国中数学/根号

维基教科书,自由的教学读本
跳到导航 跳到搜索

边长为的正方形,我们可以很轻易地回答面积为

可是反过来问,面积为的正方形,它的边长为何呢?

有面积为2的正方形吗?[编辑]

拿出一张边长为厘米的色纸,以垂直边长的方向对折再对折两次,将色纸打开如下图(点击可以放大)中间。两条折痕的交点为红点,将四个角往中间红点折,形成下图最右边的四边形

利用折纸制作面积为的正方形(使用Geogebra制作)


请实际自己操作,你将能更加体会。

讨论[编辑]

  1. 四边形为正方形。原因是什么呢?[注 1]
  2. 四边形的面积是多少平方厘米呢?[注 2]

结论[编辑]

有面积为平方厘米的正方形。可是它的边长是多少厘米呢?

面积为2的正方形,边长是多少厘米呢?[编辑]

讨论[编辑]

用尺量量看,面积为平方厘米的正方形,它的边长大约为多少厘米?[注 3]

  • 算算看,这个数的平方是否为呢?
  • 面积为平方厘米的正方形,它的边长介于哪两个一位小数厘米之间?[注 4]

利用计算机算算看,在之间有没有一个数的平方是

  • 如果没有,则面积为平方厘米的正方形,它的边长介于哪两个两位小数厘米之间?[注 5]

利用计算机算算看,在之间有没有一个数的平方是

  • 如果没有,则面积为平方厘米的正方形,它的边长介于哪两个三位小数厘米之间?[注 6]
  • 有没有一个有限小数的平方刚好是[注 7]

结论[编辑]

我们无法使用一个有限小数表示面积为的正方形边长。所以我们需要引进一个新的东西—“根号”来帮助我们表示这样的边长。

根号[编辑]

在国中的阶段,我们利用正方形的边长与面积来了解根号的意义[注 8]

我们定义一个面积为的正方形,它的边长为

如面积为的正方形,它的边长为

面积不可能为负数或0,不过我们特别定义

重要概念:,而且

用这样的概念,面积为的正方形,它的边长为,但是面积为的正方形,它的边长本身就是,所以事实上

同样的,面积为其中的正方形,它的边长为,但是面积为的正方形,它的边长本身就是,而,所以,事实上


反过来说,边长为的正方形,它的面积为

如边长为的正方形,它的面积为

又因为正方形的面积公式为边长的平方,,所以我们得到:


例题[编辑]

例题面积为的正方形,它的边长为多少?

解:面積為的正方形,它的邊長為

例题边长为的正方形,它的面积为多少?

解:邊長為的正方形,它的面積為
  • 注意:在例题中,边长为的正方形,它的面积为,但是面积为的正方形实际的边长为,所以。也就是说,在第式中,若,它的结果会是相反数,即

习题[编辑]

习题面积为的正方形,它的边长为多少?[答案 1]

习题边长为的正方形,它的面积为多少?[答案 2]

完全平方数与开根号[编辑]

在之前提到,面积为其中的正方形,它的边长为。所以有一些特殊的情况是可以计算根号的值:

是某一個數的平方時。

是某一个整数的平方时,我们称完全平方数

前21个完全平方数如下表:

0 1 2 3 4 5
0 1 4 9 16 25
6 7 8 9 10
36 49 64 81 100
11 12 13 14 15
121 144 169 196 225
16 17 18 19 20
256 289 324 361 400

计算出的过程称作开根号。如开根号可以得到

在这里要再次提醒:开根号的答案必定为正数

例题[编辑]

例题计算之值。

解:

例题计算之值。

解:

习题[编辑]

习题计算之值。[答案 3]

习题计算之值。[答案 4]

问题与讨论[编辑]

是一个正数,则何者比较大?

  1. 时,是比较大还是比较大?
  2. 时,是比较大还是比较大?
  3. 时,是比较大还是比较大?
  4. 时,是比较大还是比较大?

平方根[编辑]

对于一个数,存在一个数满足,则我们称平方根

如:,所以的平方根。

检查一个数是不是另一数的平方根[编辑]

要检查是不是的平方根,只要实际计算是否等于即可。

例题检验是否为的平方根。

解:,所以的平方根。

习题[编辑]

习题检验是否为的平方根。[答案 5]

习题检验是否为的平方根。[答案 6]

平方根的性质[编辑]

  1. 因为对于一个正数,所以正数有两个平方根,其中称作正平方根称作负平方根,两数互为相反数
    • 特别的,的两个平方根可以记录为
  2. 只有一个平方根
  3. 负数的平方根在国中阶段是不存在[注 9]

习题[编辑]

习题是非题,下列叙述是否正确?[答案 7]

  1. 因为没有一个整数、分数或小数的平方为,所以没有平方根。
  2. 的平方根为
  3. 的平方根为
  4. 如果的平方根,则也是的平方根。

利用计算机计算根号[编辑]

在许多计算机上有一个按钮“”可以计算根号的近似值。要计算“”的值有部分的计算机要依序输入“”→“”,也有依序输入“”→“”或“”→“”→“”的,你应该要依据自己的计算机性能而使用。

如计算“”依序按下“”→“”→“”→“”就可以得到近似值

注解[编辑]

  1. 个角都是直角,而且个边长都是边长为厘米的正方形之对角线,所以是正方形。
  2. 平方厘米。
  3. 大约厘米或厘米。
  4. 厘米之间。
  5. 厘米之间。
  6. 厘米之间。
  7. 没有。
  8. 国中只学二次方根。多次方根请见高中数学指数单元学习。
  9. 复数的世界里,负数的平方根是存在的。

习题答案[编辑]

  1. 不是
  2. 不是
  3. 1、2、3为错误的,4是正确的。

参见[编辑]