微積分學/基礎知識

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基礎知識
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一、集合:[編輯]

集合就是把屬於這個集合的東西聚集在一起。這些「東西」就是元素

集合的定義:一般地,我們把研究對象稱為元素,一些元素組成的總體稱為集合。

集合的特點

確定性:一個元素要麼是集合的元素,要麼不是集合的元素,兩種情況必有一種且只有一種成立。

互異性:集合中的元素不重複。

無序性:集合中的元素不考慮順序。

映射的定義:對於集合中的任何一個元素,在集合中都有唯一的元素與它對應,這樣的關係叫從集合到集合的映射。

二、區間、鄰域︰[編輯]

區間是一類數的集合,在數學中經常使用。

  • 有限區間
數集 稱為開區間,記作 即
數集 稱為閉區間,記作 即
同樣,把
稱為半開區間
  • 鄰域
以點為中心的任何區間稱為鄰域,記作。鄰域一般為有限區間
是任一正數,則區間就是點的一個鄰域,稱此為點鄰域,記作
,亦可記作
為此鄰域的中心鄰域的半徑
同時,把點鄰域去掉中心後,稱為點去心的鄰域
  • 無限區間:
即區間元素屬於全體實數

三、常量與變量:[編輯]

在一個變化過程中,固定不變的量叫做常量,變化的量叫做變量

如對於過程:路程=速度×時間,公式表達為

在此公式中,如果一輛小車以60km/h勻速直線運動,則速度為常量,因為隨著時間的增大,路程也會增大,所以是變量。

也可以說的函數。

補充:一次函數解析式為,特別的,當,函數變為,此時,稱它是正比例函數。

四、函數的概念:[編輯]

一個數集到另一個數集的映射稱為函數

大多數情況下,映射規則是有序的。

函數表示形為:

其中是函數值(或在不引起歧義的情況下,簡稱為函數),是對應法則,是自變量。

注意:有些地方稱為因變量,在數學中,這種表述是不嚴謹的,應引起注意。

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