# 國中數學/國中數學七年級/1-3 正負數的乘除

 1-2 正負數的加減 ◄ 國中數學七年級1-3 正負數的乘除 ► 1-4 指數記法與科學記號

## 正負數的乘法

${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 15}$萬元
${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 10}$萬元
${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 5}$萬元

${\displaystyle 0}$萬元(不賺不賠)
${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 5}$萬元
${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 10}$萬元
${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 15}$萬元

${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 15}$萬元
${\displaystyle ({\color {blue}+}5)\times ({\color {blue}+}3)={\color {blue}+}15}$
${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 10}$萬元
${\displaystyle ({\color {blue}+}5)\times ({\color {blue}+}2)={\color {blue}+}10}$
${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 5}$萬元
${\displaystyle ({\color {blue}+}5)\times ({\color {blue}+}1)={\color {blue}+}5}$

${\displaystyle 0}$萬元(不賺不賠)
${\displaystyle ({\color {blue}+}5)\times 0=0}$
${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 5}$萬元
${\displaystyle ({\color {blue}+}5)\times ({\color {red}-}1)={\color {red}-}5}$
${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 10}$萬元
${\displaystyle ({\color {blue}+}5)\times ({\color {red}-}2)={\color {red}-}10}$
${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 15}$萬元
${\displaystyle ({\color {blue}+}5)\times ({\color {red}-}3)={\color {red}-}15}$

 ${\displaystyle a,b}$為正數，則${\displaystyle (+a)\times (-b)=-(a\times b)}$


 例題${\displaystyle 1}$計算以下各式： ${\displaystyle (1)5\times (-4)}$ ${\displaystyle (2)0.3\times (-1.2)}$
 解${\displaystyle (1)5\times (-4)=-(5\times 4)=-20}$ ${\displaystyle (2)0.3\times (-1.2)=-(0.3\times 1.2)=-0.36}$

 答對得到的分數： 錯誤答案減少的分數： 忽略問題的係數：

1 ${\displaystyle 3\times (-7)=?}$

 ${\displaystyle 21}$ ${\displaystyle -21}$

2 ${\displaystyle 1.4\times (-5)=?}$

 ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle -7}$

${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 15}$萬元
${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 10}$萬元
${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 5}$萬元

${\displaystyle 0}$萬元(不賺不賠)
${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 5}$萬元
${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 10}$萬元
${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 15}$萬元

${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 15}$萬元
${\displaystyle ({\color {red}-}5)\times ({\color {blue}+}3)={\color {red}-}15}$
${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 10}$萬元
${\displaystyle ({\color {red}-}5)\times ({\color {blue}+}2)={\color {red}-}10}$
${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 5}$萬元
${\displaystyle ({\color {red}-}5)\times ({\color {blue}+}1)={\color {red}-}5}$

${\displaystyle 0}$萬元(不賺不賠)
${\displaystyle ({\color {red}-}5)\times 0=0}$
${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 5}$萬元
${\displaystyle ({\color {red}-}5)\times ({\color {red}-}1)={\color {blue}+}5}$
${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 10}$萬元
${\displaystyle ({\color {red}-}5)\times ({\color {red}-}2)={\color {blue}+}10}$
${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 15}$萬元
${\displaystyle ({\color {red}-}5)\times ({\color {red}-}3)={\color {blue}+}15}$

 ${\displaystyle a,b}$為正數，則${\displaystyle (-a)\times (+b)=-(a\times b)}$；${\displaystyle (-a)\times (-b)=a\times b}$


 例題${\displaystyle 2}$計算以下各式： ${\displaystyle (1)(-3)\times (-9)}$ ${\displaystyle (2)(-3.6)\times 1.2}$
 解${\displaystyle (1)(-3)\times (-9)=3\times 9=27}$ ${\displaystyle (2)(-3.6)\times 1.2=-(3.6\times 1.2)=-4.32}$

