国中数学/国中数学七年级/1-3 正负数的乘除

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国中数学七年级
1-3 正负数的乘除

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本单元将介绍正负整数与正负小数的乘除运算。关于分数的部分请见2-4 分数的乘除。

正负数的乘法

雨婷的妈妈经营小本生意，每天可以赚取 $5$ 万元，在最近雨婷的妈妈达到收支平衡。
如果雨婷的妈妈在今天达到收支平衡，那代表 $1$ 天后雨婷的妈妈可以赚取 $5$ 万元， $2$ 天后雨婷的妈妈可以赚取 $10$ 万元， $3$ 天后雨婷的妈妈可以赚取 $15$ 万元，……
相反的， $1$ 天前雨婷的妈妈还赔 $5$ 万元， $2$ 天前雨婷的妈妈还赔 $10$ 万元， $3$ 天前雨婷的妈妈还赔 $15$ 万元，……

时间	赚/赔
$3$ 天后	赚 $15$ 万元
$2$ 天后	赚 $10$ 万元
$1$ 天后	赚 $5$ 万元
今天	$0$ 万元(不赚不赔)
$1$ 天前	赔 $5$ 万元
$2$ 天前	赔 $10$ 万元
$3$ 天前	赔 $15$ 万元

如果“赚”记作正，“赔”记作负，则我们可以纪录成

时间	赚/赔	算式纪录
$3$ 天后	赚 $15$ 万元	$(+ 5) \times (+ 3) = + 15$
$2$ 天后	赚 $10$ 万元	$(+ 5) \times (+ 2) = + 10$
$1$ 天后	赚 $5$ 万元	$(+ 5) \times (+ 1) = + 5$
今天	$0$ 万元(不赚不赔)	$(+ 5) \times 0 = 0$
$1$ 天前	赔 $5$ 万元	$(+ 5) \times (- 1) = - 5$
$2$ 天前	赔 $10$ 万元	$(+ 5) \times (- 2) = - 10$
$3$ 天前	赔 $15$ 万元	$(+ 5) \times (- 3) = - 15$

所以我们可以得到以下结果：

  $a, b$ 為正數，則 $(+ a) \times (- b) = - (a \times b)$

这个式子中， $- (a \times b)$ 代表 $(a \times b)$ 这个数的相反数。

我们利用以下的例题练习上述式子的运用。

例题

1

计算以下各式：

$(1) 5 \times (- 4)$
$(2) 0.3 \times (- 1.2)$

解

(1) 5 \times (- 4) = - (5 \times 4) = - 20

$(2) 0.3 \times (- 1.2) = - (0.3 \times 1.2) = - 0.36$

小测

但是雨婷的哥哥可就不同，每天都会赔 $5$ 万元，在最近雨婷的哥哥达到收支平衡。
如果雨婷的哥哥在今天达到收支平衡，那代表 $1$ 天后雨婷的哥哥会赔 $5$ 万元， $2$ 天后雨婷的哥哥会赔 $10$ 万元， $3$ 天后雨婷的哥哥会赔 $15$ 万元，……
相反的， $1$ 天前雨婷的哥哥还赚 $5$ 万元， $2$ 天前雨婷的哥哥赚 $10$ 万元， $3$ 天前雨婷的哥哥赚 $15$ 万元，……

时间	赚/赔
$3$ 天后	赔 $15$ 万元
$2$ 天后	赔 $10$ 万元
$1$ 天后	赔 $5$ 万元
今天	$0$ 万元(不赚不赔)
$1$ 天前	赚 $5$ 万元
$2$ 天前	赚 $10$ 万元
$3$ 天前	赚 $15$ 万元

如果“赚”记作正，“赔”记作负，则我们可以纪录成

时间	赚/赔	算式纪录
$3$ 天后	赔 $15$ 万元	$(- 5) \times (+ 3) = - 15$
$2$ 天后	赔 $10$ 万元	$(- 5) \times (+ 2) = - 10$
$1$ 天后	赔 $5$ 万元	$(- 5) \times (+ 1) = - 5$
今天	$0$ 万元(不赚不赔)	$(- 5) \times 0 = 0$
$1$ 天前	赚 $5$ 万元	$(- 5) \times (- 1) = + 5$
$2$ 天前	赚 $10$ 万元	$(- 5) \times (- 2) = + 10$
$3$ 天前	赚 $15$ 万元	$(- 5) \times (- 3) = + 15$

