國中數學/國中數學七年級/3-1 一元一次式

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國中數學七年級
3-1 一元一次式

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3-2 解一元一次方程式　

生活中有許多具有關係的量，如：

一瓶紅茶比一瓶水還貴 $15$ 元。
泳馨身上的錢是慧琦的 $3$ 倍。
在籃球比賽中，你的得分與你投進幾個兩分球、幾個三分球和幾個罰球有關。
華氏溫度等於攝氏溫度的 ${\frac {9}{5}}$ 倍多 $32$ 度。
商家賺錢，代表他們的收入比成本還多；商家賠錢，代表他們的收入比成本還少。

為了表示這些關係，通常我們會寫成數學式子。在以前國小的時候我們使用 $()$ 、□、甲、乙……等等符號表示，在國中階段以後，我們習慣上使用 $x$ 、 $y$ 、 $z$ ……等英文字母表示。例如：

一瓶紅茶比一瓶水還貴 $15$ 元，若假設一瓶水 $x$ 元，則一瓶紅茶( $x+15$ )元。
泳馨身上的錢是慧琦的 $3$ 倍，若假設慧琦身上的錢為 $y$ 元，則泳馨身上的錢有( $y\times 3$ )元。
綺綺在籃球比賽投進 $x$ 顆兩分球， $y$ 顆三分球，沒有投進罰球，則綺綺得到( $x\times 2+y\times 3$ )分。
攝氏 $x$ 度等於華氏( ${\frac {9}{5}}\times x+32$ )度。
阿慧炸雞攤今天賺進 $6000$ 元，若阿慧炸雞攤經營的成本為 $y$ 元，則阿慧炸雞攤今天的收入為( $y+6000$ )元。

我們在本節特別要針對只有一個未知數的式子進行介紹，並且說明如何化簡式子。

式子的簡記

因為 $x$ 實在太容易與乘法記號 $\times$ 混淆，所以我們會使用 $\cdot$ 代替 $\times$ ，甚至省略不寫，把數字擺在英文字母前面。

 Example： $x\times 8={\color {red}x\cdot 8=8x}$ 。

文字符號乘以1、-1與0

因為任何數乘以 $1$ 都等於自己，所以 ${\color {red}1\times x=x\times 1=x}$ 。
因為任何數乘以 $-1$ 都等於它的相反數，所以 ${\color {red}(-1)\times x=x\times (-1)=-x}$ 。
因為任何數乘以 $0$ 都等於 $0$ ，所以 ${\color {red}0\times x=x\times 0=0}$ 。

文字符號與分數乘法的簡記

文字符號與分數乘法的簡記如同上述一樣，不過也可以將文字符號直接擺在分子數字後方。

 Example： $x\times {\frac {3}{4}}=x\cdot {\frac {3}{4}}={\frac {3}{4}}x={\color {red}{\frac {3x}{4}}}$ 。

除法算式的簡記

因為除以一個數等於乘以一個數的倒數，所以可以先將除法算式改成乘法算式再進行簡記。

 Example： $x\div {\frac {3}{4}}=x{\color {red}\times {\frac {4}{3}}}={\frac {4}{3}}x={\frac {4x}{3}}$ 。

必須注意的事

數字與數字之間的乘號不可以省略，只能用 $\cdot$ $\cdot$ 代替。
- Example： $3\times 5=3\cdot 5$ ，但不能寫作 $35$ 。
加號( ${\color {red}+}$ )與減號( ${\color {red}-}$ )不可以省略。
- Example： $x+5$ 不能省略寫作 $x5$ ； $2x-7$ 不能省略寫作 $2x7$ 。
未知數 $x$ 的倒數為 ${\frac {1}{x}}$ ，但前提是 ${\color {red}x\neq 0}$ 。

四則運算的簡記

加號( $+$ )與減號( $-$ )不能省略。
乘號可以用 $\cdot$ 表示，或直接省略。
除號可以改寫成乘號再省略。
也是要滿足基本四則運算規則。

例題

1

簡記下列各式：

$(1)15-x\times {\frac {1}{4}}$
$(2)(2y+7)\div {\frac {4}{9}}$

解

(1)15-x\times {\frac {1}{4}}=15-{\frac {1}{4}}x

(或

15-{\frac {x}{4}}

)

$(2)(2y+7)\div {\frac {4}{9}}=(2y+7)\times {\frac {9}{4}}={\frac {9}{4}}(2y+7)$ (或 ${\frac {9(2y+7)}{4}}$ )

