國中數學/根號
邊長為的正方形,我們可以很輕易地回答面積為。
可是反過來問,面積為的正方形,它的邊長為何呢?
有面積為2的正方形嗎?
[編輯]拿出一張邊長為公分的色紙,以垂直邊長的方向對摺再對摺兩次,將色紙打開如下圖(點擊可以放大)中間。兩條摺痕的交點為紅點,將四個角往中間紅點摺,形成下圖最右邊的四邊形。
請實際自己操作,你將能更加體會。
討論
[編輯]結論
[編輯]有面積為平方公分的正方形。可是它的邊長是多少公分呢?
面積為2的正方形,邊長是多少公分呢?
[編輯]討論
[編輯]用尺量量看,面積為平方公分的正方形,它的邊長大約為多少公分?[註 3]
利用計算機算算看,在到之間有沒有一個數的平方是?
- 如果沒有,則面積為平方公分的正方形,它的邊長介於哪兩個兩位小數公分之間?[註 5]
利用計算機算算看,在到之間有沒有一個數的平方是?
結論
[編輯]我們無法使用一個有限小數表示面積為的正方形邊長。所以我們需要引進一個新的東西—「根號」來幫助我們表示這樣的邊長。
根號
[編輯]在國中的階段,我們利用正方形的邊長與面積來了解根號的意義[註 8]。
我們定義一個面積為的正方形,它的邊長為。
如面積為的正方形,它的邊長為。
面積不可能為負數或0,不過我們特別定義。
重要概念:,而且
用這樣的概念,面積為的正方形,它的邊長為,但是面積為的正方形,它的邊長本身就是,所以事實上。
同樣的,面積為其中的正方形,它的邊長為,但是面積為的正方形,它的邊長本身就是,而,所以,事實上
反過來說,邊長為的正方形,它的面積為。
如邊長為的正方形,它的面積為。
又因為正方形的面積公式為邊長的平方,,所以我們得到:
例題
[編輯]例題面積為的正方形,它的邊長為多少?
解:面積為的正方形,它的邊長為。
例題邊長為的正方形,它的面積為多少?
解:邊長為的正方形,它的面積為。
- 注意:在例題中,邊長為的正方形,它的面積為,但是面積為的正方形實際的邊長為,所以。也就是說,在第式中,若,它的結果會是的相反數,即
習題
[編輯]習題面積為的正方形,它的邊長為多少?[答案 1]
習題邊長為的正方形,它的面積為多少?[答案 2]
完全平方數與開根號
[編輯]在之前提到,面積為其中的正方形,它的邊長為。所以有一些特殊的情況是可以計算根號的值:
當的是某一個數的平方時。
當是某一個整數的平方時,我們稱為完全平方數。
前21個完全平方數如下表:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
36 | 49 | 64 | 81 | 100 | ||
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ||
121 | 144 | 169 | 196 | 225 | ||
16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ||
256 | 289 | 324 | 361 | 400 |
計算出的過程稱作開根號。如開根號可以得到。
在這裡要再次提醒:開根號的答案必定為正數。
例題
[編輯]例題計算之值。
解:。
例題計算之值。
解:。
習題
[編輯]習題計算之值。[答案 3]
習題計算之值。[答案 4]
問題與討論
[編輯]設是一個正數,則與何者比較大?
- 當時,是比較大還是比較大?
- 當時,是比較大還是比較大?
- 當時,是比較大還是比較大?
- 當時,是比較大還是比較大?
平方根
[編輯]對於一個數,存在一個數滿足,則我們稱為的平方根。
如:,所以是的平方根。
檢查一個數是不是另一數的平方根
[編輯]要檢查是不是的平方根,只要實際計算是否等於即可。
例題檢驗是否為的平方根。
解:,所以是的平方根。
習題
[編輯]習題檢驗是否為的平方根。[答案 5]
習題檢驗是否為的平方根。[答案 6]
平方根的性質
[編輯]習題
[編輯]習題是非題,下列敘述是否正確?[答案 7]
- 因為沒有一個整數、分數或小數的平方為,所以沒有平方根。
- 的平方根為。
- 的平方根為。
- 如果是的平方根,則也是的平方根。
利用計算機計算根號
[編輯]在許多計算機上有一個按鈕「」可以計算根號的近似值。要計算「」的值有部分的計算機要依序輸入「」→「」,也有依序輸入「」→「」或「」→「」→「」的,你應該要依據自己的計算機性能而使用。
如計算「」依序按下「」→「」→「」→「」就可以得到近似值。
註解
[編輯]- ↑ 個角都是直角,而且個邊長都是邊長為公分的正方形之對角線,所以是正方形。
- ↑ 平方公分。
- ↑ 大約公分或公分。
- ↑ 到公分之間。
- ↑ 到公分之間。
- ↑ 到公分之間。
- ↑ 沒有。
- ↑ 國中只學二次方根。多次方根請見高中數學指數單元學習。
- ↑ 在複數的世界裡,負數的平方根是存在的。