推理是种符号组合的游戏,比如说,一般人都会认为“如果这本书不在图书馆,(则)这本书一定是被借走了”,这样的话,若图书馆里没有这本书,那理应有“这本书被借走了”的结论。说的抽象一点,若有“A则B”和“A”,那会得到“B”,这是一条(目前人类公认)的语言推理规则,它通常被称为肯定前件。
可以发现上一段的讨论,是建立在任何一段叙述都有真有假的前提上。为了方便以后的讨论,如果一段叙述为真,我们会说“这段叙述的真值为”;反之如果一段叙述为假,我们会说“这段叙述的真值为”。
数学的叙述里总会包含“非/不”、“则”、“且”和“或”这些词汇,这些词汇被统称为逻辑连接词,仔细来说,它们代表
- “非A” 为真,意思是A为假,可记为“ A”。
- “A则B”为真,意思是不可能有A为真但B为假的状况,可记为“A B”。
- “A且B”为真,意思是A与B都为真,可记为“A B”。
- “A或B”为真,意思是A与B至少一者为真,可记为“A B”。
以下的真值表更清楚地展示以上的语义说明
A
|
A
|
|
|
|
|
|
A
|
B
|
A B
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A
|
B
|
A B
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A
|
B
|
A B
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“存在实数大于零”,或是“对任意实数x和y,x=y 或 x<y 或 x>y”是大家所孰悉的数学叙述。但仔细来说,以上两句代表
“存在x,x是实数且 x> 0”
“对所有x和所有y,若x为实数且y为实数 x=y 或 x<y 或 x>y”
也就是说,“所有/任意”和“有/存在”这两种词汇,都须依托于变数的帮助,才能清楚的表达意义,所以这两种词会被统称为量词。
集合的观念与“属于”这个谓词是密不可分的。某个物体称为“集合”意思是有其他东西属于它。
集合的定义:一般地,我们把研究对象称为元素,一些元素组成的总体称为集合。
集合的特点:
确定性:一个元素要么是集合的元素,要么不是集合的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。
互异性:集合中的元素不重复。
无序性:集合中的元素不考虑顺序。
区间是一类数的集合,在数学中经常使用。
- 设。
- 数集 称为开区间,记作 即。
- 数集 称为闭区间,记作 即。
- 同样,把
- ,
- 称为半开区间。
- 以点为中心的任何区间称为的邻域,记作。邻域一般为有限区间
- 设是任一正数,则区间就是点的一个邻域,称此为点的邻域,记作,
- 即,亦可记作
- 称为此邻域的中心,为邻域的半径。
- 同时,把点的邻域去掉中心后,称为点的去心的邻域。
- ,
- ,
- ,
- ,
- 即区间元素属于全体实数。
在一个变化过程中,固定不变的量叫做常量,变化的量叫做变量。
如对于过程:路程=速度×时间,公式表达为。
在此公式中,如果一辆小车以60km/h匀速直线运动,则速度为常量,因为随着时间的增大,路程也会增大,所以和是变量。
也可以说是的函数。
补充:一次函数解析式为,特别的,当,函数变为,此时,称它是正比例函数。
对于集合中的任何一个元素,在集合中都有唯一的元素与它对应,这样的关系叫从集合到集合的映射或函数。
大多数情况下,映射规则是有序的。
函数表示形为:。
其中是函数值(或在不引起歧义的情况下,简称为函数),是对应法则,是自变量。
注意:有些地方称为因变量,在数学中,这种表述是不严谨的,应引起注意。