国中数学/国中数学七年级/3-1 一元一次式

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国中数学七年级
3-1 一元一次式

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3-2 解一元一次方程式　

生活中有许多具有关系的量，如：

一瓶红茶比一瓶水还贵 $15$ 元。
泳馨身上的钱是慧琦的 $3$ 倍。
在篮球比赛中，你的得分与你投进几个两分球、几个三分球和几个罚球有关。
华氏温度等于摄氏温度的 $\frac{9}{5}$ 倍多 $32$ 度。
商家赚钱，代表他们的收入比成本还多；商家赔钱，代表他们的收入比成本还少。

为了表示这些关系，通常我们会写成数学式子。在以前国小的时候我们使用 $()$ 、□、甲、乙……等等符号表示，在国中阶段以后，我们习惯上使用 $x$ 、 $y$ 、 $z$ ……等英文字母表示。例如：

一瓶红茶比一瓶水还贵 $15$ 元，若假设一瓶水 $x$ 元，则一瓶红茶( $x + 15$ )元。
泳馨身上的钱是慧琦的 $3$ 倍，若假设慧琦身上的钱为 $y$ 元，则泳馨身上的钱有( $y \times 3$ )元。
绮绮在篮球比赛投进 $x$ 颗两分球， $y$ 颗三分球，没有投进罚球，则绮绮得到( $x \times 2 + y \times 3$ )分。
摄氏 $x$ 度等于华氏( $\frac{9}{5} \times x + 32$ )度。
阿慧炸鸡摊今天赚进 $6000$ 元，若阿慧炸鸡摊经营的成本为 $y$ 元，则阿慧炸鸡摊今天的收入为( $y + 6000$ )元。

我们在本节特别要针对只有一个未知数的式子进行介绍，并且说明如何化简式子。

式子的简记

因为 $x$ 实在太容易与乘法记号 $\times$ 混淆，所以我们会使用 $\cdot$ 代替 $\times$ ，甚至省略不写，把数字摆在英文字母前面。

 Example： $x \times 8 = x \cdot 8 = 8 x$ 。

文字符号乘以1、-1与0

因为任何数乘以 $1$ 都等于自己，所以 $1 \times x = x \times 1 = x$ 。
因为任何数乘以 $- 1$ 都等于它的相反数，所以 $(- 1) \times x = x \times (- 1) = - x$ 。
因为任何数乘以 $0$ 都等于 $0$ ，所以 $0 \times x = x \times 0 = 0$ 。

文字符号与分数乘法的简记

文字符号与分数乘法的简记如同上述一样，不过也可以将文字符号直接摆在分子数字后方。

 Example： $x \times \frac{3}{4} = x \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} x = \frac{3 x}{4}$ 。

除法算式的简记

因为除以一个数等于乘以一个数的倒数，所以可以先将除法算式改成乘法算式再进行简记。

 Example： $x \div \frac{3}{4} = x \times \frac{4}{3} = \frac{4}{3} x = \frac{4 x}{3}$ 。

必须注意的事

数字与数字之间的乘号不可以省略，只能用⋅代替。
- Example： $3 \times 5 = 3 \cdot 5$ ，但不能写作 $35$ 。
加号( $+$ )与减号( $-$ )不可以省略。
- Example： $x + 5$ 不能省略写作 $x 5$ ； $2 x - 7$ 不能省略写作 $2 x 7$ 。
未知数 $x$ 的倒数为 $\frac{1}{x}$ ，但前提是 $x \neq 0$ 。

四则运算的简记

加号( $+$ )与减号( $-$ )不能省略。
乘号可以用 $\cdot$ 表示，或直接省略。
除号可以改写成乘号再省略。
也是要满足基本四则运算规则。

例题

1

简记下列各式：

$(1) 15 - x \times \frac{1}{4}$
$(2) (2 y + 7) \div \frac{4}{9}$

解

(1) 15 - x \times \frac{1}{4} = 15 - \frac{1}{4} x

(或

15 - \frac{x}{4}

)

$(2) (2 y + 7) \div \frac{4}{9} = (2 y + 7) \times \frac{9}{4} = \frac{9}{4} (2 y + 7)$ (或 $\frac{9 (2 y + 7)}{4}$ )

习题 $1$
简记下列各式。
$(1) 12 + x \times \frac{3}{7}$ ^{[解答 1]}
$(2) (5 x - 7) \div 3$ ^{[解答 2]}

