国中数学/根号

边长为 $2$ 的正方形，我们可以很轻易地回答面积为 $4$ 。

可是反过来问，面积为 $2$ 的正方形，它的边长为何呢？

有面积为2的正方形吗？

拿出一张边长为 $2$ 公分的色纸，以垂直边长的方向对折再对折两次，将色纸打开如下图(点击可以放大)中间。两条折痕的交点为红点，将四个角往中间红点折，形成下图最右边的四边形 $A B C D$ 。

请实际自己操作，你将能更加体会。

讨论

四边形 $A B C D$ 为正方形。原因是什么呢？^{[注 1]}
四边形 $A B C D$ 的面积是多少平方公分呢？^{[注 2]}

结论

有面积为 $2$ 平方公分的正方形。可是它的边长是多少公分呢？

面积为2的正方形，边长是多少公分呢?

讨论

用尺量量看，面积为 $2$ 平方公分的正方形，它的边长大约为多少公分？^{[注 3]}

算算看，这个数的平方是否为 $2$ 呢？
面积为 $2$ 平方公分的正方形，它的边长介于哪两个一位小数公分之间？^{[注 4]}

利用计算机算算看，在 $1.41$ 到 $1.49$ 之间有没有一个数的平方是 $2$ ？

如果没有，则面积为 $2$ 平方公分的正方形，它的边长介于哪两个两位小数公分之间？^{[注 5]}

利用计算机算算看，在 $1.411$ 到 $1.419$ 之间有没有一个数的平方是 $2$ ？

如果没有，则面积为 $2$ 平方公分的正方形，它的边长介于哪两个三位小数公分之间？^{[注 6]}
有没有一个有限小数的平方刚好是 $2$ ？^{[注 7]}

结论

我们无法使用一个有限小数表示面积为 $2$ 的正方形边长。所以我们需要引进一个新的东西—“根号”来帮助我们表示这样的边长。

根号

在国中的阶段，我们利用正方形的边长与面积来了解根号的意义^{[注 8]}。

我们定义一个面积为 $a$ 的正方形，它的边长为 $\sqrt{a}$ 。

如面积为 $2$ 的正方形，它的边长为 $\sqrt{2}$ 。

面积不可能为负数或0，不过我们特别定义 $\sqrt{0} = 0$ 。

重要概念： $\sqrt{a} \geq 0$ ，而且 $a \geq 0$

用这样的概念，面积为 $4$ 的正方形，它的边长为 $\sqrt{4}$ ，但是面积为 $4$ 的正方形，它的边长本身就是 $2$ ，所以事实上 $\sqrt{4} = 2$ 。

同样的，面积为 $x^{2} ($ 其中 $x > 0)$ 的正方形，它的边长为 $\sqrt{x^{2}}$ ，但是面积为 $x^{2}$ 的正方形，它的边长本身就是 $x$ ，而 $0^{2} = 0$ ，所以 $\sqrt{0} = \sqrt{0^{2}} = 0$ ，事实上

 $\sqrt{x^{2}} = x (x \geq 0) \dots (1)$

反过来说，边长为 $\sqrt{a}$ 的正方形，它的面积为 $a$ 。

如边长为 $\sqrt{3}$ 的正方形，它的面积为 $3$ 。

又因为正方形的面积公式为边长的平方， $(\sqrt{0})^{2} = 0^{2} = 0$ ，所以我们得到：

 $(\sqrt{a})^{2} = a (a \geq 0) \dots (2)$

例题

例题 $1.$ 面积为 $1.7$ 的正方形，它的边长为多少？

解：面積為 $1.7$ 的正方形，它的邊長為 $\sqrt{1.7}$ 。

例题 $2.$ 边长为 $\sqrt{(- 5)^{2}}$ 的正方形，它的面积为多少？

解：邊長為 $\sqrt{(- 5)^{2}}$ 的正方形，它的面積為 $(- 5)^{2} = 25$ 。

注意：在例题 $2.$ 中，边长为 $\sqrt{(- 5)^{2}}$ 的正方形，它的面积为 $25$ ，但是面积为 $25$ 的正方形实际的边长为 $5$ ，所以 $\sqrt{(- 5)^{2}} = 5$ 。也就是说，在第 $(1)$ 式中，若 $x < 0$ ，它的结果会是 $x$ 的相反数 $- x$ ，即

