微积分学/基础知识

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函数

零、基本逻辑

1. 推理与真假值

推理是种符号组合的游戏，比如说，一般人都会认为“如果这本书不在图书馆，（则）这本书一定是被借走了”，这样的话，若图书馆里没有这本书，那理应有“这本书被借走了”的结论。说的抽象一点，若有“A则B”和“A”，那会得到“B”，这是一条（目前人类公认）的语言推理规则，它通常被称为肯定前件。

可以发现上一段的讨论，是建立在任何一段叙述都有真有假的前提上，换言之，“A则B”并不暗含“A”。为了方便以后的讨论，如果一段叙述为真，我们会说“这段叙述的真值为$\top$”；反之如果一段叙述为假，我们会说“这段叙述的真值为$\bot$”。

2. 逻辑连接词

数学的叙述里总会包含“非/不”、“则”、“且”和“或”这些词汇，这些词汇被统称为逻辑连接词，仔细来说，它们代表

• “非A” 为真，意思是A为假，可记为“$\neg$ A”。
• “A则B”为真，意思是不可能有A为真但B为假的状况，可记为“A $\Rightarrow$ B”。
• “A且B”为真，意思是A与B都为真，可记为“A $\wedge$ B”。
• “A或B”为真，意思是A与B至少一者为真，可记为“A $\vee$ B”。

以下的真值表更清楚地展示以上的语义说明

A $\neg$ A $\top$ $\bot$ $\bot$ $\top$

A B A $\Rightarrow$ B $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\top$

A B A $\wedge$ B $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\bot$

A B A $\vee$ B $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$

3.量词与变数

“存在实数大于零”，或是“对任意实数x和y，x=y 或 x<y 或 x>y”是大家所孰悉的数学叙述。但仔细来说，以上两句代表

“存在x，x是实数且 x> 0”

“对所有x和所有y，若x为实数且y为实数 x=y 或 x<y 或 x>y”

也就是说，“所有/任意”和“有/存在”这两种词汇，都须依托于变数的帮助，才能清楚的表达意义，所以这两种词会被统称为量词。常常将“对所有 x”或“对任意一个 x”之类的表述记作“$\forall \,$x”，而将“存在某个 x”这类表述记作“$\exists \,$x”。于是上述两个数学叙述可以改写如下：

$\exists \,x((x{\text{ is a real number}})\land (x>0)),$

$\forall \,x\,\forall \,y(((x{\text{ is a real number}})\land (y{\text{ is a real number}}))\land ((x=y)\lor (x>y)\lor (x<y))).$

一、集合：

集合的观念与“属于”这个谓词是密不可分的。某个物体称为“集合”意思是有其他东西属于它。

集合的概念：一般地，我们把研究对象称为元素，一些元素组成的总体称为集合。

集合的特点：

确定性：一个元素要么是集合 $A$ 的元素，要么不是集合 $A$ 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

互异性：集合中的元素不重复。

无序性：集合中的元素不考虑顺序。

上述三特点可由策梅洛--弗仑克尔集合论保证，参见蓝链指向中文维基界面作深入介绍。

表示一个集合，主要有两种方式。

• 列举法

完全列举集合的元素：

$A=\{a,\,b,\,c\},$

不完全列举集合的元素：

$A=\{a,\,b,\,c,\,\dots \}.$

• 描述法

对集合 $A$ ，若对任意其中的元 $a$ 均使命题 $p(a)$ 为真，则记该集合形如

$A=\{a\,|\,p(a)\},$

若其中的元首先限制于另一集合 $U$，则记之形如

$A=\{a\in U\,|\,p(a)\},$

上式中采用属于记号“$\in$”，将于后文介绍。

例如对数集 $A=\{1,\,2,\,3,\,4\}$ 和 $B=\{x\,|\,x\geq 3\}$，则可将数集 $C=\{3,\,4\}$ 记作：

$C=\{x\in A\,|\,x\in B\}.$

微积分中常用数集有如下专用记号：

实数集	$\mathbb {R}$
有理数集	$\mathbb {Q}$
整数集	$\mathbb {Z}$
自然数集	$\mathbb {N}$
复数集	$\mathbb {C}$

指定一个集合，等同于指定一系列元素。若一元素 $a$ 属于某集合 $A$，可记作 $a\in A$，反之则记作 $a\notin A$。

集合之间亦有关系，倘给定两集合 $A,\,B$，有任意 $B$ 中的元 $b$ 均亦为 $A$ 中的元，则称 $B$ 是 $A$ 的子集，记作 $B\subseteq A$。

