微积分学/代数

四则运算

加法

• $a+0=a$
• $a+(-a)=0$
• 交换律：$a+b=b+a$
• 结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$

减法

• 定义：$a-b=a+(-b)$

乘法

• $a\times 1=a$
• 当$a\neq 0$时，$a\times {\frac {1}{a}}=1$
• 交换律：$a\times b=b\times a$
• 结合律：$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
• 分配律：$a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$

除法

• 定义：当$b\neq 0$时，${\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}$

例

${\frac {(x+2)(x+3)}{x+3}}$	$=\left[(x+2)\times (x+3)\right]\times {\frac {1}{x+3}}$（除法定义）
	$=(x+2)\times \left[(x+3)\times {\frac {1}{x+3}}\right]$（乘法结合律）
	$=(x+2)\times 1,\qquad x\neq -3$
	$=x+2,\qquad x\neq -3$

基于这个原理，我们可以直接同时消去分子和分母中的$x+3$。

指数运算

若$n$为正整数，则记$a^{n}$为$a$（底数）的$n$（指数）次方，即

$a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdots a$（$n$次）

若$a\neq 0$，则$a^{0}=1$。

若$-n$为负整数，则$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$。

若指数为分数，则$a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}$。

指数运算有如下法则：

法则	示例
$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$	$3^{6}\times 3^{9}=3^{15}$
${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$	${\frac {x^{3}}{x^{2}}}=x^{1}=x$
$(a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}$	$(x^{4})^{5}=x^{20}$
$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$	$(3x)^{5}=3^{5}x^{5}$
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$	$\left({\frac {7}{3}}\right)^{3}={\frac {7^{3}}{3^{3}}}$

例

化简$144^{\frac {5}{3}}$

$144^{\frac {5}{3}}=(2^{4}\cdot 3^{2})^{\frac {5}{3}}=2^{\frac {20}{3}}\cdot 3^{\frac {10}{3}}=2^{6}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}\cdot 3^{3}{\sqrt[{3}]{3}}=1728{\sqrt[{3}]{12}}$