 $\sqrt{x^{2}} = - x (x < 0) \dots (3)$

习题

习题 $1.$ 面积为 $\frac{15}{13}$ 的正方形，它的边长为多少？^{[答案 1]}

习题 $2.$ 边长为 $\sqrt{3.9}$ 的正方形，它的面积为多少？^{[答案 2]}

完全平方数与开根号

在之前提到，面积为 $x^{2} ($ 其中 $x > 0)$ 的正方形，它的边长为 $\sqrt{x^{2}} = x$ 。所以有一些特殊的情况是可以计算根号的值：

當 $\sqrt{a}$ 的 $a$ 是某一個數的平方時。

当 $a$ 是某一个整数的平方时，我们称 $a$ 为完全平方数。

前21个完全平方数如下表：

$n$	0	1	2	3	4	5
$n^{2}$	0	1	4	9	16	25
$n$	6	7	8	9	10
$n^{2}$	36	49	64	81	100
$n$	11	12	13	14	15
$n^{2}$	121	144	169	196	225
$n$	16	17	18	19	20
$n^{2}$	256	289	324	361	400

计算出 $\sqrt{a}$ 的过程称作 $a$ 开根号。如 $9$ 开根号可以得到 $\sqrt{9} = \sqrt{3^{2}} = 3$ 。

在这里要再次提醒：开根号的答案必定为正数。

例题

例题 $3.$ 计算 $\sqrt{\frac{144}{25}}$ 之值。

解： $\sqrt{\frac{144}{25}} = \sqrt{\frac{1 2^{2}}{5^{2}}} = \sqrt{(\frac{12}{5})^{2}} = \frac{12}{5}$ 。

例题 $4.$ 计算 $\sqrt{0.0289}$ 之值。

解： $\sqrt{0.0289} = \sqrt{\frac{289}{10000}} = \sqrt{\frac{1 7^{2}}{10 0^{2}}} = \sqrt{(\frac{17}{100})^{2}} = \frac{17}{100}$ 。

习题

习题 $3.$ 计算 $\sqrt{\frac{361}{169}}$ 之值。^{[答案 3]}

习题 $4.$ 计算 $\sqrt{0.81}$ 之值。^{[答案 4]}

问题与讨论

设 $a$ 是一个正数，则 $a$ 与 $\sqrt{a}$ 何者比较大？

当 $a = \frac{9}{4}$ 时，是 $a$ 比较大还是 $\sqrt{a}$ 比较大？
当 $a = \frac{1}{4}$ 时，是 $a$ 比较大还是 $\sqrt{a}$ 比较大？
当 $a = 1.44$ 时，是 $a$ 比较大还是 $\sqrt{a}$ 比较大？
当 $a = 0.04$ 时，是 $a$ 比较大还是 $\sqrt{a}$ 比较大？