另有定义两集合相等当且仅当任意集合中的任意元均亦为另一集合之元。

倘对 $B\subseteq A$，又有 $B\neq A$，称前者为后者之真子集，记作 $B\subset A$ 或者 $B\subsetneqq A$。

上述记号亦有反向版本，例如：$B\supseteq A$。

此外值得指出，存在不拥有任何元素的集合，称之为空集，记作 $\varnothing$。一般认为空集是任意集合的子集。

二、集合运算：

考虑两集合 $A,\,B$，可定义如下运算。

1. 并集

定义并集作两个集合中至少出现一次的所有元素构成的集合：

$A\cup B=\{x\,|\,x\in A\lor x\in B\},$

式中及下文出现逻辑符号 $\lor ,\,\land ,\,\lnot$，见前述。

2. 交集

定义交集作两个集合中共有的所有元素构成的集合：

$A\cap B=\{x\,|\,x\in A\land x\in B\}.$

3. 差集

定义差集作前一集合中所有那些不在后一集合中的元素构成的集合：

$A\backslash B=\{x\,|\,x\in A\land \lnot (x\in B)\}.$

有时上式中的“前一集合”足够大，使得当下环境的任何讨论都不会超出这一集合，此时则称前一集合为全集，而将上式称作后一集合中的补集：

${\bar {B}}=\{x\in A\,|\,\lnot (x\in B)\}.$

关于上述运算的形象描述，参见中文维基百科页面韦恩图。

三、区间、邻域︰

区间可以是一类实数的集合，在微积分学，尤其是低维微积分学中经常使用。

• 有限区间

设 $a,b\in \mathbb {R}$。

数集$\left\{x|a<x<b\right\}$　称为开区间，记作$\left(a,b\right)$　即$\left(a,b\right)=\left\{x|a<x<b\right\}$。

数集$\left\{x|a\leq x\leq b\right\}$　称为闭区间，记作$\left[a,b\right]$　即$\left[a,b\right]=\left\{x|a\leq x\leq b\right\}$。

同样，把

$(a,b]=\left\{x|a<x\leq b\right\}$，

$[a,b)=\left\{x|a\leq x<b\right\}$

称为半开区间。

• 邻域

以点$a$为中心的任何区间称为$a$的邻域，记作$U(a)$。邻域一般为有限区间

设$\delta$是任一正数，则区间$\left(a-\delta ,a+\delta \right)$就是点$a$的一个邻域，称此为点$a$的$\delta$邻域，记作$U(a,\delta )$，

即$U\left(a,\delta \right)=\left\{a-\delta <x<a+\delta \right\}$，亦可记作$U\left(a,\delta \right)=\left\{x|\left\vert x-a\right\vert <\delta \right\}$

称$a$为此邻域的中心，$\delta$为邻域的半径。

同时，把点$a$的$\delta$邻域去掉中心$a$后，称为点$a$的去心的$\delta$邻域。

• 无限区间：

$\left(a,+\infty \right)=\left\{x|a<x\right\}$，

$[a,+\infty )=\left\{x|a\leq x\right\}$，

$\left(-\infty ,b\right)=\left\{x|x<b\right\}$，

$(-\infty ,b]=\left\{x|x\leq b\right\}$，

$\left(-\infty ,+\infty \right)$即区间元素$x$属于全体实数$R$。

四、常量与变量：

在一个变化过程中，固定不变的量叫做常量，变化的量叫做变量。

如对于过程：路程＝速度×时间，公式表达为$s=vt$。

在此公式中，如果一辆小车以60km/h匀速直线运动，则速度$v$为常量，因为随着时间$t$的增大，路程$s$也会增大，所以$t$和$s$是变量。

也可以说$s$是$t$的函数。

补充：一次函数解析式为$y=kx+b$，特别的，当$b=0$，函数变为$y=kx$，此时，称它是正比例函数。

五、函数：

对于集合$A$中的任何一个元素，在集合$B$中都有唯一的元素与它对应，这样的关系叫从集合$A$到集合$B$的映射或函数。

大多数情况下，映射规则是有序的。

函数表示形为：$y=f(x)$。

其中$y$是函数值（或在不引起歧义的情况下，简称为函数），$f$是对应法则，$x$是自变量。

注意：有些地方称$y$为因变量，在数学中，这种表述是不严谨的，应引起注意。