国中数学/国中数学八年级/3-1 利用提公因式作因式分解

2-3 毕氏定理

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国中数学八年级 3-1 利用提公因式作因式分解

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3-2 利用乘法公式作因式分解

本章节为了介绍解一元二次方程式的方式，于是我们介绍关于因式的观念，并且利用提公因式作一些式子的因式分解。

因式

定义

设三个多项式$A$、$B$、$C$满足$A\times B$＝$C$，则称$A$、$B$为$C$的因式。

• 如：$(x+1)(x-2)=x^{2}-x-2$，所以$x+1$、$x-2$都是$x^{2}-x-2$的因式。

因式的判断

若多项式$C$除以多项式$A$的余式为$0$，则我们称$A$为$C$的因式。

• 如：$(x^{2}+4x+3)\div (x+1)$的商式为$x+3$，余式为$0$，所以$x+1$是$x^{2}+4x+3$的因式。

注意

1. 若$c$是任意一个非零常数，则$c$是一个多项式，而且若$A$是一个多项式，则${\frac {1}{c}}A$也是一个多项式。又因为$A$＝$c\times ({\frac {1}{c}}A)$，所以$c$与${\frac {1}{c}}A$都是多项式$A$的因式。故任意一个非零常数、多项式$A$的常数倍都是多项式$A$的因式。
   • 例子：$2(x^{2}+x-2)$、${\frac {2}{5}}(x^{2}+x-2)$、$\pi$(圆周率)都是$x^{2}+x-2$的因式。
2. 若三个多项式$A$、$B$、$C$满足$A\times B=C$，则对于一个非零常数$c$，$C=(cA)\times ({\frac {1}{c}}B)$，所以若多项式$A$为多项式$C$的因式，则多项式$A$的常数倍也是多项式$C$的因式。
   • 例子：因为$x+1$是$x^{2}+4x+3$的因式，所以$2x+2=2(x+1)$、${\frac {2}{5}}x+{\frac {2}{5}}={\frac {2}{5}}(x+1)$也是$x^{2}+4x+3$的因式。
     

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 已知$x^{2}+6x+5=(x+1)(x+5)$，请问哪一个是$x^{2}+6x+5$的因式？

	$5x+1$
	$5x+5$
	$5x-1$
	$5x-5$

2 以下哪一个是$x^{2}-2x-8$的因式？

	$x^{2}-2x+8$
	$2x^{2}-2x-8$
	$2x^{2}-4x-16$
	$3x^{2}+6x+24$

公因式

若多项式$A$是多项式$C$的因式，也是多项式$D$的因式，则我们称多项式$A$是多项式$C$、$D$的公因式。

• 如：$x+1$是$x^{2}+4x+3$的因式，$x+1$也是$x^{2}-x-2$的因式，所以$x+1$是$x^{2}+4x+3$与$x^{2}-x-2$的公因式。

因式分解

多项式的因式分解是将一个非零多项式写成两个或多个因式的乘积。

如：$x^{2}+x=x(x+1)$，$x(x+1)$称作$x^{2}+x$的因式分解。

已知因式作因式分解

是个可遇不可求的方式，不过搭配之后高中学习的“因式定理”或是“一次因式检验法”，可以帮助我们将更高次多项式作因式分解。
在二次式当中，如果已知某一个一次因式，只要将二次式除以这个因式就能够找到另外一个因式，进而完成因式分解。(就是这两个多项式的乘积。)

例题$1$ 已知多项式$6x^{2}-13x+6$有一个因式$3x-2$，请因式分解$6x^{2}-13x+6$。

解 $(6x^{2}-13x+6)\div (3x-2)=2x-3$，故$6x^{2}-13x+6=(3x-2)(2x-3)$。

提出公因式

找出多个式子当中的最高次数公因式，并利用分配律将此公因式提出，剩余部分合并的方法。

例题$2$ 因式分解$3x^{2}+4x$。

解 $3x^{2}$和$4x$都有公因式$x$，故提出$x$： $3x^{2}+4x=x\cdot (3x)+x\cdot 4=x(3x+4)$

注意：

1. 如果系数有公因数的时候可以把它提出去。如虽然$4x^{2}+6x=x(4x+6)$，不过$4x+6$的系数$4$与$6$有公因数$2$，故可以将$2$提出，得到$4x^{2}+6x=2x(2x+3)$。
2. 除非有特别要求，一般来说，因式的各项系数都要为整数。

例题$3$ 因式分解$(3x+4)(5x-2)-(3x+4)(6x-5)$。

解 $(3x+4)(5x-2)$和$(3x+4)(6x-5)$都有公因式$3x+4$，故提出$3x+4$： $(3x+4)(5x-2)-(3x+4)(6x-5)=(3x+4)[(5x-2)-(6x-5)]$$=(3x+4)(-x+3)=-(3x+4)(x-3)$。