平方根

对于一个数 $a$ ，存在一个数 $x$ 满足 $x^{2} = a$ ，则我们称 $x$ 为 $a$ 的平方根。

如： $2 4^{2} = 576$ ，所以 $24$ 是 $576$ 的平方根。

检查一个数是不是另一数的平方根

要检查 $x$ 是不是 $a$ 的平方根，只要实际计算 $x^{2} (= x \times x)$ 是否等于 $a$ 即可。

例题 $5.$ 检验 $- 24$ 是否为 $576$ 的平方根。

解： $(- 24)^{2} = (- 24) \times (- 24) = 576$ ，所以 $- 24$ 是 $576$ 的平方根。

习题

习题 $5.$ 检验 $0.2$ 是否为 $0.4$ 的平方根。^{[答案 5]}

习题 $6.$ 检验 $1 \frac{2}{3}$ 是否为 $1 \frac{4}{9}$ 的平方根。^{[答案 6]}

平方根的性质

因为对于一个正数a，(a)2=a且(−a)2=a，所以正数a有两个平方根a与−a，其中a称作a的正平方根，−a称作a的负平方根，两数互为相反数。
- 特别的， $a$ 的两个平方根可以记录为 $\pm \sqrt{a}$ 。
$0$ 只有一个平方根 $0$ 。
负数的平方根在国中阶段是不存在的^{[注 9]}。

习题

习题 $7.$ 是非题，下列叙述是否正确？^{[答案 7]}

因为没有一个整数、分数或小数的平方为 $15$ ，所以 $15$ 没有平方根。
$\sqrt{81}$ 的平方根为 $\pm 9$ 。
$0.4$ 的平方根为 $\pm 0.2$ 。
如果 $a$ 是 $17$ 的平方根，则 $- a$ 也是 $17$ 的平方根。

利用计算机计算根号

在许多计算机上有一个按钮“ $\sqrt{}$ ”可以计算根号的近似值。要计算“ $\sqrt{a}$ ”的值有部分的计算机要依序输入“ $\sqrt{}$ ”→“ $a$ ”，也有依序输入“ $a$ ”→“ $\sqrt{}$ ”或“ $a$ ”→“ $=$ ”→“ $\sqrt{}$ ”的，你应该要依据自己的计算机性能而使用。

如计算“ $\sqrt{\frac{4}{7}}$ ”依序按下“ $\sqrt{}$ ”→“ $4$ ”→“ $\div$ ”→“ $7$ ”就可以得到近似值 $0.755928946$ 。

注解

↑ $4$ 个角都是直角，而且 $4$ 个边长都是边长为 $1$ 公分的正方形之对角线，所以是正方形。
↑ $2$ 平方公分。
↑ 大约 $1.4$ 公分或 $1.5$ 公分。
↑ $1.4$ 到 $1.5$ 公分之间。
↑ $1.41$ 到 $1.42$ 公分之间。
↑ $1.414$ 到 $1.415$ 公分之间。
↑ 没有。
↑ 国中只学二次方根。多次方根请见高中数学指数单元学习。
↑ 在复数的世界里，负数的平方根是存在的。

习题答案

↑ $\sqrt{\frac{15}{13}}$
↑ $3.9$
↑ $\frac{19}{13}$
↑ $0.9 ($ 或 $\frac{9}{10})$
↑ 不是
↑ 不是
↑ 1、2、3为错误的，4是正确的。

参见

根式
指数(高中数学)
复数(高中数学)

[1] $4$ 个角都是直角，而且 $4$ 个边长都是边长为 $1$ 公分的正方形之对角线，所以是正方形。

[2] $2$ 平方公分。

[3] 大约 $1.4$ 公分或 $1.5$ 公分。

[4] $1.4$ 到 $1.5$ 公分之间。

[5] $1.41$ 到 $1.42$ 公分之间。

[6] $1.414$ 到 $1.415$ 公分之间。

[7] 没有。

[8] 国中只学二次方根。多次方根请见高中数学指数单元学习。

[15] 在复数的世界里，负数的平方根是存在的。

[9] $\sqrt{\frac{15}{13}}$

[10] $3.9$

[11] $\frac{19}{13}$

[12] $0.9 ($ 或 $\frac{9}{10})$

[13] 不是

[14] 不是

[16] 1、2、3为错误的，4是正确的。

[注 1]

[注 2]

[注 3]

[注 4]

[注 5]

[注 6]

[注 7]

[注 8]

[答案 1]

[答案 2]

[答案 3]

[答案 4]

[答案 5]

[答案 6]

[注 9]

[答案 7]