習題 $1$
簡記下列各式。
$(1)12+x\times {\frac {3}{7}}$ ^{[解答 1]}
$(2)(5x-7)\div 3$ ^{[解答 2]}

式子的值

一瓶紅茶比一瓶水還貴 $15$ $15$ 元，若假設一瓶水 $x$ $x$ 元，則一瓶紅茶( $x+15$ $x+15$ )元。
1. 如果一瓶水 $10$ 元(也就是說 $x=10$ )，則一瓶紅茶 $10+15=25$ 元。
2. 如果一瓶水 $15$ 元(也就是說 $x=15$ )，則一瓶紅茶 $15+15=30$ 元。

像這樣如果知道未知數 $x$ 、 $y$ 的值之後，我們就可以代入式子中，知道式子代表的值是多少。

例題

2

若

x=5

，則

3x

、

6x+3

、

{\frac {2x+8}{6}}

所代表的值分別是多少？

解

(1)3x=3\times 5=15

小提醒
在算式子的值時，若看到數字後面直接出現文字符號( $x$ )，記得是省略了乘號( $\times$ )喔！

$(2)6x+3=6\times 5+3=30+3=33$
$(3){\frac {2x+8}{6}}={\frac {2\times 5+8}{6}}={\frac {18}{6}}=3$

例題

3

式子

{\frac {x+4}{3}}-5

在

x=0

、

x=3

與

x=-4

所代表的值分別是多少？

解

(1)x=0

時，

{\frac {x+4}{3}}-5={\frac {0+4}{3}}-5={\frac {4}{3}}-5=-{\frac {11}{3}}

$(2)x=3$ 時， ${\frac {x+4}{3}}-5={\frac {3+4}{3}}-5={\frac {7}{3}}-5=-{\frac {8}{3}}$
$(3)x=-4$ 時， ${\frac {x+4}{3}}-5={\frac {-4+4}{3}}-5={\frac {0}{3}}-5=-5$

習題 $2$
請完成下列表格。^{[解答 3]}

式子	$x=4$	$x=-9$
$3x$		$-27$
${\frac {5}{3}}x+3$
${\frac {2x+1}{4}}$	${\frac {9}{4}}$

式子的化簡

像 $x+15$ 、 $2y-3$ 、 ${\frac {x+4}{3}}-5$ 這樣只有一個未知數(一元)而且最高次方為一次的式子，我們稱作一元一次式。

一元一次式未知數的位置

一個一元一次式的未知數^{[註 1]}

不可以在分母，但是可以放在分子。如： ${\frac {3}{x}}$ 不是一元一次式，但 ${\frac {x}{3}}$ 是一元一次式。
不可以有一個以上不同的未知數。如： $2x+3y$ 不是一元一次式。
不可以放在絕對值裡。如： $|x-2|$ 不是一元一次式。
不可以放在次方的位置。如： $3^{x}$ 不是一元一次式。
未知數不可以高於一次方。如： $x^{3}+3x$ 不是一元一次式。

小測

關於一元一次式的名詞

以下是一元一次式的相關名詞^{[註 2]}：

名稱	說明	以 $3x-7$ 為例子
項	用加號連接的各部分	因為 $3x-7=3x+(-7)$ ，所以 $3x$ 與 $-7$ 都稱作 $3x-7$ 的項。
一次項(或 $x$ 項)^{[註 3]}	有出現一次未知數的項	因為 $3x$ 有出現未知數 $x$ ，所以 $3x-7$ 的一次項為 $3x$ 。
常數項	沒有出現任何未知數的項	因為 $-7$ 沒有出現未知數，所以 $3x-7$ 的常數項為 $-7$ 。
係數	未知數前面的數字或是常數項	在 $3x$ 中，未知數前面的數字為 $3$ ，所以稱 $3$ 為 $3x-7$ 的一次項係數(或 $x$ 項係數^{[註 4]})。
單項式	只有單一一個項的式子	$3x$ 只有一項，所以為單項式。
同類項	具有相同的未知數，而且次方數也相同的兩個項	$3x$ 與 $3y$ 的未知數不相同，所以它們不是同類項； $3x$ 與 $-{\frac {13x}{17}}$ 的未知數相同，次數也都是 $1$ ，所以它們是同類項。

小測

式子的基本化簡

式子的加減

式子的加減運用分配律。
分配律： $ax+bx=(a+b)x$ ； $ax-bx=(a-b)x$

Example： $-3x+12x=[(-3)+12]x=9x$ ； ${\frac {3}{7}}y-{\frac {5}{21}}y=({\frac {3}{7}}-{\frac {5}{21}})y=({\frac {9}{21}}-{\frac {5}{21}})y={\frac {4}{21}}y$ 。