注意：

• 在作因式分解的时候，如果最高项系数为负数，我们会将负号提出。

另外有趣的事情是，有的时候可能有超过二次的因式。底下是一个常见的例子。

例题$4$ 因式分解$(x+3)^{2}(x-5)+(x+3)(x-5)^{2}$。

解 $(x+3)^{2}(x-5)$和$(x+3)(x-5)^{2}$都有公因式$(x+3)(x-5)$，故提出$(x+3)(x-5)$： $(x+3)^{2}(x-5)+(x+3)(x-5)^{2}=(x+3)(x-5)[(x+3)+(x-5)]=(x+3)(x-5)(2x-2)=2(x+3)(x-5)(x-1)$。

先变号再提公因式

接下来来看一个看起来好像没有公因式，但实际上只要变号就能够做因式分解的式子。

例题$5$ 因式分解$(3x+1)(2x-5)+(x+7)(5-2x)$。

解 $(x+7)(5-2x)$可以改写成$-(x+7)(2x-5)$， $(3x+1)(2x-5)$和$-(x+7)(2x-5)$都有公因式$2x-5$，故提出$2x-5$： $(3x+1)(2x-5)+(x+7)(5-2x)=(2x-5)[(3x+1)-(x+7)]=(2x-5)(2x-6)=2(x-3)(2x-5)$

注意：

1. $b-ax=-(ax-b)$。
2. $(b-ax)^{2}=(ax-b)^{2}$。
3. $b-ax$的奇数次方交换时要加负号，变成$-(ax-b)$；$b-ax$的偶数次方交换时不用加负号，直接改成$ax-b$。

先提出公因数再因式分解

再来底下是一个看起来好像没有公因式，但实际上只要先提出公因数就能够做因式分解的式子。

例题$6$ 因式分解$(6x+4)(2x-5)+(3x+2)(2x+1)$。

解 $(6x+4)(2x-5)$可以改写成$2(3x+2)(2x-5)$， $2(3x+2)(2x-5)$和$(3x+2)(2x+1)$都有公因式$3x+2$，故提出$3x+2$： $(6x+4)(2x-5)+(3x+2)(2x+1)=2(3x+2)(2x-5)+(3x+2)(2x+1)=(3x+2)[2(2x-5)+(2x+1)]$ $=(3x+2)(6x-9)=3(3x+2)(2x-3)$。

课后习题

1. 以下哪一个多项式为$x^{2}-3x-21$的因式？

   ${\begin{matrix}(A)&x+7&&(B)&x-7&&(C)&x+2&&(D)&x-4\end{matrix}}$

2. 以下哪一个多项式为$x^{2}-2x-8$的因式分解？

   ${\begin{matrix}(A)&(x+2)(x-4)&&(B)&x(x-2)-8&&(C)&x(x+2)-4(x+2)&&(D)&x^{2}-2(x+4)\end{matrix}}$

3. 已知$2x^{2}-7x+3=(2x-1)(x-3)$，则以下哪些是$2x^{2}-7x+3$的因式？

   $(1)2x-1$

   $(2)x-3$

   $(3)2x-6$

   $(4)x-1$

   $(5)6x^{2}-21x+9$

   $(6)5$

4. 以下哪些是$6x^{3}$的因式？

   $(1)5$

   $(2)3x$

   $(3)4x^{2}$

   $(4){\frac {1}{2}}x^{3}$

   $(5)2x^{4}$

5. 已知$3x-5$是$3x^{2}-29x+40$的因式，请因式分解$3x^{2}-29x+40$。
6. 设$M=(3x+1)(2x+3)$，$N=(3x-1)(2x+3)$，则：

   $(1)M$和$N$的公因式为何？

   ${\begin{matrix}(A)&3x+1&&(B)&3x-1&&(C)&2x+3&&(D)&2x-3\end{matrix}}$

   $(2)$因式分解$(3x+1)(2x+3)+(3x-1)(2x+3)$。

7. 因式分解$3xy^{2}-6x^{2}y-9xy$。
8. 因式分解$3a(x+3)^{2}-4a^{2}(x+3)$。
9. 因式分解$5(x-7)^{2}-4(7-x)$。
10. 因式分解$2(3x-2)-4(2-3x)^{2}$。
11. 因式分解$225x^{2}-64x$。
12. 因式分解$(3x+2)^{2}-6x-4$。

课外补充

分组分解

$ax+bx+ay+by$彼此之间并没有公因式，但是如果分成两个部分

$(ax+bx)+(ay+by)$

则$ax+bx$可以改写成$x(a+b)$；$ay+by$可以改写成$y(a+b)$

这时有公因式$(a+b)$，可以提出$(a+b)$这个公因式：

$ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)$

这样的作法叫做“分组分解”。