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国中数学/国中数学七年级/1-3 正负数的乘除

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 1-2 正负数的加减 国中数学七年级
1-3 正负数的乘除
1-4 指数记法与科学记号 

本单元将介绍正负整数与正负小数的乘除运算。关于分数的部分请见2-4 分数的乘除

正负数的乘法

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雨婷的妈妈经营小本生意,每天可以赚取万元,在最近雨婷的妈妈达到收支平衡。
如果雨婷的妈妈在今天达到收支平衡,那代表天后雨婷的妈妈可以赚取万元,天后雨婷的妈妈可以赚取万元,天后雨婷的妈妈可以赚取万元,……
相反的,天前雨婷的妈妈还赔万元,天前雨婷的妈妈还赔万元,天前雨婷的妈妈还赔万元,……

时间
赚/赔
万元
万元
万元
今天
万元(不赚不赔)
万元
万元
万元

如果“赚”记作正,“赔”记作负,则我们可以纪录成

时间
赚/赔
算式纪录
万元
万元
万元
今天
万元(不赚不赔)
万元
万元
万元

所以我们可以得到以下结果:

 為正數,則

这个式子中,代表这个数的相反数

我们利用以下的例题练习上述式子的运用。

例题
计算以下各式:





小测

  

1

2

但是雨婷的哥哥可就不同,每天都会赔万元,在最近雨婷的哥哥达到收支平衡。
如果雨婷的哥哥在今天达到收支平衡,那代表天后雨婷的哥哥会赔万元,天后雨婷的哥哥会赔万元,天后雨婷的哥哥会赔万元,……
相反的,天前雨婷的哥哥还赚万元,天前雨婷的哥哥赚万元,天前雨婷的哥哥赚万元,……

时间
赚/赔
万元
万元
万元
今天
万元(不赚不赔)
万元
万元
万元

如果“赚”记作正,“赔”记作负,则我们可以纪录成

时间
赚/赔
算式纪录
万元
万元
万元
今天
万元(不赚不赔)
万元
万元
万元

所以我们可以得到以下结果:

 為正數,則

我们利用以下的例题练习上述式子的运用。

例题
计算以下各式:





小测

  

1

2

3

4

正负数乘法的口诀

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正负数乘法的口诀为:

 正正得正,正負得負,負正得負,負負得正

这个口诀的意思为当两个正数相乘,得到的答案为正数;一正一负相乘,得到的答案为负数;两个负数相乘,得到的答案为正数。所以进一步的,我们得到

 同號數相乘,其值為正;異號數相乘,其值為負。
例题
计算下列各式的值。



因为负负得正的关系,所以

因为负正得负的关系,所以
因为正负得负的关系,所以

乘法的交换律

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以前我们学过,在负数的计算上正确吗?
将例题的第题与例题的第题做比较:

比较项目
例题
例题
题目
答案

你发现了吗?两题的答案是相同的!
习题
比较例题题与例题题,是否相同?[习题解答 1]
比较例题题与例题题,是否相同?[习题解答 2]

為兩數,則

乘法的结合律

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以前我们也学过,可是在负数的计算上正确吗?

例题
计算下列各式的值。



(负负得正)



(负正得负)

(负负得正)

小测

  

1 计算的结果,答案是否相同?

相同
不相同

2 计算的结果,答案是否相同?

相同
不相同

3 计算的结果,答案是否相同?

相同
不相同

4 计算的结果,答案是否相同?

相同
不相同

事实上:

為三數,則

1、0、-1的乘法

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  1. 任何数乘以之后皆等于自己本身。即若是任意数,则
  2. 任何数乘以之后皆等于。即若是任意数,则
  3. 任何数乘以之后皆等于该数的相反数。即若是任意数,则

小测

  

1 计算

2 计算

3 计算

4 计算

5 计算

6 计算


连续数的乘法

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进行连续数的乘法时,

  1. 有括号要先算。
  2. 从左而右计算。
  3. 可以利用交换律与结合律简化计算。
例题
计算的值。

(拿掉括号)
(括中间)
(交换律)
(结合律)
(结合律)