所以我们可以得到以下结果：

  $a, b$ 為正數，則 $(- a) \times (+ b) = - (a \times b)$ ； $(- a) \times (- b) = a \times b$

我们利用以下的例题练习上述式子的运用。

例题

2

计算以下各式：

$(1) (- 3) \times (- 9)$
$(2) (- 3.6) \times 1.2$

解

(1) (- 3) \times (- 9) = 3 \times 9 = 27

$(2) (- 3.6) \times 1.2 = - (3.6 \times 1.2) = - 4.32$

小测

正负数乘法的口诀

正负数乘法的口诀为：

 正正得正，正負得負，負正得負，負負得正

这个口诀的意思为当两个正数相乘，得到的答案为正数；一正一负相乘，得到的答案为负数；两个负数相乘，得到的答案为正数。所以进一步的，我们得到

 同號數相乘，其值為正；異號數相乘，其值為負。

例题

3

计算下列各式的值。

$(1) (- 9) \times (- 3)$
$(2) (- 1.2) \times 0.3$
$(3) 1.2 \times (- 3.6)$

解

(1)

因为负负得正的关系，所以

(- 9) \times (- 3) = 9 \times 3 = 27

$(2)$ 因为负正得负的关系，所以 $(- 1.2) \times 0.3 = - (1.2 \times 0.3) = - 0.36$
$(3)$ 因为正负得负的关系，所以 $1.2 \times (- 3.6) = - (1.2 \times 3.6) = - 4.32$

乘法的交换律

以前我们学过 $3 \times 5 = 5 \times 3 = 15$ ，在负数的计算上正确吗？
将例题 $3$ 的第 $(1)$ 题与例题 $2$ 的第 $(1)$ 题做比较：

比较项目	例题 $3$ 第 $(1)$ 题	例题 $2$ 第 $(1)$ 题
题目	$(- 9) \times (- 3)$	$(- 3) \times (- 9)$
答案	$27$	$27$

你发现了吗？两题的答案是相同的！
习题
$1.$ 比较例题 $3$ 第 $(2)$ 题与例题 $1$ 第 $(2)$ 题，是否相同？^{[习题解答 1]}
$2.$ 比较例题 $3$ 第 $(3)$ 题与例题 $2$ 第 $(2)$ 题，是否相同？^{[习题解答 2]}

 若 $a$ 、 $b$ 為兩數，則 $a \times b = b \times a$ 。

乘法的结合律

以前我们也学过 $(3 \times 5) \times 7 = 3 \times (5 \times 7)$ ，可是在负数的计算上正确吗？

例题

4

计算下列各式的值。

$(1) [(- 9) \times (- 10)] \times 8$
$(2) (- 9) \times [(- 10) \times 8]$

解

(1) [(- 9) \times (- 10)] \times 8

$= (9 \times 10) \times 8$ (负负得正)
$= 90 \times 8$
$= 720$
$(2)$ $(- 9) \times [(- 10) \times 8]$
$= (- 9) \times [- (10 \times 8)]$ (负正得负)
$= (- 9) \times (- 80)$
$= 9 \times 80$ (负负得正)
$= 720$

小测

事实上：

 若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 為三數，則 $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ 。

1、0、-1的乘法

任何数乘以 $1$ 之后皆等于自己本身。即若 $a$ 是任意数，则 $a \times 1 = 1 \times a = a$ 。
任何数乘以 $0$ 之后皆等于 $0$ 。即若 $a$ 是任意数，则 $a \times 0 = 0 \times a = 0$ 。
任何数乘以 $- 1$ 之后皆等于该数的相反数。即若 $a$ 是任意数，则 $a \times (- 1) = (- 1) \times a = - a$ 。

