微积分学/基础知识

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函数

零、基本邏輯

1. 推理與真假值

推理是種符號組合的遊戲，比如說，一般人都會認為「如果這本書不在圖書館，（則）這本書一定是被借走了」，這樣的話，若圖書館裡沒有這本書，那理應有「這本書被借走了」的結論。說的抽象一點，若有「A則B」和「A」，那會得到「B」，這是一條（目前人類公認）的語言推理規則，它通常被稱為肯定前件。

可以發現上一段的討論，是建立在任何一段敘述都有真有假的前提上，換言之，「A則B」並不暗含「A」。為了方便以後的討論，如果一段敘述為真，我們會說「這段敘述的真值為$\top$」；反之如果一段敘述為假，我們會說「這段敘述的真值為$\bot$」。

2. 邏輯連接詞

數學的敘述裡總會包含「非/不」、「則」、「且」和「或」這些詞彙，這些詞彙被統稱為邏輯連接詞，仔細來說，它們代表

• 「非A」 為真，意思是A為假，可記為「$\neg$ A」。
• 「A則B」為真，意思是不可能有A為真但B為假的狀況，可記為「A $\Rightarrow$ B」。
• 「A且B」為真，意思是A與B都為真，可記為「A $\wedge$ B」。
• 「A或B」為真，意思是A與B至少一者為真，可記為「A $\vee$ B」。

以下的真值表更清楚地展示以上的語義說明

A $\neg$ A $\top$ $\bot$ $\bot$ $\top$

A B A $\Rightarrow$ B $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\top$

A B A $\wedge$ B $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\bot$

A B A $\vee$ B $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$

3.量詞與變數

「存在實數大於零」，或是「對任意實數x和y，x=y 或 x<y 或 x>y」是大家所孰悉的數學敘述。但仔細來說，以上兩句代表

「存在x，x是實數且 x> 0」

「對所有x和所有y，若x為實數且y為實數 x=y 或 x<y 或 x>y」

也就是說，「所有/任意」和「有/存在」這兩種詞彙，都須依托於變數的幫助，才能清楚的表達意義，所以這兩種詞會被統稱為量詞。常常將「對所有 x」或「對任意一個 x」之類的表述記作「$\forall \,$x」，而將「存在某個 x」這類表述記作「$\exists \,$x」。于是上述兩個數學敘述可以改寫如下：

$\exists \,x((x{\text{ is a real number}})\land (x>0)),$

$\forall \,x\,\forall \,y(((x{\text{ is a real number}})\land (y{\text{ is a real number}}))\land ((x=y)\lor (x>y)\lor (x<y))).$

一、集合：

集合的觀念與「屬於」這個謂詞是密不可分的。某個物體稱為「集合」意思是有其他東西屬於它。

集合的概念：一般地，我们把研究对象称为元素，一些元素组成的总体称为集合。

集合的特点：

确定性：一个元素要么是集合 $A$ 的元素，要么不是集合 $A$ 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

互异性：集合中的元素不重复。

无序性：集合中的元素不考虑顺序。

上述三特點可由策梅洛--弗侖克爾集合論保證，參見藍鏈指向中文維基界面作深入介紹。

表示一個集合，主要有兩種方式。

• 列舉法

完全列舉集合的元素：

$A=\{a,\,b,\,c\},$

不完全列舉集合的元素：

$A=\{a,\,b,\,c,\,\dots \}.$

• 描述法

對集合 $A$ ，若對任意其中的元 $a$ 均使命題 $p(a)$ 爲真，則記該集合形如

$A=\{a\,|\,p(a)\},$

若其中的元首先限制于另一集合 $U$，則記之形如

$A=\{a\in U\,|\,p(a)\},$

上式中采用屬於記號「$\in$」，將於後文介紹。

例如對數集 $A=\{1,\,2,\,3,\,4\}$ 和 $B=\{x\,|\,x\geq 3\}$，則可將數集 $C=\{3,\,4\}$ 記作：

$C=\{x\in A\,|\,x\in B\}.$

微積分中常用數集有如下專用記號：

實數集	$\mathbb {R}$
有理數集	$\mathbb {Q}$
整數集	$\mathbb {Z}$
自然數集	$\mathbb {N}$
複數集	$\mathbb {C}$

指定一個集合，等同於指定一系列元素。若一元素 $a$ 屬於某集合 $A$，可記作 $a\in A$，反之則記作 $a\notin A$。

集合之間亦有關係，倘給定兩集合 $A,\,B$，有任意 $B$ 中的元 $b$ 均亦為 $A$ 中的元，則稱 $B$ 是 $A$ 的子集，記作 $B\subseteq A$。

