國中數學/國中數學七年級/1-3 正負數的乘除

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 1-2 正負數的加減 國中數學七年級
1-3 正負數的乘除
1-4 指數記法與科學記號 

本單元將介紹正負整數與正負小數的乘除運算。關於分數的部分請見2-4 分數的乘除

正負數的乘法[编辑]

雨婷的媽媽經營小本生意,每天可以賺取萬元,在最近雨婷的媽媽達到收支平衡。
如果雨婷的媽媽在今天達到收支平衡,那代表天後雨婷的媽媽可以賺取萬元,天後雨婷的媽媽可以賺取萬元,天後雨婷的媽媽可以賺取萬元,……
相反的,天前雨婷的媽媽還賠萬元,天前雨婷的媽媽還賠萬元,天前雨婷的媽媽還賠萬元,……

時間
賺/賠
萬元
萬元
萬元
今天
萬元(不賺不賠)
萬元
萬元
萬元

如果「賺」記作正,「賠」記作負,則我們可以紀錄成

時間
賺/賠
算式紀錄
萬元
萬元
萬元
今天
萬元(不賺不賠)
萬元
萬元
萬元

所以我們可以得到以下結果:

 為正數,則

這個式子中,代表這個數的相反數

我們利用以下的例題練習上述式子的運用。

例題
計算以下各式:





小測

  

1

2

但是雨婷的哥哥可就不同,每天都會賠萬元,在最近雨婷的哥哥達到收支平衡。
如果雨婷的哥哥在今天達到收支平衡,那代表天後雨婷的哥哥會賠萬元,天後雨婷的哥哥會賠萬元,天後雨婷的哥哥會賠萬元,……
相反的,天前雨婷的哥哥還賺萬元,天前雨婷的哥哥賺萬元,天前雨婷的哥哥賺萬元,……

時間
賺/賠
萬元
萬元
萬元
今天
萬元(不賺不賠)
萬元
萬元
萬元

如果「賺」記作正,「賠」記作負,則我們可以紀錄成

時間
賺/賠
算式紀錄
萬元
萬元
萬元
今天
萬元(不賺不賠)
萬元
萬元
萬元

所以我們可以得到以下結果:

 為正數,則

我們利用以下的例題練習上述式子的運用。

例題
計算以下各式:





小測

  

1

2

3

4

正負數乘法的口訣[编辑]

正負數乘法的口訣為:

 正正得正,正負得負,負正得負,負負得正

這個口訣的意思為當兩個正數相乘,得到的答案為正數;一正一負相乘,得到的答案為負數;兩個負數相乘,得到的答案為正數。所以進一步的,我們得到

 同號數相乘,其值為正;異號數相乘,其值為負。
例題
計算下列各式的值。



因為負負得正的關係,所以

因為負正得負的關係,所以
因為正負得負的關係,所以

乘法的交換律[编辑]

以前我們學過,在負數的計算上正確嗎?
將例題的第題與例題的第題做比較:

比較項目
例題
例題
題目
答案

你發現了嗎?兩題的答案是相同的!
習題
比較例題題與例題題,是否相同?[習題解答 1]
比較例題題與例題題,是否相同?[習題解答 2]

為兩數,則

乘法的結合律[编辑]

以前我們也學過,可是在負數的計算上正確嗎?

例題
計算下列各式的值。



(負負得正)



(負正得負)

(負負得正)

小測

  

1 計算的結果,答案是否相同?

相同
不相同

2 計算的結果,答案是否相同?

相同
不相同

3 計算的結果,答案是否相同?

相同
不相同

4 計算的結果,答案是否相同?