式子的值

一瓶红茶比一瓶水还贵15元，若假设一瓶水x元，则一瓶红茶(x+15)元。
1. 如果一瓶水 $10$ 元(也就是说 $x = 10$ )，则一瓶红茶 $10 + 15 = 25$ 元。
2. 如果一瓶水 $15$ 元(也就是说 $x = 15$ )，则一瓶红茶 $15 + 15 = 30$ 元。

像这样如果知道未知数 $x$ 、 $y$ 的值之后，我们就可以代入式子中，知道式子代表的值是多少。

例题

2

若

x = 5

，则

3 x

、

6 x + 3

、

\frac{2 x + 8}{6}

所代表的值分别是多少？

解

(1) 3 x = 3 \times 5 = 15

小提醒
在算式子的值时，若看到数字后面直接出现文字符号( $x$ )，记得是省略了乘号( $\times$ )喔！

$(2) 6 x + 3 = 6 \times 5 + 3 = 30 + 3 = 33$
$(3) \frac{2 x + 8}{6} = \frac{2 \times 5 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

例题

3

式子

\frac{x + 4}{3} - 5

在

x = 0

、

x = 3

与

x = - 4

所代表的值分别是多少？

解

(1) x = 0

时，

\frac{x + 4}{3} - 5 = \frac{0 + 4}{3} - 5 = \frac{4}{3} - 5 = - \frac{11}{3}

$(2) x = 3$ 时， $\frac{x + 4}{3} - 5 = \frac{3 + 4}{3} - 5 = \frac{7}{3} - 5 = - \frac{8}{3}$
$(3) x = - 4$ 时， $\frac{x + 4}{3} - 5 = \frac{- 4 + 4}{3} - 5 = \frac{0}{3} - 5 = - 5$

习题 $2$
请完成下列表格。^{[解答 3]}

式子	$x = 4$	$x = - 9$
$3 x$		$- 27$
$\frac{5}{3} x + 3$
$\frac{2 x + 1}{4}$	$\frac{9}{4}$

式子的化简

像 $x + 15$ 、 $2 y - 3$ 、 $\frac{x + 4}{3} - 5$ 这样只有一个未知数(一元)而且最高次方为一次的式子，我们称作一元一次式。

一元一次式未知数的位置

一个一元一次式的未知数^{[注 1]}

不可以在分母，但是可以放在分子。如： $\frac{3}{x}$ 不是一元一次式，但 $\frac{x}{3}$ 是一元一次式。
不可以有一个以上不同的未知数。如： $2 x + 3 y$ 不是一元一次式。
不可以放在绝对值里。如： $| x - 2 |$ 不是一元一次式。
不可以放在次方的位置。如： $3^{x}$ 不是一元一次式。
未知数不可以高于一次方。如： $x^{3} + 3 x$ 不是一元一次式。

小测

关于一元一次式的名词

以下是一元一次式的相关名词^{[注 2]}：

名称	说明	以 $3 x - 7$ 为例子
项	用加号连接的各部分	因为 $3 x - 7 = 3 x + (- 7)$ ，所以 $3 x$ 与 $- 7$ 都称作 $3 x - 7$ 的项。
一次项(或 $x$ 项)^{[注 3]}	有出现一次未知数的项	因为 $3 x$ 有出现未知数 $x$ ，所以 $3 x - 7$ 的一次项为 $3 x$ 。
常数项	没有出现任何未知数的项	因为 $- 7$ 没有出现未知数，所以 $3 x - 7$ 的常数项为 $- 7$ 。
系数	未知数前面的数字或是常数项	在 $3 x$ 中，未知数前面的数字为 $3$ ，所以称 $3$ 为 $3 x - 7$ 的一次项系数(或 $x$ 项系数^{[注 4]})。
单项式	只有单一一个项的式子	$3 x$ 只有一项，所以为单项式。
同类项	具有相同的未知数，而且次方数也相同的两个项	$3 x$ 与 $3 y$ 的未知数不相同，所以它们不是同类项； $3 x$ 与 $- \frac{13 x}{17}$ 的未知数相同，次数也都是 $1$ ，所以它们是同类项。

小测

式子的基本化简

式子的加减

式子的加减运用分配律。
分配律： $a x + b x = (a + b) x$ ； $a x - b x = (a - b) x$

Example： $- 3 x + 12 x = [(- 3) + 12] x = 9 x$ ； $\frac{3}{7} y - \frac{5}{21} y = (\frac{3}{7} - \frac{5}{21}) y = (\frac{9}{21} - \frac{5}{21}) y = \frac{4}{21} y$ 。

