国中数学/国中数学七年级/3-1 一元一次式

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国中数学七年级
3-1 一元一次式

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3-2 解一元一次方程式　

生活中有许多具有关系的量，如：

一瓶红茶比一瓶水还贵 $15$ 元。
泳馨身上的钱是慧琦的 $3$ 倍。
在篮球比赛中，你的得分与你投进几个两分球、几个三分球和几个罚球有关。
华氏温度等于摄氏温度的 ${\frac {9}{5}}$ 倍多 $32$ 度。
商家赚钱，代表他们的收入比成本还多；商家赔钱，代表他们的收入比成本还少。

为了表示这些关系，通常我们会写成数学式子。在以前国小的时候我们使用 $()$ 、□、甲、乙……等等符号表示，在国中阶段以后，我们习惯上使用 $x$ 、 $y$ 、 $z$ ……等英文字母表示。例如：

一瓶红茶比一瓶水还贵 $15$ 元，若假设一瓶水 $x$ 元，则一瓶红茶( $x+15$ )元。
泳馨身上的钱是慧琦的 $3$ 倍，若假设慧琦身上的钱为 $y$ 元，则泳馨身上的钱有( $y\times 3$ )元。
绮绮在篮球比赛投进 $x$ 颗两分球， $y$ 颗三分球，没有投进罚球，则绮绮得到( $x\times 2+y\times 3$ )分。
摄氏 $x$ 度等于华氏( ${\frac {9}{5}}\times x+32$ )度。
阿慧炸鸡摊今天赚进 $6000$ 元，若阿慧炸鸡摊经营的成本为 $y$ 元，则阿慧炸鸡摊今天的收入为( $y+6000$ )元。

我们在本节特别要针对只有一个未知数的式子进行介绍，并且说明如何化简式子。

式子的简记

因为 $x$ 实在太容易与乘法记号 $\times$ 混淆，所以我们会使用 $\cdot$ 代替 $\times$ ，甚至省略不写，把数字摆在英文字母前面。

 Example： $x\times 8={\color {red}x\cdot 8=8x}$ 。

文字符号乘以1、-1与0

因为任何数乘以 $1$ 都等于自己，所以 ${\color {red}1\times x=x\times 1=x}$ 。
因为任何数乘以 $-1$ 都等于它的相反数，所以 ${\color {red}(-1)\times x=x\times (-1)=-x}$ 。
因为任何数乘以 $0$ 都等于 $0$ ，所以 ${\color {red}0\times x=x\times 0=0}$ 。

文字符号与分数乘法的简记

文字符号与分数乘法的简记如同上述一样，不过也可以将文字符号直接摆在分子数字后方。

 Example： $x\times {\frac {3}{4}}=x\cdot {\frac {3}{4}}={\frac {3}{4}}x={\color {red}{\frac {3x}{4}}}$ 。

除法算式的简记

因为除以一个数等于乘以一个数的倒数，所以可以先将除法算式改成乘法算式再进行简记。

 Example： $x\div {\frac {3}{4}}=x{\color {red}\times {\frac {4}{3}}}={\frac {4}{3}}x={\frac {4x}{3}}$ 。

必须注意的事

数字与数字之间的乘号不可以省略，只能用 $\cdot$ $\cdot$ 代替。
- Example： $3\times 5=3\cdot 5$ ，但不能写作 $35$ 。
加号( ${\color {red}+}$ )与减号( ${\color {red}-}$ )不可以省略。
- Example： $x+5$ 不能省略写作 $x5$ ； $2x-7$ 不能省略写作 $2x7$ 。
未知数 $x$ 的倒数为 ${\frac {1}{x}}$ ，但前提是 ${\color {red}x\neq 0}$ 。

四则运算的简记

加号( $+$ )与减号( $-$ )不能省略。
乘号可以用 $\cdot$ 表示，或直接省略。
除号可以改写成乘号再省略。
也是要满足基本四则运算规则。

例题

1

简记下列各式：

$(1)15-x\times {\frac {1}{4}}$
$(2)(2y+7)\div {\frac {4}{9}}$

解

(1)15-x\times {\frac {1}{4}}=15-{\frac {1}{4}}x

(或

15-{\frac {x}{4}}

)

$(2)(2y+7)\div {\frac {4}{9}}=(2y+7)\times {\frac {9}{4}}={\frac {9}{4}}(2y+7)$ (或 ${\frac {9(2y+7)}{4}}$ )