小测

连续数的乘法

进行连续数的乘法时，

有括号要先算。
从左而右计算。
可以利用交换律与结合律简化计算。

例题

5

计算

[(- 25) \times (- 17)] \times (4 \times 3)

的值。

解

[(- 25) \times (- 17)] \times (4 \times 3)

$= (- 25) \times (- 17) \times 4 \times 3$ (拿掉括号)
$= (- 25) \times [(- 17) \times 4] \times 3$ (括中间)
$= (- 25) \times [4 \times (- 17)] \times 3$ (交换律)
$= [(- 25) \times 4] \times (- 17) \times 3$ (结合律)
$= (- 100) \times [(- 17) \times 3]$ (结合律)
$= (- 100) \times (- 51)$
$= 5100$

习题
$3.$ 计算下列各式的值：

$(1) 125 \times [37 \times (- 8)]$ ^{[习题解答 3]}
$(2) (- 13) \times (- 4) \times [(- 5) \times (- 7)]$ ^{[习题解答 4]}

连续多数的乘法之正负性

因为负负得正的关系^{[注 1]}，所以：

如果连乘算式当中有奇数个负数时，答案为负数。
如果连乘算式当中有偶数个负数时，答案为正数。
如果连乘算式当中有 $0$ ，答案为 $0$ 。

例题

6

判断以下各式计算的结果为正数、负数或

0

？

$(1) (- 333) \times (- 4444) \times (- 55555) \times (- 666666)$
$(2) (- 2) \times 3 \times (- 4) \times 5 \times (- 6) \times 7$

解

$(1)$ 式子中没有 $0$ ，有 $4$ 个负数，为偶数，所以计算结果为正数。
$(2)$ 式子中没有 $0$ ，有 $3$ 个负数，为奇数，所以计算结果为负数。

小测

数的除法

我们在国小时期有学过乘除互逆规则。例如因为 $3 \times 5 = 15$ ，所以 $15 \div 3 = 5$ 而且 $15 \div 5 = 3$ 。
利用这样的想法，我们可以知道

乘法算式	除法算式 $1$	除法算式 $2$
$(- 3) \times 5 = - 15$	$(- 15) \div (- 3) = 5$	$(- 15) \div 5 = - 3$
$4 \times (- 7) = - 28$	$(- 28) \div 4 = - 7$	$(- 28) \div (- 7) = 4$
$(- 6) \times (- 9) = 54$	$54 \div (- 6) = - 9$	$54 \div (- 9) = - 6$

你可以发现：

 同號數相除，其值為正；異號數相除，其值為負。

所以事实上，除法的运算规则也符合乘法运算^{[注 2]}口诀：

正正得正，正負得負，負正得負，負負得正。

关于1的除法

设 $a$ 是任意数，则 $a \div 1 = a$ 。
设 $a$ 是任意非 $0$ 的数，则 $1 \div a = \frac{1}{a}$ ，其中 $\frac{1}{a}$ 为 $a$ 的倒数^{[注 3]}。

关于-1的除法

设 $a$ 是任意数，则 $a \div (- 1) = - a$ ，即 $a$ 的相反数。
设 $a$ 是任意非 $0$ 的数，则 $(- 1) \div a = - \frac{1}{a}$ 。

关于0的除法

设 $a$ 是任意数，则 $0 \div a = 0$ 。
我们不定义任何数除以 $0$ 的结果。即 $0$ 不能是除数。

例题

7

计算下列各式的值：

$(1) (- 98) \div (- 7)$
$(2) (- 130) \div 13$
$(3) 87 \div (- 29)$

解

$(1)$ 因为负负得正，所以 $(- 98) \div (- 7) = 98 \div 7 = 14$ 。
$(2)$ 因为负正得负，所以 $(- 130) \div 13 = - (130 \div 13) = - 10$ 。
$(3)$ 因为正负得负，所以 $87 \div (- 29) = - (87 \div 29) = - 3$ 。