 答對得到的分數： 錯誤答案減少的分數： 忽略問題的係數：

1 ${\displaystyle (-3)\times (-7)=?}$

 ${\displaystyle 21}$ ${\displaystyle -21}$

2 ${\displaystyle (-2.9)\times 10=?}$

 ${\displaystyle 29}$ ${\displaystyle -29}$

3 ${\displaystyle (-11)\times 7=?}$

 ${\displaystyle 77}$ ${\displaystyle -77}$

4 ${\displaystyle (-1.4)\times (-1.6)=?}$

 ${\displaystyle 2.24}$ ${\displaystyle -2.24}$

### 正負數乘法的口訣

 正正得正，正負得負，負正得負，負負得正


 同號數相乘，其值為正；異號數相乘，其值為負。

 例題${\displaystyle 3}$計算下列各式的值。 ${\displaystyle (1)(-9)\times (-3)}$ ${\displaystyle (2)(-1.2)\times 0.3}$ ${\displaystyle (3)1.2\times (-3.6)}$
 解${\displaystyle (1)}$因為負負得正的關係，所以${\displaystyle (-9)\times (-3)=9\times 3=27}$ ${\displaystyle (2)}$因為負正得負的關係，所以${\displaystyle (-1.2)\times 0.3=-(1.2\times 0.3)=-0.36}$ ${\displaystyle (3)}$因為正負得負的關係，所以${\displaystyle 1.2\times (-3.6)=-(1.2\times 3.6)=-4.32}$

### 乘法的交換律

${\displaystyle (-9)\times (-3)}$
${\displaystyle (-3)\times (-9)}$

${\displaystyle 27}$
${\displaystyle 27}$

${\displaystyle 1.}$比較例題${\displaystyle 3}$${\displaystyle (2)}$題與例題${\displaystyle 1}$${\displaystyle (2)}$題，是否相同？[習題解答 1]
${\displaystyle 2.}$比較例題${\displaystyle 3}$${\displaystyle (3)}$題與例題${\displaystyle 2}$${\displaystyle (2)}$題，是否相同？[習題解答 2]

 若${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$為兩數，則${\displaystyle a\times b=b\times a}$。


### 乘法的結合律

 例題${\displaystyle 4}$計算下列各式的值。 ${\displaystyle (1)[(-9)\times (-10)]\times 8}$ ${\displaystyle (2)(-9)\times [(-10)\times 8]}$
 解${\displaystyle (1)[(-9)\times (-10)]\times 8}$ ${\displaystyle =(9\times 10)\times 8}$(負負得正) ${\displaystyle =90\times 8}$ ${\displaystyle =720}$ ${\displaystyle (2)}$${\displaystyle (-9)\times [(-10)\times 8]}$ ${\displaystyle =(-9)\times [-(10\times 8)]}$(負正得負) ${\displaystyle =(-9)\times (-80)}$ ${\displaystyle =9\times 80}$(負負得正) ${\displaystyle =720}$

 答對得到的分數： 錯誤答案減少的分數： 忽略問題的係數：

1 計算${\displaystyle [3\times (-5)]\times 8}$${\displaystyle 3\times [(-5)\times 8]}$的結果，答案是否相同？

 相同 不相同

2 計算${\displaystyle [(-0.6)\times 1.5]\times (-3)}$${\displaystyle (-0.6)\times [1.5\times (-3)]}$的結果，答案是否相同？

 相同 不相同

3 計算${\displaystyle (10\times 12)\times (-0.4)}$${\displaystyle 10\times [12\times (-0.4)]}$的結果，答案是否相同？

 相同 不相同

4 計算${\displaystyle [(-0.3)\times (-0.4)]\times (-0.5)}$${\displaystyle (-0.3)\times [(-0.4)\times (-0.5)]}$的結果，答案是否相同？

 相同 不相同

 若${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$為三數，則${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$。


### 1、0、-1的乘法

1. 任何數乘以${\displaystyle 1}$之後皆等於自己本身。即若${\displaystyle a}$是任意數，則${\displaystyle a\times 1=1\times a=a}$
2. 任何數乘以${\displaystyle 0}$之後皆等於${\displaystyle 0}$。即若${\displaystyle a}$是任意數，則${\displaystyle a\times 0=0\times a=0}$
3. 任何數乘以${\displaystyle -1}$之後皆等於該數的相反數。即若${\displaystyle a}$是任意數，則${\displaystyle a\times (-1)=(-1)\times a=-a}$