习题 $1$
简记下列各式。
$(1)12+x\times {\frac {3}{7}}$ ^{[解答 1]}
$(2)(5x-7)\div 3$ ^{[解答 2]}

式子的值

一瓶红茶比一瓶水还贵 $15$ $15$ 元，若假设一瓶水 $x$ $x$ 元，则一瓶红茶( $x+15$ $x+15$ )元。
1. 如果一瓶水 $10$ 元(也就是说 $x=10$ )，则一瓶红茶 $10+15=25$ 元。
2. 如果一瓶水 $15$ 元(也就是说 $x=15$ )，则一瓶红茶 $15+15=30$ 元。

像这样如果知道未知数 $x$ 、 $y$ 的值之后，我们就可以代入式子中，知道式子代表的值是多少。

例题

2

若

x=5

，则

3x

、

6x+3

、

{\frac {2x+8}{6}}

所代表的值分别是多少？

解

(1)3x=3\times 5=15

小提醒
在算式子的值时，若看到数字后面直接出现文字符号( $x$ )，记得是省略了乘号( $\times$ )喔！

$(2)6x+3=6\times 5+3=30+3=33$
$(3){\frac {2x+8}{6}}={\frac {2\times 5+8}{6}}={\frac {18}{6}}=3$

例题

3

式子

{\frac {x+4}{3}}-5

在

x=0

、

x=3

与

x=-4

所代表的值分别是多少？

解

(1)x=0

时，

{\frac {x+4}{3}}-5={\frac {0+4}{3}}-5={\frac {4}{3}}-5=-{\frac {11}{3}}

$(2)x=3$ 时， ${\frac {x+4}{3}}-5={\frac {3+4}{3}}-5={\frac {7}{3}}-5=-{\frac {8}{3}}$
$(3)x=-4$ 时， ${\frac {x+4}{3}}-5={\frac {-4+4}{3}}-5={\frac {0}{3}}-5=-5$

习题 $2$
请完成下列表格。^{[解答 3]}

式子	$x=4$	$x=-9$
$3x$		$-27$
${\frac {5}{3}}x+3$
${\frac {2x+1}{4}}$	${\frac {9}{4}}$

式子的化简

像 $x+15$ 、 $2y-3$ 、 ${\frac {x+4}{3}}-5$ 这样只有一个未知数(一元)而且最高次方为一次的式子，我们称作一元一次式。

一元一次式未知数的位置

一个一元一次式的未知数^{[注 1]}

不可以在分母，但是可以放在分子。如： ${\frac {3}{x}}$ 不是一元一次式，但 ${\frac {x}{3}}$ 是一元一次式。
不可以有一个以上不同的未知数。如： $2x+3y$ 不是一元一次式。
不可以放在绝对值里。如： $|x-2|$ 不是一元一次式。
不可以放在次方的位置。如： $3^{x}$ 不是一元一次式。
未知数不可以高于一次方。如： $x^{3}+3x$ 不是一元一次式。

小测

关于一元一次式的名词

以下是一元一次式的相关名词^{[注 2]}：

名称	说明	以 $3x-7$ 为例子
项	用加号连接的各部分	因为 $3x-7=3x+(-7)$ ，所以 $3x$ 与 $-7$ 都称作 $3x-7$ 的项。
一次项(或 $x$ 项)^{[注 3]}	有出现一次未知数的项	因为 $3x$ 有出现未知数 $x$ ，所以 $3x-7$ 的一次项为 $3x$ 。
常数项	没有出现任何未知数的项	因为 $-7$ 没有出现未知数，所以 $3x-7$ 的常数项为 $-7$ 。
系数	未知数前面的数字或是常数项	在 $3x$ 中，未知数前面的数字为 $3$ ，所以称 $3$ 为 $3x-7$ 的一次项系数(或 $x$ 项系数^{[注 4]})。
单项式	只有单一一个项的式子	$3x$ 只有一项，所以为单项式。
同类项	具有相同的未知数，而且次方数也相同的两个项	$3x$ 与 $3y$ 的未知数不相同，所以它们不是同类项； $3x$ 与 $-{\frac {13x}{17}}$ 的未知数相同，次数也都是 $1$ ，所以它们是同类项。

小测

式子的基本化简

式子的加减

式子的加减运用分配律。
分配律： $ax+bx=(a+b)x$ ； $ax-bx=(a-b)x$

Example： $-3x+12x=[(-3)+12]x=9x$ ； ${\frac {3}{7}}y-{\frac {5}{21}}y=({\frac {3}{7}}-{\frac {5}{21}})y=({\frac {9}{21}}-{\frac {5}{21}})y={\frac {4}{21}}y$ 。