相同
不相同

事實上:

為三數,則

的乘法[编辑]

  1. 任何數乘以之後皆等於自己本身。即若是任意數,則
  2. 任何數乘以之後皆等於。即若是任意數,則
  3. 任何數乘以之後皆等於該數的相反數。即若是任意數,則

小測

  

1 計算

2 計算

3 計算

4 計算

5 計算

6 計算


連續數的乘法[编辑]

進行連續數的乘法時,

  1. 有括號要先算。
  2. 從左而右計算。
  3. 可以利用交換律與結合律簡化計算。
例題
計算的值。

(拿掉括號)
(括中間)
(交換律)
(結合律)
(結合律)


習題
計算下列各式的值:

  • [習題解答 3]
  • [習題解答 4]

連續多數的乘法之正負性[编辑]

因為負負得正的關係[註 1],所以:

  1. 如果連乘算式當中有奇數個負數時,答案為負數
  2. 如果連乘算式當中有偶數個負數時,答案為正數
  3. 如果連乘算式當中有,答案為
例題
判斷以下各式計算的結果為正數、負數或


式子中沒有,有個負數,為偶數,所以計算結果為正數。
式子中沒有,有個負數,為奇數,所以計算結果為負數。

小測

  

1 連乘算式的值為正數、負數或

正數
負數

2 連乘算式的值為正數、負數或

正數
負數

數的除法[编辑]

我們在國小時期有學過乘除互逆規則。例如因為,所以而且
利用這樣的想法,我們可以知道

乘法算式
除法算式
除法算式

你可以發現:

 同號數相除,其值為異號數相除,其值為

所以事實上,除法的運算規則也符合乘法運算[註 2]口訣:

正正得正,正負得負,負正得負,負負得正。

關於的除法[编辑]

  1. 是任意數,則
  2. 是任意非的數,則,其中倒數[註 3]

關於的除法[编辑]

  1. 是任意數,則,即相反數
  2. 是任意非的數,則

關於的除法[编辑]

  1. 是任意數,則
  2. 我們不定義任何數除以的結果。即不能是除數
例題
計算下列各式的值:




因為負負得正,所以
因為負正得負,所以
因為正負得負,所以

小測

  

1

2

3

4 ,則

5 哪一個算式沒有意義?


正負數乘除混合運算[编辑]

如同正負數的加減運算一樣,以下是計算正負數的乘除混合運算的時候要注意的規則:

  1. 有絕對值要先算
  2. 有括號要先算,順序依序為{}[註 4]
  3. 沒括號時,從左而右計算

另外,乘除混合運算也有類似於交換律的運算[註 5][註 6]
為三個任意數(但不能除以),則:

  1. [註 7]

我們將利用這些式子練習以下例題:

例題
計算下列各式的值:





因為沒有括號,所以需要從左而右計算



因為有括號要先算,所以



因為有絕對值要先算,所以




觀察比較好算,利用交換性,所以




習題
習題計算下列各式的值:
[習題解答 5]
[習題解答 6]
[習題解答 7]
[習題解答 8]

正負數四則運算[编辑]

以下是計算正負數四則運算的時候要注意的規則:

  1. 有絕對值要先算。
  2. 有括號要先算,順序依序為{}。
  3. 先乘除後加減
  4. 從左而右計算。
例題
計算下列各式的值:





(先乘除後加減)


(有絕對值要先算)
(先乘除後加減)


(有括號要先算、先乘除後加減)


習題
習題計算下列各式的值:
[習題解答 9]
[習題解答 10]
[習題解答 11]
[習題解答 12]

註解[编辑]

  1. 因為無論幾個正數相乘都還是正數,但是乘以一個負數會變成負數,再乘一個負數的話因為負負得正的關係又變成正數,故只要兩兩一組的負數相乘就會變成正數,所以判斷連乘算式的正負性,只要查看負數的數量。至於因為乘以就會變成,所以只要連乘算式裡有乘以,答案必為
  2. 除法運算符合乘法運算口訣之因為「除以一個數,等於乘以這個數的倒數」。
  3. 倒數會在分數的乘除單元介紹。
  4. 這是大括號符號,通常加在中括號外面。
  5. 正負數加減混合運算也是,只是我們將減法改成加法運算,所以這裡就沒有細談。
  6. 原因依舊是除以一個數,就等於乘以這個數的倒數,再利用乘法交換律得到這樣的結果。
  7. 只是第1條式子改成改成然後等號兩邊顛倒而已。

習題解答[编辑]

  1. 習題
    比較項目
    例題
    例題
    題目
    答案

    故一樣。

  2. 習題
    比較項目
    例題
    例題
    題目
    答案

    故一樣。

  3. 習題
  4. 習題
  5. 習題
  6. 習題
  7. 習題
  8. 習題
  9. 習題
  10. 習題
  11. 習題
  12. 習題