【註解】只有同類項才能做加減的合併。

習題 $3$
化簡下列各式：
$(1)13y+(-24y)$ ^{[解答 4]}
$(2)(-{\frac {1}{3}}x)-{\frac {1}{4}}x$ ^{[解答 5]}
$(3)2.9b-3.2b$ ^{[解答 6]}

式子的乘除

式子的乘除運用結合律。
結合律： $a(bx)=(ab)x$ ； $(ax)\times b=ab\times x=(ab)x$

Example： $(5x)\cdot 3=(5\cdot 3)x=15x$

【註解】化簡除法式子時，要多運用除以一個數，等於乘以一個數的倒數。

Example： $(5x)\div 3=(5x)\times {\frac {1}{3}}=(5\cdot {\frac {1}{3}})x={\frac {5}{3}}x$

習題 $4$
化簡下列各式：
$(1)(3y)\times (-8)$ ^{[解答 7]}
$(2)(-{\frac {1}{3}}x)\div {\frac {2}{7}}$ ^{[解答 8]}
$(3)(-{\frac {9}{2}})\times (-{\frac {4}{3}}a)$ ^{[解答 9]}

去括號規則

$-(ax+b)=-ax-b$
$-(ax-b)=-ax+b$
$-(-ax+b)=ax-b$
$-(-ax-b)=ax+b$

習題 $5$
從參考選項中找出以下各式化簡之後的式子，並將代號填入框框中。^{[解答 10]}

參考選項 $(A)5x-11$ $(B)5x+11$ $(C)-5x+11$ $(D)-5x-11$

題號	題目	答案
$(1)$	$-(5x+11)$
$(2)$	$-(5x-11)$
$(3)$	$-(-5x+11)$
$(4)$	$-(-5x-11)$

式子與分配律

$a(bx+c)=(ab)x+(ac)$ $a(bx+c)=(ab)x+(ac)$
- Example： $5(-3x+1)=[5\times (-3)]x+(5\times 1)=-15x+5$
$a(bx-c)=(ab)x-(ac)$ $a(bx-c)=(ab)x-(ac)$
- Example： $-3(-4x-2)=[-3\times (-4)]x-[(-3)\times 2]=12x-(-6)=12x+6$

習題 $6$
化簡下列各式：
$(1)3(y-8)$ ^{[解答 11]}
$(2)-{\frac {1}{4}}({\frac {8}{7}}x+{\frac {12}{5}})$ ^{[解答 12]}
$(3){\frac {2}{3}}(3a+5)$ ^{[解答 13]}

式子的進階化簡

式子四則運算

利用去括號規則與加法結合律將同類項合併。

例題

4

化簡下列各式：

$(1)$ $(3x+7)+(5x-3)$
$(2)$ $(5x-3)-(11x+2)$

解

(1)

(3x+7)+(5x-3)

$=3x+7+5x-3$ (去括號規則)
$=(3x+5x)+(7-3)$ (合併同類項)
$=8x+4$
$(2)$ $(5x-3)-(11x+2)$
$=5x-3-11x-2$ (去括號規則)
$=(5x-11x)+(-3-2)$ (合併同類項)
$=-6x-5$

習題 $7$
化簡下列各式：
$(1)$ $(-9x+13)+(3x+7)$ ^{[解答 14]}
$(2)$ $(8x+12)-(-x+9)$ ^{[解答 15]}

當前面乘以一個常數時，應該先乘進去式子中，再進行化簡。

例題

5

化簡下列各式：

$(1)$ $2(x-5)+3(2x+1)$
$(2)$ $(5x+3)-5(x+7)$

解

(1)

2(x-5)+3(2x+1)

$=2x-10+6x+3$ (去括號規則)
$=(2x+6x)+(-10+3)$ (合併同類項)
$=8x-7$
$(2)$ $(5x+3)-5(x+7)$
$=(5x+3)-(5x+35)$
$=5x+3-5x-35$ (去括號規則)
$=(5x-5x)+(3-35)$ (合併同類項)
$=-32$

習題 $8$
化簡下列各式：
$(1)$ $2(-x+4)+3(2x-3)$ ^{[解答 16]}
$(2)$ $5(2x+4)-6(-3x+2)$ ^{[解答 17]}

