微积分学/基础知识

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函数

零、基本邏輯

1. 推理與真假值

推理是種符號組合的遊戲，比如說，一般人都會認為「如果這本書不在圖書館，（則）這本書一定是被借走了」，這樣的話，若圖書館裡沒有這本書，那理應有「這本書被借走了」的結論。說的抽象一點，若有「A則B」和「A」，那會得到「B」，這是一條（目前人類公認）的語言推理規則，它通常被稱為肯定前件。

可以發現上一段的討論，是建立在任何一段敘述都有真有假的前提上。為了方便以後的討論，如果一段敘述為真，我們會說「這段敘述的真值為$\top$」；反之如果一段敘述為假，我們會說「這段敘述的真值為$\bot$」。

2. 邏輯連接詞

數學的敘述裡總會包含「非/不」、「則」、「且」和「或」這些詞彙，這些詞彙被統稱為邏輯連接詞，仔細來說，它們代表

• 「非A」 為真，意思是A為假，可記為「$\neg$ A」。
• 「A則B」為真，意思是不可能有A為真但B為假的狀況，可記為「A $\Rightarrow$ B」。
• 「A且B」為真，意思是A與B都為真，可記為「A $\wedge$ B」。
• 「A或B」為真，意思是A與B至少一者為真，可記為「A $\vee$ B」。

以下的真值表更清楚地展示以上的語義說明

A $\neg$ A $\top$ $\bot$ $\bot$ $\top$

A B A $\Rightarrow$ B $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\top$

A B A $\wedge$ B $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\bot$

A B A $\vee$ B $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$

3.量詞與變數

「存在實數大於零」，或是「對任意實數x和y，x=y 或 x<y 或 x>y」是大家所孰悉的數學敘述。但仔細來說，以上兩句代表

「存在x，x是實數且 x> 0」

「對所有x和所有y，若x為實數且y為實數 x=y 或 x<y 或 x>y」

也就是說，「所有/任意」和「有/存在」這兩種詞彙，都須依托於變數的幫助，才能清楚的表達意義，所以這兩種詞會被統稱為量詞。

一、集合：

集合的觀念與「屬於」這個謂詞是密不可分的。某個物體稱為「集合」意思是有其他東西屬於它。

集合的定义：一般地，我们把研究对象称为元素，一些元素组成的总体称为集合。

集合的特点：

确定性：一个元素要么是集合$A$的元素，要么不是集合$A$的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

互异性：集合中的元素不重复。

无序性：集合中的元素不考虑顺序。

二、区间、邻域︰

区间是一类数的集合，在数学中经常使用。

• 有限区间

设$a,b\in R$。

数集$\left\{x|a<x<b\right\}$　称为开区间，记作$\left(a,b\right)$　即$\left(a,b\right)=\left\{x|a<x<b\right\}$。

数集$\left\{x|a\leq x\leq b\right\}$　称为闭区间，记作$\left[a,b\right]$　即$\left[a,b\right]=\left\{x|a\leq x\leq b\right\}$。

同样，把

$(a,b]=\left\{x|a<x\leq b\right\}$，

$[a,b)=\left\{x|a\leq x<b\right\}$

称为半开区间。

• 邻域

以点$a$为中心的任何区间称为$a$的邻域，记作$U(a)$。邻域一般为有限区间

设$\delta$是任一正数，则区间$\left(a-\delta ,a+\delta \right)$就是点$a$的一个邻域，称此为点$a$的$\delta$邻域，记作$U(a,\delta )$，

即$U\left(a,\delta \right)=\left\{a-\delta <x<a+\delta \right\}$，亦可记作$U\left(a,\delta \right)=\left\{x|\left\vert x-a\right\vert <\delta \right\}$

称$a$为此邻域的中心，$\delta$为邻域的半径。

同时，把点$a$的$\delta$邻域去掉中心$a$后，称为点$a$的去心的$\delta$邻域。

• 无限区间：

$\left(a,+\infty \right)=\left\{x|a<x\right\}$，

$[a,+\infty )=\left\{x|a\leq x\right\}$，

$\left(-\infty ,b\right)=\left\{x|x<b\right\}$，

$(-\infty ,b]=\left\{x|x\leq b\right\}$，

$\left(-\infty ,+\infty \right)$即区间元素$x$属于全体实数$R$。

三、常量与变量：

在一个变化过程中，固定不变的量叫做常量，变化的量叫做变量。

如对于过程：路程＝速度×时间，公式表达为$s=vt$。

在此公式中，如果一辆小车以60km/h匀速直线运动，则速度$v$为常量，因为随着时间$t$的增大，路程$s$也会增大，所以$t$和$s$是变量。

也可以说$s$是$t$的函数。

补充：一次函数解析式为$y=kx+b$，特别的，当$b=0$，函数变为$y=kx$，此时，称它是正比例函数。

四、函数：

对于集合$A$中的任何一个元素，在集合$B$中都有唯一的元素与它对应，这样的关系叫从集合$A$到集合$B$的映射或函数。

大多数情况下，映射规则是有序的。

函数表示形为：$y=f(x)$。

其中$y$是函数值（或在不引起歧义的情况下，简称为函数），$f$是对应法则，$x$是自变量。

注意：有些地方称$y$为因变量，在数学中，这种表述是不严谨的，应引起注意。