 答對得到的分數： 錯誤答案減少的分數： 忽略問題的係數：

1 計算${\displaystyle (-1313)\times 1=?}$

 ${\displaystyle 1313}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1313}$

2 計算${\displaystyle (-1313)\times 0=?}$

 ${\displaystyle 1313}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1313}$

3 計算${\displaystyle (-1313)\times (-1)=?}$

 ${\displaystyle 1313}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1313}$

4 計算${\displaystyle 1\times (-0.734)=?}$

 ${\displaystyle 0.734}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -0.734}$

5 計算${\displaystyle 0\times (-0.734)=?}$

 ${\displaystyle 0.734}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -0.734}$

6 計算${\displaystyle (-1)\times 0.734=?}$

 ${\displaystyle 0.734}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -0.734}$

### 連續數的乘法

1. 有括號要先算。
2. 從左而右計算。
3. 可以利用交換律與結合律簡化計算。
 例題${\displaystyle 5}$計算${\displaystyle [(-25)\times (-17)]\times (4\times 3)}$的值。
 解${\displaystyle [(-25)\times (-17)]\times (4\times 3)}$ ${\displaystyle =(-25)\times (-17)\times 4\times 3}$(拿掉括號) ${\displaystyle =(-25)\times [(-17)\times 4]\times 3}$(括中間) ${\displaystyle =(-25)\times [4\times (-17)]\times 3}$(交換律) ${\displaystyle =[(-25)\times 4]\times (-17)\times 3}$(結合律) ${\displaystyle =(-100)\times [(-17)\times 3]}$(結合律) ${\displaystyle =(-100)\times (-51)}$ ${\displaystyle =5100}$

${\displaystyle 3.}$計算下列各式的值：

• ${\displaystyle (1)125\times [37\times (-8)]}$[習題解答 3]
• ${\displaystyle (2)(-13)\times (-4)\times [(-5)\times (-7)]}$[習題解答 4]

#### 連續多數的乘法之正負性

1. 如果連乘算式當中有奇數個負數時，答案為負數
2. 如果連乘算式當中有偶數個負數時，答案為正數
3. 如果連乘算式當中有${\displaystyle {\color {green}0}}$，答案為${\displaystyle {\color {green}0}}$
 例題${\displaystyle 6}$判斷以下各式計算的結果為正數、負數或${\displaystyle 0}$？ ${\displaystyle (1)(-333)\times (-4444)\times (-55555)\times (-666666)}$ ${\displaystyle (2)(-2)\times 3\times (-4)\times 5\times (-6)\times 7}$
 解 ${\displaystyle (1)}$式子中沒有${\displaystyle 0}$，有${\displaystyle 4}$個負數，為偶數，所以計算結果為正數。 ${\displaystyle (2)}$式子中沒有${\displaystyle 0}$，有${\displaystyle 3}$個負數，為奇數，所以計算結果為負數。

 答對得到的分數： 錯誤答案減少的分數： 忽略問題的係數：

1 連乘算式${\displaystyle 134\times 73\times 0\times (-32)\times (-79)\times (-137)}$的值為正數、負數或${\displaystyle 0}$

 正數 ${\displaystyle 0}$ 負數

2 連乘算式${\displaystyle (-2)\times (-4)\times (-6)\times \cdots \times (-50)}$的值為正數、負數或${\displaystyle 0}$

 正數 ${\displaystyle 0}$ 負數

## 數的除法

${\displaystyle (-3)\times 5=-15}$
${\displaystyle (-15)\div (-3)=5}$
${\displaystyle (-15)\div 5=-3}$
${\displaystyle 4\times (-7)=-28}$
${\displaystyle (-28)\div 4=-7}$
${\displaystyle (-28)\div (-7)=4}$
${\displaystyle (-6)\times (-9)=54}$
${\displaystyle 54\div (-6)=-9}$
${\displaystyle 54\div (-9)=-6}$

 同號數相除，其值為正；異號數相除，其值為負。


正正得正，正負得負，負正得負，負負得正。


### 關於1的除法

1. ${\displaystyle a}$是任意數，則${\displaystyle a\div 1=a}$
2. ${\displaystyle a}$是任意非${\displaystyle 0}$的數，則${\displaystyle 1\div a={\frac {1}{a}}}$，其中${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$${\displaystyle a}$倒數[註 3]