多重括號型的式子

由小括號 $\rightarrow$ 中括號 $\rightarrow$ 大括號依序化簡。

例題

6

化簡下列各式：

$(1)$ $2(2x+7)-3[(x+7)+(3x-1)]$
$(2)$ $5x-\{2[3(4x+5)-7]+2x\}$

解

(1)

2(2x+7)-3[(x+7)+(3x-1)]

$=(4x+14)-3[4x+6]$
$=(4x+14)-12x-18$
$=(4x-12x)+(14-18)$
$=-8x-4$
$(2)$ $5x-\{2[3(4x+5)-7]+2x\}$
$=5x-\{2[12x+15-7]+2x\}$
$=5x-\{2[12x+8]+2x\}$
$=5x-\{24x+16+2x\}$
$=5x-\{26x+16\}$
$=5x-26x-16$
$=-21x-16$

習題 $9$
化簡下列各式：
$(1)$ $(5x-13)+2[3(-2x+7)+2(x+4)]$ ^{[解答 18]}
$(2)$ $(7x+1)+\{5[(3-x)-(-3x+2)]+(2x+1)\}$ ^{[解答 19]}

分數型的式子

先將式子用括號括住，分母通分，將分子利用上述方式進行化簡。

例題

7

化簡下列各式：

$(1)$ ${\frac {4x+1}{3}}+{\frac {3x-5}{2}}$
$(2)$ ${\frac {5x-2}{4}}-{\frac {2x+1}{6}}$

解

(1){\frac {4x+1}{3}}+{\frac {3x-5}{2}}

$={\frac {(4x+1)}{3}}+{\frac {(3x-5)}{2}}$
$={\frac {2(4x+1)}{6}}+{\frac {3(3x-5)}{6}}$
$={\frac {2(4x+1)+3(3x-5)}{6}}$
$={\frac {8x+2+9x-15}{6}}$
$={\frac {17x-13}{6}}$
$(2)$ ${\frac {5x-2}{4}}-{\frac {2x+1}{6}}$
$={\frac {(5x-2)}{4}}-{\frac {(2x+1)}{6}}$
$={\frac {3(5x-2)}{12}}-{\frac {2(2x+1)}{12}}$
$={\frac {3(5x-2)-2(2x+1)}{12}}$
$={\frac {15x-6-4x-2}{12}}$
$={\frac {11x-8}{12}}$

習題 $10$
化簡下列各式：
$(1)$ ${\frac {4x+1}{5}}+{\frac {x-2}{3}}$ ^{[解答 20]}
$(2)$ ${\frac {2x-1}{3}}-{\frac {-3x+5}{9}}$ ^{[解答 21]}

課外連結

註解

↑ 未知數也不可以放在根號裡。如： ${\sqrt {x+1}}$ 。
↑ 這些名稱也適用於多項式。
↑ 如果是以未知數 $y$ 為主，我們就稱作 $y$ 項；以英文字母「？」為主，我們就稱作「？項」，但基本上都可以稱作一次項。
↑ 如果是以未知數 $y$ 為主，我們就稱作 $y$ 項係數；以英文字母「？」為主，我們就稱作「？項係數」，但基本上都可以稱作一次項係數。

習題解答

↑ 習題 $1.(1)12+{\frac {3}{7}}x$ (或解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikibooks.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 12+\frac{3x}{7}} )
↑ 習題 $1.(2){\frac {1}{3}}(5x-7)$ (或 ${\frac {5x-7}{3}}$ )

↑ 習題

2.

式子	$x=4$	$x={\frac {3}{5}}$	$x=-9$
$3x$	${\color {red}12}$	${\color {red}{\frac {9}{5}}}$	$-27$
${\frac {5}{3}}x+3$	${\color {red}{\frac {29}{3}}}$	${\color {red}4}$	${\color {red}-12}$
${\frac {2x+1}{4}}$	${\frac {9}{4}}$	${\color {red}{\frac {11}{20}}}$	${\color {red}-{\frac {17}{4}}}$

↑ 習題 $3.(1)-11y$
↑ 習題 $3.(2)-{\frac {7}{12}}x$
↑ 習題 $3.(3)-0.3b$
↑ 習題 $4.(1)-24y$
↑ 習題 $4.(2)-{\frac {7}{6}}x$
↑ 習題 $4.(3)6a$

↑ 習題

5.