【注解】只有同类项才能做加减的合并。

习题 $3$
化简下列各式：
$(1) 13 y + (- 24 y)$ ^{[解答 4]}
$(2) (- \frac{1}{3} x) - \frac{1}{4} x$ ^{[解答 5]}
$(3) 2.9 b - 3.2 b$ ^{[解答 6]}

式子的乘除

式子的乘除运用结合律。
结合律： $a (b x) = (a b) x$ ； $(a x) \times b = a b \times x = (a b) x$

Example： $(5 x) \cdot 3 = (5 \cdot 3) x = 15 x$

【注解】化简除法式子时，要多运用除以一个数，等于乘以一个数的倒数。

Example： $(5 x) \div 3 = (5 x) \times \frac{1}{3} = (5 \cdot \frac{1}{3}) x = \frac{5}{3} x$

习题 $4$
化简下列各式：
$(1) (3 y) \times (- 8)$ ^{[解答 7]}
$(2) (- \frac{1}{3} x) \div \frac{2}{7}$ ^{[解答 8]}
$(3) (- \frac{9}{2}) \times (- \frac{4}{3} a)$ ^{[解答 9]}

去括号规则

$- (a x + b) = - a x - b$
$- (a x - b) = - a x + b$
$- (- a x + b) = a x - b$
$- (- a x - b) = a x + b$

习题 $5$
从参考选项中找出以下各式化简之后的式子，并将代号填入框框中。^{[解答 10]}

参考选项 $(A) 5 x - 11$ $(B) 5 x + 11$ $(C) - 5 x + 11$ $(D) - 5 x - 11$

题号	题目	答案
$(1)$	$- (5 x + 11)$
$(2)$	$- (5 x - 11)$
$(3)$	$- (- 5 x + 11)$
$(4)$	$- (- 5 x - 11)$

式子与分配律

a(bx+c)=(ab)x+(ac)
- Example： $5 (- 3 x + 1) = [5 \times (- 3)] x + (5 \times 1) = - 15 x + 5$
a(bx−c)=(ab)x−(ac)
- Example： $- 3 (- 4 x - 2) = [- 3 \times (- 4)] x - [(- 3) \times 2] = 12 x - (- 6) = 12 x + 6$

习题 $6$
化简下列各式：
$(1) 3 (y - 8)$ ^{[解答 11]}
$(2) - \frac{1}{4} (\frac{8}{7} x + \frac{12}{5})$ ^{[解答 12]}
$(3) \frac{2}{3} (3 a + 5)$ ^{[解答 13]}

式子的进阶化简

式子四则运算

利用去括号规则与加法结合律将同类项合并。

例题

4

化简下列各式：

$(1)$ $(3 x + 7) + (5 x - 3)$
$(2)$ $(5 x - 3) - (11 x + 2)$

解

(1)

(3 x + 7) + (5 x - 3)

$= 3 x + 7 + 5 x - 3$ (去括号规则)
$= (3 x + 5 x) + (7 - 3)$ (合并同类项)
$= 8 x + 4$
$(2)$ $(5 x - 3) - (11 x + 2)$
$= 5 x - 3 - 11 x - 2$ (去括号规则)
$= (5 x - 11 x) + (- 3 - 2)$ (合并同类项)
$= - 6 x - 5$

习题 $7$
化简下列各式：
$(1)$ $(- 9 x + 13) + (3 x + 7)$ ^{[解答 14]}
$(2)$ $(8 x + 12) - (- x + 9)$ ^{[解答 15]}

当前面乘以一个常数时，应该先乘进去式子中，再进行化简。

例题

5

化简下列各式：

$(1)$ $2 (x - 5) + 3 (2 x + 1)$
$(2)$ $(5 x + 3) - 5 (x + 7)$

解

(1)

2 (x - 5) + 3 (2 x + 1)

$= 2 x - 10 + 6 x + 3$ (去括号规则)
$= (2 x + 6 x) + (- 10 + 3)$ (合并同类项)
$= 8 x - 7$
$(2)$ $(5 x + 3) - 5 (x + 7)$
$= (5 x + 3) - (5 x + 35)$
$= 5 x + 3 - 5 x - 35$ (去括号规则)
$= (5 x - 5 x) + (3 - 35)$ (合并同类项)
$= - 32$

习题 $8$
化简下列各式：
$(1)$ $2 (- x + 4) + 3 (2 x - 3)$ ^{[解答 16]}
$(2)$ $5 (2 x + 4) - 6 (- 3 x + 2)$ ^{[解答 17]}