### 關於-1的除法

1. ${\displaystyle a}$是任意數，則${\displaystyle a\div (-1)=-a}$，即${\displaystyle a}$相反數
2. ${\displaystyle a}$是任意非${\displaystyle 0}$的數，則${\displaystyle (-1)\div a=-{\frac {1}{a}}}$

### 關於0的除法

1. ${\displaystyle a}$是任意數，則${\displaystyle 0\div a=0}$
2. 我們不定義任何數除以${\displaystyle 0}$的結果。即${\displaystyle 0}$不能是除數
 例題${\displaystyle 7}$計算下列各式的值： ${\displaystyle (1)(-98)\div (-7)}$ ${\displaystyle (2)(-130)\div 13}$ ${\displaystyle (3)87\div (-29)}$
 解 ${\displaystyle (1)}$因為負負得正，所以${\displaystyle (-98)\div (-7)=98\div 7=14}$。 ${\displaystyle (2)}$因為負正得負，所以${\displaystyle (-130)\div 13=-(130\div 13)=-10}$。 ${\displaystyle (3)}$因為正負得負，所以${\displaystyle 87\div (-29)=-(87\div 29)=-3}$。

 答對得到的分數： 錯誤答案減少的分數： 忽略問題的係數：

1 ${\displaystyle (-45)\div (-9)=?}$

 ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle -5}$

2 ${\displaystyle 84\div (-12)=?}$

 ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle -7}$

3 ${\displaystyle (-72)\div 9=?}$

 ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle -8}$

4 ${\displaystyle (-121)\div a=11}$，則${\displaystyle a=?}$

 ${\displaystyle 11}$ ${\displaystyle -11}$

5 哪一個算式沒有意義？

 ${\displaystyle 1\div (-12)}$ ${\displaystyle 13\div (-1)}$ ${\displaystyle 0\div (-14)}$ ${\displaystyle (-15)\div 0}$

## 正負數乘除混合運算

1. 有絕對值要先算
2. 有括號要先算，順序依序為${\displaystyle ()\rightarrow []\rightarrow }${}[註 4]
3. 沒括號時，從左而右計算

${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$為三個任意數(但不能除以${\displaystyle 0}$)，則：

1. ${\displaystyle a\times b\div c=a\div c\times b}$
2. ${\displaystyle a\div b\times c=a\times c\div b}$[註 7]
3. ${\displaystyle a\div b\div c=a\div c\div b}$

 例題${\displaystyle 8}$計算下列各式的值： ${\displaystyle (1)(-96)\div (-2)\div 8}$ ${\displaystyle (2)(-390)\div (13\times 5)}$ ${\displaystyle (3)805\div |(-23)\times 5|}$ ${\displaystyle (4)139\times (-97)\div (-139)}$
 解 ${\displaystyle (1)}$因為沒有括號，所以需要從左而右計算。 ${\displaystyle (-96)\div (-2)\div 8}$ ${\displaystyle =48\div 8}$ ${\displaystyle =6}$ ${\displaystyle (2)}$因為有括號要先算，所以 ${\displaystyle (-390)\div (13\times 5)}$ ${\displaystyle =(-390)\div 65}$ ${\displaystyle =-6}$ ${\displaystyle (3)}$因為有絕對值要先算，所以 ${\displaystyle 805\div |(-23)\times 5|}$ ${\displaystyle =805\div |-115|}$ ${\displaystyle =805\div 115}$ ${\displaystyle =7}$ ${\displaystyle (4)}$觀察${\displaystyle 139\div (-139)}$比較好算，利用交換性，所以 ${\displaystyle 139\times (-97)\div (-139)}$ ${\displaystyle =139\div (-139)\times (-97)}$ ${\displaystyle =(-1)\times (-97)}$ ${\displaystyle =97}$

${\displaystyle (1)12\div (-3)\times 13}$[習題解答 5]
${\displaystyle (2)(-168)\div [(-3)\times 7]}$[習題解答 6]
${\displaystyle (3)123\div |-41|\times (-9)}$[習題解答 7]
${\displaystyle (4)(-9600)\div (-25)\div 96}$[習題解答 8]