【注解】只有同类项才能做加减的合并。

习题 $3$
化简下列各式：
$(1)13y+(-24y)$ ^{[解答 4]}
$(2)(-{\frac {1}{3}}x)-{\frac {1}{4}}x$ ^{[解答 5]}
$(3)2.9b-3.2b$ ^{[解答 6]}

式子的乘除

式子的乘除运用结合律。
结合律： $a(bx)=(ab)x$ ； $(ax)\times b=ab\times x=(ab)x$

Example： $(5x)\cdot 3=(5\cdot 3)x=15x$

【注解】化简除法式子时，要多运用除以一个数，等于乘以一个数的倒数。

Example： $(5x)\div 3=(5x)\times {\frac {1}{3}}=(5\cdot {\frac {1}{3}})x={\frac {5}{3}}x$

习题 $4$
化简下列各式：
$(1)(3y)\times (-8)$ ^{[解答 7]}
$(2)(-{\frac {1}{3}}x)\div {\frac {2}{7}}$ ^{[解答 8]}
$(3)(-{\frac {9}{2}})\times (-{\frac {4}{3}}a)$ ^{[解答 9]}

去括号规则

$-(ax+b)=-ax-b$
$-(ax-b)=-ax+b$
$-(-ax+b)=ax-b$
$-(-ax-b)=ax+b$

习题 $5$
从参考选项中找出以下各式化简之后的式子，并将代号填入框框中。^{[解答 10]}

参考选项 $(A)5x-11$ $(B)5x+11$ $(C)-5x+11$ $(D)-5x-11$

题号	题目	答案
$(1)$	$-(5x+11)$
$(2)$	$-(5x-11)$
$(3)$	$-(-5x+11)$
$(4)$	$-(-5x-11)$

式子与分配律

$a(bx+c)=(ab)x+(ac)$ $a(bx+c)=(ab)x+(ac)$
- Example： $5(-3x+1)=[5\times (-3)]x+(5\times 1)=-15x+5$
$a(bx-c)=(ab)x-(ac)$ $a(bx-c)=(ab)x-(ac)$
- Example： $-3(-4x-2)=[-3\times (-4)]x-[(-3)\times 2]=12x-(-6)=12x+6$

习题 $6$
化简下列各式：
$(1)3(y-8)$ ^{[解答 11]}
$(2)-{\frac {1}{4}}({\frac {8}{7}}x+{\frac {12}{5}})$ ^{[解答 12]}
$(3){\frac {2}{3}}(3a+5)$ ^{[解答 13]}

式子的进阶化简

式子四则运算

利用去括号规则与加法结合律将同类项合并。

例题

4

化简下列各式：

$(1)$ $(3x+7)+(5x-3)$
$(2)$ $(5x-3)-(11x+2)$

解

(1)

(3x+7)+(5x-3)

$=3x+7+5x-3$ (去括号规则)
$=(3x+5x)+(7-3)$ (合并同类项)
$=8x+4$
$(2)$ $(5x-3)-(11x+2)$
$=5x-3-11x-2$ (去括号规则)
$=(5x-11x)+(-3-2)$ (合并同类项)
$=-6x-5$

习题 $7$
化简下列各式：
$(1)$ $(-9x+13)+(3x+7)$ ^{[解答 14]}
$(2)$ $(8x+12)-(-x+9)$ ^{[解答 15]}

当前面乘以一个常数时，应该先乘进去式子中，再进行化简。

例题

5

化简下列各式：

$(1)$ $2(x-5)+3(2x+1)$
$(2)$ $(5x+3)-5(x+7)$

解

(1)

2(x-5)+3(2x+1)

$=2x-10+6x+3$ (去括号规则)
$=(2x+6x)+(-10+3)$ (合并同类项)
$=8x-7$
$(2)$ $(5x+3)-5(x+7)$
$=(5x+3)-(5x+35)$
$=5x+3-5x-35$ (去括号规则)
$=(5x-5x)+(3-35)$ (合并同类项)
$=-32$

习题 $8$
化简下列各式：
$(1)$ $2(-x+4)+3(2x-3)$ ^{[解答 16]}
$(2)$ $5(2x+4)-6(-3x+2)$ ^{[解答 17]}