多重括号型的式子

由小括号 $\to$ 中括号 $\to$ 大括号依序化简。

例题

6

化简下列各式：

$(1)$ $2 (2 x + 7) - 3 [(x + 7) + (3 x - 1)]$
$(2)$ $5 x - {2 [3 (4 x + 5) - 7] + 2 x}$

解

(1)

2 (2 x + 7) - 3 [(x + 7) + (3 x - 1)]

$= (4 x + 14) - 3 [4 x + 6]$
$= (4 x + 14) - 12 x - 18$
$= (4 x - 12 x) + (14 - 18)$
$= - 8 x - 4$
$(2)$ $5 x - {2 [3 (4 x + 5) - 7] + 2 x}$
$= 5 x - {2 [12 x + 15 - 7] + 2 x}$
$= 5 x - {2 [12 x + 8] + 2 x}$
$= 5 x - {24 x + 16 + 2 x}$
$= 5 x - {26 x + 16}$
$= 5 x - 26 x - 16$
$= - 21 x - 16$

习题 $9$
化简下列各式：
$(1)$ $(5 x - 13) + 2 [3 (- 2 x + 7) + 2 (x + 4)]$ ^{[解答 18]}
$(2)$ $(7 x + 1) + {5 [(3 - x) - (- 3 x + 2)] + (2 x + 1)}$ ^{[解答 19]}

分数型的式子

先将式子用括号括住，分母通分，将分子利用上述方式进行化简。

例题

7

化简下列各式：

$(1)$ $\frac{4 x + 1}{3} + \frac{3 x - 5}{2}$
$(2)$ $\frac{5 x - 2}{4} - \frac{2 x + 1}{6}$

解

(1) \frac{4 x + 1}{3} + \frac{3 x - 5}{2}

$= \frac{(4 x + 1)}{3} + \frac{(3 x - 5)}{2}$
$= \frac{2 (4 x + 1)}{6} + \frac{3 (3 x - 5)}{6}$
$= \frac{2 (4 x + 1) + 3 (3 x - 5)}{6}$
$= \frac{8 x + 2 + 9 x - 15}{6}$
$= \frac{17 x - 13}{6}$
$(2)$ $\frac{5 x - 2}{4} - \frac{2 x + 1}{6}$
$= \frac{(5 x - 2)}{4} - \frac{(2 x + 1)}{6}$
$= \frac{3 (5 x - 2)}{12} - \frac{2 (2 x + 1)}{12}$
$= \frac{3 (5 x - 2) - 2 (2 x + 1)}{12}$
$= \frac{15 x - 6 - 4 x - 2}{12}$
$= \frac{11 x - 8}{12}$

习题 $10$
化简下列各式：
$(1)$ $\frac{4 x + 1}{5} + \frac{x - 2}{3}$ ^{[解答 20]}
$(2)$ $\frac{2 x - 1}{3} - \frac{- 3 x + 5}{9}$ ^{[解答 21]}

课外连结

注解

↑ 未知数也不可以放在根号里。如： $\sqrt{x + 1}$ 。
↑ 这些名称也适用于多项式。
↑ 如果是以未知数 $y$ 为主，我们就称作 $y$ 项；以英文字母“？”为主，我们就称作“？项”，但基本上都可以称作一次项。
↑ 如果是以未知数 $y$ 为主，我们就称作 $y$ 项系数；以英文字母“？”为主，我们就称作“？项系数”，但基本上都可以称作一次项系数。

习题解答

↑ 习题 $1. (1) 12 + \frac{3}{7} x$ (或 $12 + \frac{3 x}{7}$ )
↑ 习题 $1. (2) \frac{1}{3} (5 x - 7)$ (或 $\frac{5 x - 7}{3}$ )
↑ 习题 $2.$

式子 $x = 4$ $x = \frac{3}{5}$ $x = - 9$

$3 x$ $12$ $\frac{9}{5}$ $- 27$

$\frac{5}{3} x + 3$ $\frac{29}{3}$ $4$ $- 12$

$\frac{2 x + 1}{4}$ $\frac{9}{4}$ $\frac{11}{20}$ $- \frac{17}{4}$
↑ 习题 $3. (1) - 11 y$
↑ 习题 $3. (2) - \frac{7}{12} x$
↑ 习题 $3. (3) - 0.3 b$
↑ 习题 $4. (1) - 24 y$
↑ 习题 $4. (2) - \frac{7}{6} x$
↑ 习题 $4. (3) 6 a$
↑ 习题 $5.$

