国中数学/根号
边长为的正方形,我们可以很轻易地回答面积为。
可是反过来问,面积为的正方形,它的边长为何呢?
有面积为2的正方形吗?
[编辑]拿出一张边长为公分的色纸,以垂直边长的方向对折再对折两次,将色纸打开如下图(点击可以放大)中间。两条折痕的交点为红点,将四个角往中间红点折,形成下图最右边的四边形。
请实际自己操作,你将能更加体会。
讨论
[编辑]结论
[编辑]有面积为平方公分的正方形。可是它的边长是多少公分呢?
面积为2的正方形,边长是多少公分呢?
[编辑]讨论
[编辑]用尺量量看,面积为平方公分的正方形,它的边长大约为多少公分?[注 3]
利用计算机算算看,在到之间有没有一个数的平方是?
- 如果没有,则面积为平方公分的正方形,它的边长介于哪两个两位小数公分之间?[注 5]
利用计算机算算看,在到之间有没有一个数的平方是?
结论
[编辑]我们无法使用一个有限小数表示面积为的正方形边长。所以我们需要引进一个新的东西—“根号”来帮助我们表示这样的边长。
根号
[编辑]在国中的阶段,我们利用正方形的边长与面积来了解根号的意义[注 8]。
我们定义一个面积为的正方形,它的边长为。
如面积为的正方形,它的边长为。
面积不可能为负数或0,不过我们特别定义。
重要概念:,而且
用这样的概念,面积为的正方形,它的边长为,但是面积为的正方形,它的边长本身就是,所以事实上。
同样的,面积为其中的正方形,它的边长为,但是面积为的正方形,它的边长本身就是,而,所以,事实上
反过来说,边长为的正方形,它的面积为。
如边长为的正方形,它的面积为。
又因为正方形的面积公式为边长的平方,,所以我们得到:
例题
[编辑]例题面积为的正方形,它的边长为多少?
解:面積為的正方形,它的邊長為。
例题边长为的正方形,它的面积为多少?
解:邊長為的正方形,它的面積為。
- 注意:在例题中,边长为的正方形,它的面积为,但是面积为的正方形实际的边长为,所以。也就是说,在第式中,若,它的结果会是的相反数,即
习题
[编辑]习题面积为的正方形,它的边长为多少?[答案 1]
习题边长为的正方形,它的面积为多少?[答案 2]
完全平方数与开根号
[编辑]在之前提到,面积为其中的正方形,它的边长为。所以有一些特殊的情况是可以计算根号的值:
當的是某一個數的平方時。
当是某一个整数的平方时,我们称为完全平方数。
前21个完全平方数如下表:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
36 | 49 | 64 | 81 | 100 | ||
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ||
121 | 144 | 169 | 196 | 225 | ||
16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ||
256 | 289 | 324 | 361 | 400 |
计算出的过程称作开根号。如开根号可以得到。
在这里要再次提醒:开根号的答案必定为正数。
例题
[编辑]例题计算之值。
解:。
例题计算之值。
解:。
习题
[编辑]习题计算之值。[答案 3]
习题计算之值。[答案 4]
问题与讨论
[编辑]设是一个正数,则与何者比较大?
- 当时,是比较大还是比较大?
- 当时,是比较大还是比较大?
- 当时,是比较大还是比较大?
- 当时,是比较大还是比较大?
平方根
[编辑]对于一个数,存在一个数满足,则我们称为的平方根。
如:,所以是的平方根。
检查一个数是不是另一数的平方根
[编辑]要检查是不是的平方根,只要实际计算是否等于即可。
例题检验是否为的平方根。
解:,所以是的平方根。
习题
[编辑]习题检验是否为的平方根。[答案 5]
习题检验是否为的平方根。[答案 6]
平方根的性质
[编辑]习题
[编辑]习题是非题,下列叙述是否正确?[答案 7]
- 因为没有一个整数、分数或小数的平方为,所以没有平方根。
- 的平方根为。
- 的平方根为。
- 如果是的平方根,则也是的平方根。
利用计算机计算根号
[编辑]在许多计算机上有一个按钮“”可以计算根号的近似值。要计算“”的值有部分的计算机要依序输入“”→“”,也有依序输入“”→“”或“”→“”→“”的,你应该要依据自己的计算机性能而使用。
如计算“”依序按下“”→“”→“”→“”就可以得到近似值。
注解
[编辑]- ↑ 个角都是直角,而且个边长都是边长为公分的正方形之对角线,所以是正方形。
- ↑ 平方公分。
- ↑ 大约公分或公分。
- ↑ 到公分之间。
- ↑ 到公分之间。
- ↑ 到公分之间。
- ↑ 没有。
- ↑ 国中只学二次方根。多次方根请见高中数学指数单元学习。
- ↑ 在复数的世界里,负数的平方根是存在的。