小测

正负数乘除混合运算

如同正负数的加减运算一样，以下是计算正负数的乘除混合运算的时候要注意的规则：

有绝对值要先算。
有括号要先算，顺序依序为 $() \to [] \to$ {}^{[注 4]}。
没括号时，从左而右计算。

另外，乘除混合运算也有类似于交换律的运算^{[注 5]}^{[注 6]}：
设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为三个任意数(但不能除以 $0$ )，则：

$a \times b \div c = a \div c \times b$
$a \div b \times c = a \times c \div b$ ^{[注 7]}
$a \div b \div c = a \div c \div b$

我们将利用这些式子练习以下例题：

例题

8

计算下列各式的值：

$(1) (- 96) \div (- 2) \div 8$
$(2) (- 390) \div (13 \times 5)$
$(3) 805 \div | (- 23) \times 5 |$
$(4) 139 \times (- 97) \div (- 139)$

解

$(1)$ 因为没有括号，所以需要从左而右计算。
$(- 96) \div (- 2) \div 8$
$= 48 \div 8$
$= 6$
$(2)$ 因为有括号要先算，所以
$(- 390) \div (13 \times 5)$
$= (- 390) \div 65$
$= - 6$
$(3)$ 因为有绝对值要先算，所以
$805 \div | (- 23) \times 5 |$
$= 805 \div | - 115 |$
$= 805 \div 115$
$= 7$
$(4)$ 观察 $139 \div (- 139)$ 比较好算，利用交换性，所以
$139 \times (- 97) \div (- 139)$
$= 139 \div (- 139) \times (- 97)$
$= (- 1) \times (- 97)$
$= 97$

习题
习题 $4.$ 计算下列各式的值：
$(1) 12 \div (- 3) \times 13$ ^{[习题解答 5]}
$(2) (- 168) \div [(- 3) \times 7]$ ^{[习题解答 6]}
$(3) 123 \div | - 41 | \times (- 9)$ ^{[习题解答 7]}
$(4) (- 9600) \div (- 25) \div 96$ ^{[习题解答 8]}

正负数四则运算

以下是计算正负数四则运算的时候要注意的规则：

有绝对值要先算。
有括号要先算，顺序依序为 $() \to [] \to$ {}。
先乘除后加减。
从左而右计算。

例题

9

计算下列各式的值：

$(1) 54 - (- 27) \div (- 9)$
$(2) (- 91) \div 13 - | - 12 | \times (- 4)$
$(3) (- 39) \div [24 + 7 \times (- 3)]$

解

$(1) 54 - (- 27) \div (- 9)$
$= 54 - 3$ (先乘除后加减)
$= 51$
$(2) (- 91) \div 13 - | - 12 | \times (- 4)$
$= (- 91) \div 13 - 12 \times (- 4)$ (有绝对值要先算)
$= (- 7) - (- 48)$ (先乘除后加减)
$= 41$
$(3) (- 39) \div [24 + 7 \times (- 3)]$
$= (- 39) \div [24 + (- 21)]$ (有括号要先算、先乘除后加减)
$= (- 39) \div 3$
$= - 13$

习题
习题 $5.$ 计算下列各式的值：
$(1) 5 \times (- 3) + 66 \div (- 11)$ ^{[习题解答 9]}
$(2) (- 450) \div | 29 - (- 3) \times 7 |$ ^{[习题解答 10]}
$(3) 6 \times [| - 21 | + 3 \times (- 9)]$ ^{[习题解答 11]}
$(4) (- 12) - 260 \div (- 5) \div (- 13)$ ^{[习题解答 12]}

注解

↑ 因为无论几个正数相乘都还是正数，但是乘以一个负数会变成负数，再乘一个负数的话因为负负得正的关系又变成正数，故只要两两一组的负数相乘就会变成正数，所以判断连乘算式的正负性，只要查看负数的数量。至于因为乘以 $0$ 就会变成 $0$ ，所以只要连乘算式里有乘以 $0$ ，答案必为 $0$ 。
↑ 除法运算符合乘法运算口诀之因为“除以一个数，等于乘以这个数的倒数”。
↑ 倒数会在分数的乘除单元介绍。
↑ 这是大括号符号，通常加在中括号外面。
↑ 正负数加减混合运算也是，只是我们将减法改成加法运算，所以这里就没有细谈。
↑ 原因依旧是除以一个数，就等于乘以这个数的倒数，再利用乘法交换律得到这样的结果。
↑ 只是第1条式子 $b$ 改成 $c$ ， $c$ 改成 $b$ 然后等号两边颠倒而已。