多重括号型的式子

由小括号 $\rightarrow$ 中括号 $\rightarrow$ 大括号依序化简。

例题

6

化简下列各式：

$(1)$ $2(2x+7)-3[(x+7)+(3x-1)]$
$(2)$ $5x-\{2[3(4x+5)-7]+2x\}$

解

(1)

2(2x+7)-3[(x+7)+(3x-1)]

$=(4x+14)-3[4x+6]$
$=(4x+14)-12x-18$
$=(4x-12x)+(14-18)$
$=-8x-4$
$(2)$ $5x-\{2[3(4x+5)-7]+2x\}$
$=5x-\{2[12x+15-7]+2x\}$
$=5x-\{2[12x+8]+2x\}$
$=5x-\{24x+16+2x\}$
$=5x-\{26x+16\}$
$=5x-26x-16$
$=-21x-16$

习题 $9$
化简下列各式：
$(1)$ $(5x-13)+2[3(-2x+7)+2(x+4)]$ ^{[解答 18]}
$(2)$ $(7x+1)+\{5[(3-x)-(-3x+2)]+(2x+1)\}$ ^{[解答 19]}

分数型的式子

先将式子用括号括住，分母通分，将分子利用上述方式进行化简。

例题

7

化简下列各式：

$(1)$ ${\frac {4x+1}{3}}+{\frac {3x-5}{2}}$
$(2)$ ${\frac {5x-2}{4}}-{\frac {2x+1}{6}}$

解

(1){\frac {4x+1}{3}}+{\frac {3x-5}{2}}

$={\frac {(4x+1)}{3}}+{\frac {(3x-5)}{2}}$
$={\frac {2(4x+1)}{6}}+{\frac {3(3x-5)}{6}}$
$={\frac {2(4x+1)+3(3x-5)}{6}}$
$={\frac {8x+2+9x-15}{6}}$
$={\frac {17x-13}{6}}$
$(2)$ ${\frac {5x-2}{4}}-{\frac {2x+1}{6}}$
$={\frac {(5x-2)}{4}}-{\frac {(2x+1)}{6}}$
$={\frac {3(5x-2)}{12}}-{\frac {2(2x+1)}{12}}$
$={\frac {3(5x-2)-2(2x+1)}{12}}$
$={\frac {15x-6-4x-2}{12}}$
$={\frac {11x-8}{12}}$

习题 $10$
化简下列各式：
$(1)$ ${\frac {4x+1}{5}}+{\frac {x-2}{3}}$ ^{[解答 20]}
$(2)$ ${\frac {2x-1}{3}}-{\frac {-3x+5}{9}}$ ^{[解答 21]}

课外连结

注解

↑ 未知数也不可以放在根号里。如： ${\sqrt {x+1}}$ 。
↑ 这些名称也适用于多项式。
↑ 如果是以未知数 $y$ 为主，我们就称作 $y$ 项；以英文字母“？”为主，我们就称作“？项”，但基本上都可以称作一次项。
↑ 如果是以未知数 $y$ 为主，我们就称作 $y$ 项系数；以英文字母“？”为主，我们就称作“？项系数”，但基本上都可以称作一次项系数。

习题解答

↑ 习题 $1.(1)12+{\frac {3}{7}}x$ (或 $12+{\frac {3x}{7}}$ )
↑ 习题 $1.(2){\frac {1}{3}}(5x-7)$ (或 ${\frac {5x-7}{3}}$ )

↑ 习题

2.

式子	$x=4$	$x={\frac {3}{5}}$	$x=-9$
$3x$	${\color {red}12}$	${\color {red}{\frac {9}{5}}}$	$-27$
${\frac {5}{3}}x+3$	${\color {red}{\frac {29}{3}}}$	${\color {red}4}$	${\color {red}-12}$
${\frac {2x+1}{4}}$	${\frac {9}{4}}$	${\color {red}{\frac {11}{20}}}$	${\color {red}-{\frac {17}{4}}}$

↑ 习题 $3.(1)-11y$
↑ 习题 $3.(2)-{\frac {7}{12}}x$
↑ 习题 $3.(3)-0.3b$
↑ 习题 $4.(1)-24y$
↑ 习题 $4.(2)-{\frac {7}{6}}x$
↑ 习题 $4.(3)6a$

↑ 习题

5.

