國中數學/根號

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邊長為的正方形,我們可以很輕易地回答面積為

可是反過來問,面積為的正方形,它的邊長為何呢?

有面積為2的正方形嗎?[編輯]

拿出一張邊長為公分的色紙,以垂直邊長的方向對摺再對摺兩次,將色紙打開如下圖(點擊可以放大)中間。兩條摺痕的交點為紅點,將四個角往中間紅點摺,形成下圖最右邊的四邊形

利用摺紙製作面積為的正方形(使用Geogebra製作)


請實際自己操作,你將能更加體會。

討論[編輯]

  1. 四邊形為正方形。原因是什麼呢?[註 1]
  2. 四邊形的面積是多少平方公分呢?[註 2]

結論[編輯]

有面積為平方公分的正方形。可是它的邊長是多少公分呢?

面積為2的正方形,邊長是多少公分呢?[編輯]

討論[編輯]

用尺量量看,面積為平方公分的正方形,它的邊長大約為多少公分?[註 3]

  • 算算看,這個數的平方是否為呢?
  • 面積為平方公分的正方形,它的邊長介於哪兩個一位小數公分之間?[註 4]

利用計算機算算看,在之間有沒有一個數的平方是

  • 如果沒有,則面積為平方公分的正方形,它的邊長介於哪兩個兩位小數公分之間?[註 5]

利用計算機算算看,在之間有沒有一個數的平方是

  • 如果沒有,則面積為平方公分的正方形,它的邊長介於哪兩個三位小數公分之間?[註 6]
  • 有沒有一個有限小數的平方剛好是[註 7]

結論[編輯]

我們無法使用一個有限小數表示面積為的正方形邊長。所以我們需要引進一個新的東西—「根號」來幫助我們表示這樣的邊長。

根號[編輯]

在國中的階段,我們利用正方形的邊長與面積來了解根號的意義[註 8]

我們定義一個面積為的正方形,它的邊長為

如面積為的正方形,它的邊長為

面積不可能為負數或0,不過我們特別定義

重要概念:,而且

用這樣的概念,面積為的正方形,它的邊長為,但是面積為的正方形,它的邊長本身就是,所以事實上

同樣的,面積為其中的正方形,它的邊長為,但是面積為的正方形,它的邊長本身就是,而,所以,事實上


反過來說,邊長為的正方形,它的面積為

如邊長為的正方形,它的面積為

又因為正方形的面積公式為邊長的平方,,所以我們得到:


例題[編輯]

例題面積為的正方形,它的邊長為多少?

解:面積為的正方形,它的邊長為

例題邊長為的正方形,它的面積為多少?

解:邊長為的正方形,它的面積為
  • 注意:在例題中,邊長為的正方形,它的面積為,但是面積為的正方形實際的邊長為,所以。也就是說,在第式中,若,它的結果會是相反數,即

習題[編輯]

習題面積為的正方形,它的邊長為多少?[答案 1]

習題邊長為的正方形,它的面積為多少?[答案 2]

完全平方數與開根號[編輯]

在之前提到,面積為其中的正方形,它的邊長為。所以有一些特殊的情況是可以計算根號的值:

是某一個數的平方時。

是某一個整數的平方時,我們稱完全平方數

前21個完全平方數如下表:

0 1 2 3 4 5
0 1 4 9 16 25
6 7 8 9 10
36 49 64 81 100
11 12 13 14 15
121 144 169 196 225
16 17 18 19 20
256 289 324 361 400

計算出的過程稱作開根號。如開根號可以得到

在這裏要再次提醒:開根號的答案必定為正數

例題[編輯]

例題計算之值。

解:

例題計算之值。

解:

習題[編輯]

習題計算之值。[答案 3]

習題計算之值。[答案 4]

問題與討論[編輯]

是一個正數,則何者比較大?

  1. 時,是比較大還是比較大?
  2. 時,是比較大還是比較大?
  3. 時,是比較大還是比較大?
  4. 時,是比較大還是比較大?

平方根[編輯]

對於一個數,存在一個數滿足,則我們稱平方根

如:,所以的平方根。

檢查一個數是不是另一數的平方根[編輯]

要檢查是不是的平方根,只要實際計算是否等於即可。

例題檢驗是否為的平方根。

解:,所以的平方根。

習題[編輯]

習題檢驗是否為的平方根。[答案 5]

習題檢驗是否為的平方根。[答案 6]

平方根的性質[編輯]

  1. 因為對於一個正數,所以正數有兩個平方根,其中稱作正平方根稱作負平方根,兩數互為相反數
    • 特別的,的兩個平方根可以記錄為
  2. 只有一個平方根
  3. 負數的平方根在國中階段是不存在[註 9]

習題[編輯]

習題是非題,下列敘述是否正確?[答案 7]

  1. 因為沒有一個整數、分數或小數的平方為,所以沒有平方根。
  2. 的平方根為
  3. 的平方根為
  4. 如果的平方根,則也是的平方根。

利用計算機計算根號[編輯]

在許多計算機上有一個按鈕「」可以計算根號的近似值。要計算「」的值有部分的計算機要依序輸入「」→「」,也有依序輸入「」→「」或「」→「」→「」的,你應該要依據自己的計算機性能而使用。

如計算「」依序按下「」→「」→「」→「」就可以得到近似值

註解[編輯]

  1. 個角都是直角,而且個邊長都是邊長為公分的正方形之對角線,所以是正方形。
  2. 平方公分。
  3. 大約公分或公分。
  4. 公分之間。
  5. 公分之間。
  6. 公分之間。
  7. 沒有。
  8. 國中只學二次方根。多次方根請見高中數學指數單元學習。
  9. 複數的世界裏,負數的平方根是存在的。

習題答案[編輯]

  1. 不是
  2. 不是
  3. 1、2、3為錯誤的,4是正確的。

參見[編輯]