另有定義兩集合相等當且僅當任意集合中的任意元均亦爲另一集合之元。

倘對 $B\subseteq A$，又有 $B\neq A$，稱前者為後者之真子集，記作 $B\subset A$ 或者 $B\subsetneqq A$。

上述記號亦有反向版本，例如：$B\supseteq A$。

此外值得指出，存在不擁有任何元素的集合，稱之爲空集，記作 $\varnothing$。一般認爲空集是任意集合的子集。

二、集合運算：

考慮兩集合 $A,\,B$，可定義如下運算。

1. 并集

定義并集作兩個集合中至少出現一次的所有元素構成的集合：

$A\cup B=\{x\,|\,x\in A\lor x\in B\},$

式中及下文出現邏輯符號 $\lor ,\,\land ,\,\lnot$，見前述。

2. 交集

定義交集作兩個集合中共有的所有元素構成的集合：

$A\cap B=\{x\,|\,x\in A\land x\in B\}.$

3. 差集

定義差集作前一集合中所有那些不在後一集合中的元素構成的集合：

$A\backslash B=\{x\,|\,x\in A\land \lnot (x\in B)\}.$

有時上式中的「前一集合」足夠大，使得當下環境的任何討論都不會超出這一集合，此時則稱前一集合為全集，而將上式稱作後一集合中的補集：

${\bar {B}}=\{x\in A\,|\,\lnot (x\in B)\}.$

關於上述運算的形象描述，參見中文維基百科頁面韋恩圖。

三、区间、邻域︰

区间可以是一类實数的集合，在微積分學，尤其是低維微積分學中经常使用。

• 有限区间

设 $a,b\in \mathbb {R}$。

数集$\left\{x|a<x<b\right\}$　称为开区间，记作$\left(a,b\right)$　即$\left(a,b\right)=\left\{x|a<x<b\right\}$。

数集$\left\{x|a\leq x\leq b\right\}$　称为闭区间，记作$\left[a,b\right]$　即$\left[a,b\right]=\left\{x|a\leq x\leq b\right\}$。

同样，把

$(a,b]=\left\{x|a<x\leq b\right\}$，

$[a,b)=\left\{x|a\leq x<b\right\}$

称为半开区间。

• 邻域

以点$a$为中心的任何区间称为$a$的邻域，记作$U(a)$。邻域一般为有限区间

设$\delta$是任一正数，则区间$\left(a-\delta ,a+\delta \right)$就是点$a$的一个邻域，称此为点$a$的$\delta$邻域，记作$U(a,\delta )$，

即$U\left(a,\delta \right)=\left\{a-\delta <x<a+\delta \right\}$，亦可记作$U\left(a,\delta \right)=\left\{x|\left\vert x-a\right\vert <\delta \right\}$

称$a$为此邻域的中心，$\delta$为邻域的半径。

同时，把点$a$的$\delta$邻域去掉中心$a$后，称为点$a$的去心的$\delta$邻域。

• 无限区间：

$\left(a,+\infty \right)=\left\{x|a<x\right\}$，

$[a,+\infty )=\left\{x|a\leq x\right\}$，

$\left(-\infty ,b\right)=\left\{x|x<b\right\}$，

$(-\infty ,b]=\left\{x|x\leq b\right\}$，

$\left(-\infty ,+\infty \right)$即区间元素$x$属于全体实数$R$。

四、常量与变量：

在一个变化过程中，固定不变的量叫做常量，变化的量叫做变量。

如对于过程：路程＝速度×时间，公式表达为$s=vt$。

在此公式中，如果一辆小车以60km/h匀速直线运动，则速度$v$为常量，因为随着时间$t$的增大，路程$s$也会增大，所以$t$和$s$是变量。

也可以说$s$是$t$的函数。

补充：一次函数解析式为$y=kx+b$，特别的，当$b=0$，函数变为$y=kx$，此时，称它是正比例函数。

五、函数：

对于集合$A$中的任何一个元素，在集合$B$中都有唯一的元素与它对应，这样的关系叫从集合$A$到集合$B$的映射或函数。

大多数情况下，映射规则是有序的。

函数表示形为：$y=f(x)$。

其中$y$是函数值（或在不引起歧义的情况下，简称为函数），$f$是对应法则，$x$是自变量。

注意：有些地方称$y$为因变量，在数学中，这种表述是不严谨的，应引起注意。