题号题目答案

$(1)$ $- (5 x + 11)$ $(D)$

$(2)$ $- (5 x - 11)$ $(C)$

$(3)$ $- (- 5 x + 11)$ $(A)$

$(4)$ $- (- 5 x - 11)$ $(B)$
↑ 习题 $6. (1) 3 y - 24$
↑ 习题 $6. (2) - \frac{2}{7} x - \frac{3}{5}$
↑ 习题 $6. (3) 2 a + \frac{10}{3}$
↑ 习题 $7. (1) - 6 x + 20$
↑ 习题 $7. (2) 9 x + 3$
↑ 习题 $8. (1) 4 x - 1$
↑ 习题 $8. (2) 28 x + 8$
↑ 习题 $9. (1) - 3 x + 45$
↑ 习题 $9. (2) 19 x + 7$
↑ 习题 $10. (1) \frac{17 x - 7}{15}$
↑ 习题 $10. (2) \frac{9 x - 8}{9}$

[4] 未知数也不可以放在根号里。如： $\sqrt{x + 1}$ 。

[5] 这些名称也适用于多项式。

[6] 如果是以未知数 $y$ 为主，我们就称作 $y$ 项；以英文字母“？”为主，我们就称作“？项”，但基本上都可以称作一次项。

[7] 如果是以未知数 $y$ 为主，我们就称作 $y$ 项系数；以英文字母“？”为主，我们就称作“？项系数”，但基本上都可以称作一次项系数。

[1] 习题 $1. (1) 12 + \frac{3}{7} x$ (或 $12 + \frac{3 x}{7}$ )

[2] 习题 $1. (2) \frac{1}{3} (5 x - 7)$ (或 $\frac{5 x - 7}{3}$ )

[3] 习题 $2.$

式子 $x = 4$ $x = \frac{3}{5}$ $x = - 9$

$3 x$ $12$ $\frac{9}{5}$ $- 27$

$\frac{5}{3} x + 3$ $\frac{29}{3}$ $4$ $- 12$

$\frac{2 x + 1}{4}$ $\frac{9}{4}$ $\frac{11}{20}$ $- \frac{17}{4}$

[8] 习题 $3. (1) - 11 y$

[9] 习题 $3. (2) - \frac{7}{12} x$

[10] 习题 $3. (3) - 0.3 b$

[11] 习题 $4. (1) - 24 y$

[12] 习题 $4. (2) - \frac{7}{6} x$

[13] 习题 $4. (3) 6 a$

[14] 习题 $5.$

题号题目答案

$(1)$ $- (5 x + 11)$ $(D)$

$(2)$ $- (5 x - 11)$ $(C)$

$(3)$ $- (- 5 x + 11)$ $(A)$

$(4)$ $- (- 5 x - 11)$ $(B)$

[15] 习题 $6. (1) 3 y - 24$

[16] 习题 $6. (2) - \frac{2}{7} x - \frac{3}{5}$

[17] 习题 $6. (3) 2 a + \frac{10}{3}$

[18] 习题 $7. (1) - 6 x + 20$

[19] 习题 $7. (2) 9 x + 3$

[20] 习题 $8. (1) 4 x - 1$

[21] 习题 $8. (2) 28 x + 8$

[22] 习题 $9. (1) - 3 x + 45$

[23] 习题 $9. (2) 19 x + 7$

[24] 习题 $10. (1) \frac{17 x - 7}{15}$

[25] 习题 $10. (2) \frac{9 x - 8}{9}$

[解答 1]

[解答 2]

[解答 3]

[注 1]

[注 2]

[注 3]

[注 4]

[解答 4]

[解答 5]

[解答 6]

[解答 7]

[解答 8]

[解答 9]

[解答 10]

[解答 11]

[解答 12]

[解答 13]

[解答 14]

[解答 15]

[解答 16]

[解答 17]

[解答 18]

[解答 19]

[解答 20]

[解答 21]

	$5 k$
	$5$
	$\frac{5}{3} k$
	$\frac{5}{3}$

	$5$
	$- 6$
	$6 y$
	$- 6 y$

	$7 x$
	$- 0.3 y$
	$\frac{y}{5}$
	$\frac{3}{y + 1}$
	$y + 7$

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

	$\frac{3 x + 1}{5}$
	$\frac{5}{3 x + 1}$
	$\frac{5 x}{3 x + 1}$

	$2 x^{2} + 3$
	$2 x + 3^{2}$
	$(2 x + 3)^{2}$

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：