题号	题目	答案
$(1)$	$-(5x+11)$	${\color {red}(D)}$
$(2)$	$-(5x-11)$	${\color {red}(C)}$
$(3)$	$-(-5x+11)$	${\color {red}(A)}$
$(4)$	$-(-5x-11)$	${\color {red}(B)}$

↑ 习题 $6.(1)3y-24$
↑ 习题 $6.(2)-{\frac {2}{7}}x-{\frac {3}{5}}$
↑ 习题 $6.(3)2a+{\frac {10}{3}}$
↑ 习题 $7.(1)-6x+20$
↑ 习题 $7.(2)9x+3$
↑ 习题 $8.(1)4x-1$
↑ 习题 $8.(2)28x+8$
↑ 习题 $9.(1)-3x+45$
↑ 习题 $9.(2)19x+7$
↑ 习题 $10.(1){\frac {17x-7}{15}}$
↑ 习题 $10.(2){\frac {9x-8}{9}}$

[4] 未知数也不可以放在根号里。如： ${\sqrt {x+1}}$ 。

[5] 这些名称也适用于多项式。

[6] 如果是以未知数 $y$ 为主，我们就称作 $y$ 项；以英文字母“？”为主，我们就称作“？项”，但基本上都可以称作一次项。

[7] 如果是以未知数 $y$ 为主，我们就称作 $y$ 项系数；以英文字母“？”为主，我们就称作“？项系数”，但基本上都可以称作一次项系数。

[1] 习题 $1.(1)12+{\frac {3}{7}}x$ (或 $12+{\frac {3x}{7}}$ )

[2] 习题 $1.(2){\frac {1}{3}}(5x-7)$ (或 ${\frac {5x-7}{3}}$ )

[3] 习题 $2.$

式子 $x=4$ $x={\frac {3}{5}}$ $x=-9$

$3x$ ${\color {red}12}$ ${\color {red}{\frac {9}{5}}}$ $-27$

${\frac {5}{3}}x+3$ ${\color {red}{\frac {29}{3}}}$ ${\color {red}4}$ ${\color {red}-12}$

${\frac {2x+1}{4}}$ ${\frac {9}{4}}$ ${\color {red}{\frac {11}{20}}}$ ${\color {red}-{\frac {17}{4}}}$

[8] 习题 $3.(1)-11y$

[9] 习题 $3.(2)-{\frac {7}{12}}x$

[10] 习题 $3.(3)-0.3b$

[11] 习题 $4.(1)-24y$

[12] 习题 $4.(2)-{\frac {7}{6}}x$

[13] 习题 $4.(3)6a$

[14] 习题 $5.$

题号题目答案

$(1)$ $-(5x+11)$ ${\color {red}(D)}$

$(2)$ $-(5x-11)$ ${\color {red}(C)}$

$(3)$ $-(-5x+11)$ ${\color {red}(A)}$

$(4)$ $-(-5x-11)$ ${\color {red}(B)}$

[15] 习题 $6.(1)3y-24$

[16] 习题 $6.(2)-{\frac {2}{7}}x-{\frac {3}{5}}$

[17] 习题 $6.(3)2a+{\frac {10}{3}}$

[18] 习题 $7.(1)-6x+20$

[19] 习题 $7.(2)9x+3$

[20] 习题 $8.(1)4x-1$

[21] 习题 $8.(2)28x+8$

[22] 习题 $9.(1)-3x+45$

[23] 习题 $9.(2)19x+7$

[24] 习题 $10.(1){\frac {17x-7}{15}}$

[25] 习题 $10.(2){\frac {9x-8}{9}}$

[解答 1]

[解答 2]

[解答 3]

[注 1]

[注 2]

[注 3]

[注 4]

[解答 4]

[解答 5]

[解答 6]

[解答 7]

[解答 8]

[解答 9]

[解答 10]

[解答 11]

[解答 12]

[解答 13]

[解答 14]

[解答 15]

[解答 16]

[解答 17]

[解答 18]

[解答 19]

[解答 20]

[解答 21]

	$5k$
	$5$
	${\frac {5}{3}}k$
	${\frac {5}{3}}$

	$5$
	$-6$
	$6y$
	$-6y$

	$7x$
	$-0.3y$
	${\frac {y}{5}}$
	${\frac {3}{y+1}}$
	$y+7$

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

	${\frac {3x+1}{5}}$
	${\frac {5}{3x+1}}$
	${\frac {5x}{3x+1}}$

	$\|3x+1\|$
	$\|3x\|+1$
	$\|3\|x+1$

	$2x^{2}+3$
	$2x+3^{2}$
	$(2x+3)^{2}$