习题解答

↑ 习题 $1.$

比较项目例题 $3$ 第 $(2)$ 题例题 $1$ 第 $(2)$ 题

题目 $(- 1.2) \times 0.3$ $0.3 \times (- 1.2)$

答案 $- 0.36$ $- 0.36$

故一样。
↑ 习题 $2.$

比较项目例题 $3$ 第 $(3)$ 题例题 $2$ 第 $(2)$ 题

题目 $1.2 \times (- 3.6)$ $(- 3.6) \times 1.2$

答案 $- 4.32$ $- 4.32$

故一样。
↑ 习题 $3. (1) - 37000$
↑ 习题 $3. (2) 1820$
↑ 习题 $4. (1) - 52$
↑ 习题 $4. (2) 8$
↑ 习题 $4. (3) - 27$
↑ 习题 $4. (4) 4$
↑ 习题 $5. (1) - 21$
↑ 习题 $5. (2) - 9$
↑ 习题 $5. (3) - 36$
↑ 习题 $5. (4) - 16$

[5] 因为无论几个正数相乘都还是正数，但是乘以一个负数会变成负数，再乘一个负数的话因为负负得正的关系又变成正数，故只要两两一组的负数相乘就会变成正数，所以判断连乘算式的正负性，只要查看负数的数量。至于因为乘以 $0$ 就会变成 $0$ ，所以只要连乘算式里有乘以 $0$ ，答案必为 $0$ 。

[6] 除法运算符合乘法运算口诀之因为“除以一个数，等于乘以这个数的倒数”。

[7] 倒数会在分数的乘除单元介绍。

[8] 这是大括号符号，通常加在中括号外面。

[9] 正负数加减混合运算也是，只是我们将减法改成加法运算，所以这里就没有细谈。

[10] 原因依旧是除以一个数，就等于乘以这个数的倒数，再利用乘法交换律得到这样的结果。

[11] 只是第1条式子 $b$ 改成 $c$ ， $c$ 改成 $b$ 然后等号两边颠倒而已。

[1] 习题 $1.$

比较项目例题 $3$ 第 $(2)$ 题例题 $1$ 第 $(2)$ 题

题目 $(- 1.2) \times 0.3$ $0.3 \times (- 1.2)$

答案 $- 0.36$ $- 0.36$

故一样。

[2] 习题 $2.$

比较项目例题 $3$ 第 $(3)$ 题例题 $2$ 第 $(2)$ 题

题目 $1.2 \times (- 3.6)$ $(- 3.6) \times 1.2$

答案 $- 4.32$ $- 4.32$

故一样。

[3] 习题 $3. (1) - 37000$

[4] 习题 $3. (2) 1820$

[12] 习题 $4. (1) - 52$

[13] 习题 $4. (2) 8$

[14] 习题 $4. (3) - 27$

[15] 习题 $4. (4) 4$

[16] 习题 $5. (1) - 21$

[17] 习题 $5. (2) - 9$

[18] 习题 $5. (3) - 36$

[19] 习题 $5. (4) - 16$

[习题解答 1]

[习题解答 2]

[习题解答 3]

[习题解答 4]

[注 1]

[注 2]

[注 3]

[注 4]

[注 5]

[注 6]

[注 7]

[习题解答 5]

[习题解答 6]

[习题解答 7]

[习题解答 8]

[习题解答 9]

[习题解答 10]

[习题解答 11]

[习题解答 12]

	$1 \div (- 12)$
	$13 \div (- 1)$
	$0 \div (- 14)$
	$(- 15) \div 0$

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

	$21$
	$- 21$

	$7$
	$- 7$

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：