推理是種符號組合的遊戲,比如說,一般人都會認為「如果這本書不在圖書館,(則)這本書一定是被借走了」,這樣的話,若圖書館裏沒有這本書,那理應有「這本書被借走了」的結論。說的抽象一點,若有「A則B」和「A」,那會得到「B」,這是一條(目前人類公認)的語言推理規則,它通常被稱為肯定前件。
可以發現上一段的討論,是建立在任何一段敘述都有真有假的前提上。為了方便以後的討論,如果一段敘述為真,我們會說「這段敘述的真值為」;反之如果一段敘述為假,我們會說「這段敘述的真值為」。
數學的敘述裏總會包含「非/不」、「則」、「且」和「或」這些詞彙,這些詞彙被統稱為邏輯連接詞,仔細來說,它們代表
- 「非A」 為真,意思是A為假,可記為「 A」。
- 「A則B」為真,意思是不可能有A為真但B為假的狀況,可記為「A B」。
- 「A且B」為真,意思是A與B都為真,可記為「A B」。
- 「A或B」為真,意思是A與B至少一者為真,可記為「A B」。
以下的真值表更清楚地展示以上的語義說明
A
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A
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A
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B
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A B
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A B
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A
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B
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A B
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「存在實數大於零」,或是「對任意實數x和y,x=y 或 x<y 或 x>y」是大家所孰悉的數學敘述。但仔細來說,以上兩句代表
「存在x,x是實數且 x> 0」
「對所有x和所有y,若x為實數且y為實數 x=y 或 x<y 或 x>y」
也就是說,「所有/任意」和「有/存在」這兩種詞彙,都須依託於變數的幫助,才能清楚的表達意義,所以這兩種詞會被統稱為量詞。
集合的觀念與「屬於」這個謂詞是密不可分的。某個物體稱為「集合」意思是有其他東西屬於它。
集合的定義:一般地,我們把研究對象稱為元素,一些元素組成的總體稱為集合。
集合的特點:
確定性:一個元素要麼是集合的元素,要麼不是集合的元素,兩種情況必有一種且只有一種成立。
互異性:集合中的元素不重複。
無序性:集合中的元素不考慮順序。
區間是一類數的集合,在數學中經常使用。
- 設。
- 數集 稱為開區間,記作 即。
- 數集 稱為閉區間,記作 即。
- 同樣,把
- ,
- 稱為半開區間。
- 以點為中心的任何區間稱為的鄰域,記作。鄰域一般為有限區間
- 設是任一正數,則區間就是點的一個鄰域,稱此為點的鄰域,記作,
- 即,亦可記作
- 稱為此鄰域的中心,為鄰域的半徑。
- 同時,把點的鄰域去掉中心後,稱為點的去心的鄰域。
- ,
- ,
- ,
- ,
- 即區間元素屬於全體實數。
在一個變化過程中,固定不變的量叫做常量,變化的量叫做變量。
如對於過程:路程=速度×時間,公式表達為。
在此公式中,如果一輛小車以60km/h勻速直線運動,則速度為常量,因為隨着時間的增大,路程也會增大,所以和是變量。
也可以說是的函數。
補充:一次函數解析式為,特別的,當,函數變為,此時,稱它是正比例函數。
對於集合中的任何一個元素,在集合中都有唯一的元素與它對應,這樣的關係叫從集合到集合的映射或函數。
大多數情況下,映射規則是有序的。
函數表示形為:。
其中是函數值(或在不引起歧義的情況下,簡稱為函數),是對應法則,是自變量。
注意:有些地方稱為因變量,在數學中,這種表述是不嚴謹的,應引起注意。