习题
计算下列各式的值:

  • [习题解答 3]
  • [习题解答 4]

连续多数的乘法之正负性

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因为负负得正的关系[注 1],所以:

  1. 如果连乘算式当中有奇数个负数时,答案为负数
  2. 如果连乘算式当中有偶数个负数时,答案为正数
  3. 如果连乘算式当中有,答案为
例题
判断以下各式计算的结果为正数、负数或


式子中没有,有个负数,为偶数,所以计算结果为正数。
式子中没有,有个负数,为奇数,所以计算结果为负数。

小测

  

1 连乘算式的值为正数、负数或

正数
负数

2 连乘算式的值为正数、负数或

正数
负数

数的除法

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我们在国小时期有学过乘除互逆规则。例如因为,所以而且
利用这样的想法,我们可以知道

乘法算式
除法算式
除法算式

你可以发现:

 同號數相除,其值為異號數相除,其值為

所以事实上,除法的运算规则也符合乘法运算[注 2]口诀:

正正得正,正負得負,負正得負,負負得正。

关于1的除法

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  1. 是任意数,则
  2. 是任意非的数,则,其中倒数[注 3]

关于-1的除法

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  1. 是任意数,则,即相反数
  2. 是任意非的数,则

关于0的除法

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  1. 是任意数,则
  2. 我们不定义任何数除以的结果。即不能是除数
例题
计算下列各式的值:




因为负负得正,所以
因为负正得负,所以
因为正负得负,所以

小测

  

1

2

3

4 ,则

5 哪一个算式没有意义?


正负数乘除混合运算

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如同正负数的加减运算一样,以下是计算正负数的乘除混合运算的时候要注意的规则:

  1. 有绝对值要先算
  2. 有括号要先算,顺序依序为{}[注 4]
  3. 没括号时,从左而右计算

另外,乘除混合运算也有类似于交换律的运算[注 5][注 6]
为三个任意数(但不能除以),则:

  1. [注 7]

我们将利用这些式子练习以下例题:

例题
计算下列各式的值:





因为没有括号,所以需要从左而右计算



因为有括号要先算,所以



因为有绝对值要先算,所以




观察比较好算,利用交换性,所以




习题
习题计算下列各式的值:
[习题解答 5]
[习题解答 6]
[习题解答 7]
[习题解答 8]

正负数四则运算

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以下是计算正负数四则运算的时候要注意的规则:

  1. 有绝对值要先算。
  2. 有括号要先算,顺序依序为{}。
  3. 先乘除后加减
  4. 从左而右计算。
例题
计算下列各式的值:





(先乘除后加减)


(有绝对值要先算)
(先乘除后加减)


(有括号要先算、先乘除后加减)


习题
习题计算下列各式的值:
[习题解答 9]
[习题解答 10]
[习题解答 11]
[习题解答 12]

注解

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  1. 因为无论几个正数相乘都还是正数,但是乘以一个负数会变成负数,再乘一个负数的话因为负负得正的关系又变成正数,故只要两两一组的负数相乘就会变成正数,所以判断连乘算式的正负性,只要查看负数的数量。至于因为乘以就会变成,所以只要连乘算式里有乘以,答案必为
  2. 除法运算符合乘法运算口诀之因为“除以一个数,等于乘以这个数的倒数”。
  3. 倒数会在分数的乘除单元介绍。
  4. 这是大括号符号,通常加在中括号外面。
  5. 正负数加减混合运算也是,只是我们将减法改成加法运算,所以这里就没有细谈。
  6. 原因依旧是除以一个数,就等于乘以这个数的倒数,再利用乘法交换律得到这样的结果。
  7. 只是第1条式子改成改成然后等号两边颠倒而已。

习题解答

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  1. 习题
    比较项目
    例题
    例题
    题目
    答案

    故一样。

  2. 习题
    比较项目
    例题
    例题
    题目
    答案

    故一样。

  3. 习题
  4. 习题
  5. 习题
  6. 习题
  7. 习题
  8. 习题
  9. 习题
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  11. 习题
  12. 习题