 9}{8}$

$x = \frac{2}{8}, x = \frac{- 16}{8}$

$x = \frac{1}{4}, x = - 2$

这个公式也可以应用在二次多项式的因式分解。

例子：因式分解

4 x^{2} + 7 x - 2

从上例中我们得到多项式的根为

x = \frac{1}{4}

and

x = - 2

，于是多项式可分解成：

$4 x^{2} + 7 x - 2 = C (x + 2) (x - \frac{1}{4}) = C (x^{2} + \frac{7}{4} x - \frac{1}{2})$
可见 $C = 4$ 时等式成立，于是多项式可因式分解为：
$4 x^{2} + 7 x - 2 = 4 (x + 2) (x - \frac{1}{4}) = (x + 2) (4 x - 1)$

可是当 $4 a c > b^{2}$ 时方程根不是实数，不可以因式分解。

配方法

由乘法公式 $(m + n)^{2} = m^{2} + 2 m n + n^{2}$ ，可以对任意一元二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ 进行配方，而以上的公式解也是由配方法推导出来的，推导过程如下：

$a x^{2} + b x + c = 0 \Rightarrow x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$
$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow x^{2} + 2 (\frac{b}{2 a}) x + \frac{c}{a} = 0$
$x^{2} + 2 (\frac{b}{2 a}) x + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow x^{2} + 2 (\frac{b}{2 a}) x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a} = {(\frac{b}{2 a})}^{2}$
$x^{2} + 2 (\frac{b}{2 a}) x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} \Rightarrow x^{2} + 2 (\frac{b}{2 a}) x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}$
$x^{2} + 2 (\frac{b}{2 a}) x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a} \Rightarrow (x + \frac{b}{2 a})^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$
$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \Rightarrow x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

根与系数的关系

设一元二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解为w和z，则有以下关系式：

$w + z = - \frac{b}{a}$
$w z = \frac{c}{a}$

这两个公式由设w和z为符合一元二次方程式公式解的写法来求出

一元三次方程式

一元四次方程式

根与系数的关系

勘根定理

习题