題號	題目	答案
$(1)$	$-(5x+11)$	${\color {red}(D)}$
$(2)$	$-(5x-11)$	${\color {red}(C)}$
$(3)$	$-(-5x+11)$	${\color {red}(A)}$
$(4)$	$-(-5x-11)$	${\color {red}(B)}$

↑ 習題 $6.(1)3y-24$
↑ 習題 $6.(2)-{\frac {2}{7}}x-{\frac {3}{5}}$
↑ 習題 $6.(3)2a+{\frac {10}{3}}$
↑ 習題 $7.(1)-6x+20$
↑ 習題 $7.(2)9x+3$
↑ 習題 $8.(1)4x-1$
↑ 習題 $8.(2)28x+8$
↑ 習題 $9.(1)-3x+45$
↑ 習題 $9.(2)19x+7$
↑ 習題 $10.(1){\frac {17x-7}{15}}$
↑ 習題 $10.(2){\frac {9x-8}{9}}$

[4] 未知數也不可以放在根號裡。如： ${\sqrt {x+1}}$ 。

[5] 這些名稱也適用於多項式。

[6] 如果是以未知數 $y$ 為主，我們就稱作 $y$ 項；以英文字母「？」為主，我們就稱作「？項」，但基本上都可以稱作一次項。

[7] 如果是以未知數 $y$ 為主，我們就稱作 $y$ 項係數；以英文字母「？」為主，我們就稱作「？項係數」，但基本上都可以稱作一次項係數。

[1] 習題 $1.(1)12+{\frac {3}{7}}x$ (或解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikibooks.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 12+\frac{3x}{7}} )

[2] 習題 $1.(2){\frac {1}{3}}(5x-7)$ (或 ${\frac {5x-7}{3}}$ )

[3] 習題 $2.$

式子 $x=4$ $x={\frac {3}{5}}$ $x=-9$

$3x$ ${\color {red}12}$ ${\color {red}{\frac {9}{5}}}$ $-27$

${\frac {5}{3}}x+3$ ${\color {red}{\frac {29}{3}}}$ ${\color {red}4}$ ${\color {red}-12}$

${\frac {2x+1}{4}}$ ${\frac {9}{4}}$ ${\color {red}{\frac {11}{20}}}$ ${\color {red}-{\frac {17}{4}}}$

[8] 習題 $3.(1)-11y$

[9] 習題 $3.(2)-{\frac {7}{12}}x$

[10] 習題 $3.(3)-0.3b$

[11] 習題 $4.(1)-24y$

[12] 習題 $4.(2)-{\frac {7}{6}}x$

[13] 習題 $4.(3)6a$

[14] 習題 $5.$

題號題目答案

$(1)$ $-(5x+11)$ ${\color {red}(D)}$

$(2)$ $-(5x-11)$ ${\color {red}(C)}$

$(3)$ $-(-5x+11)$ ${\color {red}(A)}$

$(4)$ $-(-5x-11)$ ${\color {red}(B)}$

[15] 習題 $6.(1)3y-24$

[16] 習題 $6.(2)-{\frac {2}{7}}x-{\frac {3}{5}}$

[17] 習題 $6.(3)2a+{\frac {10}{3}}$

[18] 習題 $7.(1)-6x+20$

[19] 習題 $7.(2)9x+3$

[20] 習題 $8.(1)4x-1$

[21] 習題 $8.(2)28x+8$

[22] 習題 $9.(1)-3x+45$

[23] 習題 $9.(2)19x+7$

[24] 習題 $10.(1){\frac {17x-7}{15}}$

[25] 習題 $10.(2){\frac {9x-8}{9}}$

[解答 1]

[解答 2]

[解答 3]

[註 1]

[註 2]

[註 3]

[註 4]

[解答 4]

[解答 5]

[解答 6]

[解答 7]

[解答 8]

[解答 9]

[解答 10]

[解答 11]

[解答 12]

[解答 13]

[解答 14]

[解答 15]

[解答 16]

[解答 17]

[解答 18]

[解答 19]

[解答 20]

[解答 21]

	$5k$
	$5$
	${\frac {5}{3}}k$
	${\frac {5}{3}}$

	$5$
	$-6$
	$6y$
	$-6y$

	$7x$
	$-0.3y$
	${\frac {y}{5}}$
	${\frac {3}{y+1}}$
	$y+7$

答對得到的分數：
錯誤答案減少的分數：
忽略問題的係數：

	${\frac {3x+1}{5}}$
	${\frac {5}{3x+1}}$
	${\frac {5x}{3x+1}}$

	$\|3x+1\|$
	$\|3x\|+1$
	$\|3\|x+1$

	$2x^{2}+3$
	$2x+3^{2}$
	$(2x+3)^{2}$