国中数学/国中数学七年级/1-3 正负数的乘除
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本单元将介绍正负整数与正负小数的乘除运算。关于分数的部分请见2-4 分数的乘除。
正负数的乘法
[编辑]雨婷的妈妈经营小本生意,每天可以赚取万元,在最近雨婷的妈妈达到收支平衡。
如果雨婷的妈妈在今天达到收支平衡,那代表天后雨婷的妈妈可以赚取万元,天后雨婷的妈妈可以赚取万元,天后雨婷的妈妈可以赚取万元,……
相反的,天前雨婷的妈妈还赔万元,天前雨婷的妈妈还赔万元,天前雨婷的妈妈还赔万元,……
如果“赚”记作正,“赔”记作负,则我们可以纪录成
所以我们可以得到以下结果:
為正數,則
这个式子中,代表这个数的相反数。
我们利用以下的例题练习上述式子的运用。
例题 计算以下各式:
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解
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小测
但是雨婷的哥哥可就不同,每天都会赔万元,在最近雨婷的哥哥达到收支平衡。
如果雨婷的哥哥在今天达到收支平衡,那代表天后雨婷的哥哥会赔万元,天后雨婷的哥哥会赔万元,天后雨婷的哥哥会赔万元,……
相反的,天前雨婷的哥哥还赚万元,天前雨婷的哥哥赚万元,天前雨婷的哥哥赚万元,……
如果“赚”记作正,“赔”记作负,则我们可以纪录成
所以我们可以得到以下结果:
為正數,則;
我们利用以下的例题练习上述式子的运用。
例题 计算以下各式:
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解
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小测
正负数乘法的口诀
[编辑]正负数乘法的口诀为:
正正得正,正負得負,負正得負,負負得正
这个口诀的意思为当两个正数相乘,得到的答案为正数;一正一负相乘,得到的答案为负数;两个负数相乘,得到的答案为正数。所以进一步的,我们得到
同號數相乘,其值為正;異號數相乘,其值為負。
例题 计算下列各式的值。
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解 因为负负得正的关系,所以
因为负正得负的关系,所以 |
以前我们学过,在负数的计算上正确吗?
将例题的第题与例题的第题做比较:
你发现了吗?两题的答案是相同的!
习题
比较例题第题与例题第题,是否相同?[习题解答 1]
比较例题第题与例题第题,是否相同?[习题解答 2]
若、為兩數,則。
以前我们也学过,可是在负数的计算上正确吗?
例题 计算下列各式的值。
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解 (负负得正) |
小测
事实上:
若、、為三數,則。
1、0、-1的乘法
[编辑]- 任何数乘以之后皆等于自己本身。即若是任意数,则。
- 任何数乘以之后皆等于。即若是任意数,则。
- 任何数乘以之后皆等于该数的相反数。即若是任意数,则。
小测
连续数的乘法
[编辑]进行连续数的乘法时,
- 有括号要先算。
- 从左而右计算。
- 可以利用交换律与结合律简化计算。
例题 计算的值。
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解 (拿掉括号) |
习题
计算下列各式的值:
连续多数的乘法之正负性
[编辑]因为负负得正的关系[注 1],所以:
- 如果连乘算式当中有奇数个负数时,答案为负数。
- 如果连乘算式当中有偶数个负数时,答案为正数。
- 如果连乘算式当中有,答案为。
例题 判断以下各式计算的结果为正数、负数或?
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解 式子中没有,有个负数,为偶数,所以计算结果为正数。 |
小测
数的除法
[编辑]我们在国小时期有学过乘除互逆规则。例如因为,所以而且。
利用这样的想法,我们可以知道
你可以发现:
同號數相除,其值為正;異號數相除,其值為負。
所以事实上,除法的运算规则也符合乘法运算[注 2]口诀:
正正得正,正負得負,負正得負,負負得正。
关于1的除法
[编辑]- 设是任意数,则。
- 设是任意非的数,则,其中为的倒数[注 3]。
关于-1的除法
[编辑]- 设是任意数,则,即的相反数。
- 设是任意非的数,则。
关于0的除法
[编辑]- 设是任意数,则。
- 我们不定义任何数除以的结果。即不能是除数。
例题 计算下列各式的值:
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解 因为负负得正,所以。 |
小测
正负数乘除混合运算
[编辑]如同正负数的加减运算一样,以下是计算正负数的乘除混合运算的时候要注意的规则:
- 有绝对值要先算。
- 有括号要先算,顺序依序为{}[注 4]。
- 没括号时,从左而右计算。
另外,乘除混合运算也有类似于交换律的运算[注 5][注 6]:
设、、为三个任意数(但不能除以),则:
我们将利用这些式子练习以下例题:
例题 计算下列各式的值:
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解 因为没有括号,所以需要从左而右计算。 |
习题
习题计算下列各式的值:
[习题解答 5]
[习题解答 6]
[习题解答 7]
[习题解答 8]
正负数四则运算
[编辑]以下是计算正负数四则运算的时候要注意的规则:
- 有绝对值要先算。
- 有括号要先算,顺序依序为{}。
- 先乘除后加减。
- 从左而右计算。
例题 计算下列各式的值:
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解
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习题
习题计算下列各式的值:
[习题解答 9]
[习题解答 10]
[习题解答 11]
[习题解答 12]
注解
[编辑]- ↑ 因为无论几个正数相乘都还是正数,但是乘以一个负数会变成负数,再乘一个负数的话因为负负得正的关系又变成正数,故只要两两一组的负数相乘就会变成正数,所以判断连乘算式的正负性,只要查看负数的数量。至于因为乘以就会变成,所以只要连乘算式里有乘以,答案必为。
- ↑ 除法运算符合乘法运算口诀之因为“除以一个数,等于乘以这个数的倒数”。
- ↑ 倒数会在分数的乘除单元介绍。
- ↑ 这是大括号符号,通常加在中括号外面。
- ↑ 正负数加减混合运算也是,只是我们将减法改成加法运算,所以这里就没有细谈。
- ↑ 原因依旧是除以一个数,就等于乘以这个数的倒数,再利用乘法交换律得到这样的结果。
- ↑ 只是第1条式子改成,改成然后等号两边颠倒而已。