## 正負數四則運算

1. 有絕對值要先算。
2. 有括號要先算，順序依序為${\displaystyle ()\rightarrow []\rightarrow }${}。
3. 先乘除後加減
4. 從左而右計算。
 例題${\displaystyle 9}$計算下列各式的值： ${\displaystyle (1)54-(-27)\div (-9)}$ ${\displaystyle (2)(-91)\div 13-|-12|\times (-4)}$ ${\displaystyle (3)(-39)\div [24+7\times (-3)]}$
 解 ${\displaystyle (1)54-(-27)\div (-9)}$ ${\displaystyle =54-3}$(先乘除後加減) ${\displaystyle =51}$ ${\displaystyle (2)(-91)\div 13-|-12|\times (-4)}$ ${\displaystyle =(-91)\div 13-12\times (-4)}$(有絕對值要先算) ${\displaystyle =(-7)-(-48)}$(先乘除後加減) ${\displaystyle =41}$ ${\displaystyle (3)(-39)\div [24+7\times (-3)]}$ ${\displaystyle =(-39)\div [24+(-21)]}$(有括號要先算、先乘除後加減) ${\displaystyle =(-39)\div 3}$ ${\displaystyle =-13}$

${\displaystyle (1)5\times (-3)+66\div (-11)}$[習題解答 9]
${\displaystyle (2)(-450)\div |29-(-3)\times 7|}$[習題解答 10]
${\displaystyle (3)6\times [|-21|+3\times (-9)]}$[習題解答 11]
${\displaystyle (4)(-12)-260\div (-5)\div (-13)}$[習題解答 12]

## 註解

1. 因為無論幾個正數相乘都還是正數，但是乘以一個負數會變成負數，再乘一個負數的話因為負負得正的關係又變成正數，故只要兩兩一組的負數相乘就會變成正數，所以判斷連乘算式的正負性，只要查看負數的數量。至於因為乘以${\displaystyle 0}$就會變成${\displaystyle 0}$，所以只要連乘算式裡有乘以${\displaystyle 0}$，答案必為${\displaystyle 0}$
2. 除法運算符合乘法運算口訣之因為「除以一個數，等於乘以這個數的倒數」。
3. 倒數會在分數的乘除單元介紹。
4. 這是大括號符號，通常加在中括號外面。
5. 正負數加減混合運算也是，只是我們將減法改成加法運算，所以這裡就沒有細談。
6. 原因依舊是除以一個數，就等於乘以這個數的倒數，再利用乘法交換律得到這樣的結果。
7. 只是第1條式子${\displaystyle b}$改成${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$改成${\displaystyle b}$然後等號兩邊顛倒而已。

## 習題解答

1. 習題${\displaystyle 1.}$
比較項目
例題${\displaystyle 3}$${\displaystyle (2)}$
例題${\displaystyle 1}$${\displaystyle (2)}$
題目
${\displaystyle (-1.2)\times 0.3}$
${\displaystyle 0.3\times (-1.2)}$
答案
${\displaystyle -0.36}$
${\displaystyle -0.36}$

故一樣。

2. 習題${\displaystyle 2.}$
比較項目
例題${\displaystyle 3}$${\displaystyle (3)}$
例題${\displaystyle 2}$${\displaystyle (2)}$
題目
${\displaystyle 1.2\times (-3.6)}$
${\displaystyle (-3.6)\times 1.2}$
答案
${\displaystyle -4.32}$
${\displaystyle -4.32}$

故一樣。

3. 習題${\displaystyle 3.(1)-37000}$
4. 習題${\displaystyle 3.(2)1820}$
5. 習題${\displaystyle 4.(1)-52}$
6. 習題${\displaystyle 4.(2)8}$
7. 習題${\displaystyle 4.(3)-27}$
8. 習題${\displaystyle 4.(4)4}$
9. 習題${\displaystyle 5.(1)-21}$
10. 習題${\displaystyle 5.(2)-9}$
11. 習題${\displaystyle 5.(3)-36}$
12. 習題${\displaystyle 5.(4)-16}$