國中數學/國中數學八年級/3-1 利用提公因式作因式分解
外觀
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本章節為了介紹解一元二次方程式的方式,於是我們介紹關於因式的觀念,並且利用提公因式作一些式子的因式分解。
因式
[編輯]定義
[編輯]設三個多項式、、滿足=,則稱、為的因式。[註 1]
- 如:,所以、都是的因式。
因式的判斷
[編輯]若多項式除以多項式的餘式為,則我們稱為的因式。[註 2]
- 如:的商式為,餘式為,所以是的因式。
注意
[編輯]- 若是任意一個非零常數,則是一個多項式,而且若是一個多項式,則也是一個多項式。又因為=,所以與都是多項式的因式。故任意一個非零常數、多項式的常數倍都是多項式的因式。
- 例子:、、(圓周率)都是的因式。
- 若三個多項式、、滿足,則對於一個非零常數,,所以若多項式為多項式的因式,則多項式的常數倍也是多項式的因式。
- 例子:因為是的因式,所以、也是的因式。
- 例子:因為是的因式,所以、也是的因式。
小測
公因式
[編輯]若多項式是多項式的因式,也是多項式的因式,則我們稱多項式是多項式、的公因式。
- 如:是的因式,也是的因式,所以是與的公因式。
因式分解
[編輯]多項式的因式分解是將一個非零多項式寫成兩個或多個因式的乘積。
如:,稱作的因式分解。
已知因式作因式分解
[編輯]是個可遇不可求的方式,不過搭配之後高中學習的「因式定理」或是「一次因式檢驗法」,可以幫助我們將更高次多項式作因式分解。
在二次式當中,如果已知某一個一次因式,只要將二次式除以這個因式就能夠找到另外一個因式,進而完成因式分解。(就是這兩個多項式的乘積。)
例題 已知多項式有一個因式,請因式分解。
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解
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提出公因式
[編輯]找出多個式子當中的最高次數公因式,並利用分配律將此公因式提出,剩餘部分合併的方法。
例題 因式分解。
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解 和都有公因式,故提出:
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注意:
- 如果系數有公因數的時候可以把它提出去。如雖然,不過的系數與有公因數,故可以將提出,得到。
- 除非有特別要求,一般來說,因式的各項系數都要為整數。
例題 因式分解。
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解
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注意:
- 在作因式分解的時候,如果最高項系數為負數,我們會將負號提出。
另外有趣的事情是,有的時候可能有超過二次的因式。底下是一個常見的例子。
例題 因式分解。
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解 和都有公因式,故提出: |
先變號再提公因式
[編輯]接下來來看一個看起來好像沒有公因式,但實際上只要變號就能夠做因式分解的式子。
例題 因式分解。
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解 可以改寫成, |
注意:
- 。
- 。
- 的奇數次方交換時要加負號,變成;的偶數次方交換時不用加負號,直接改成。
先提出公因數再因式分解
[編輯]再來底下是一個看起來好像沒有公因式,但實際上只要先提出公因數就能夠做因式分解的式子。
例題 因式分解。
|
解 可以改寫成, |
課後習題
[編輯]- 以下哪一個多項式為的因式?
- 以下哪一個多項式為的因式分解?
- 已知,則以下哪些是的因式?
- 以下哪些是的因式?
- 已知是的因式,請因式分解。[解答 5]
- 設,,則:
- 和的公因式為何?
- 因式分解。[解答 6]
- 和的公因式為何?
- 因式分解。[解答 7]
- 因式分解。[解答 8]
- 因式分解。[解答 9]
- 因式分解。[解答 10]
- 因式分解。[解答 11]
- 因式分解。[解答 12]
註釋
[編輯]- ↑ 這時,多項式也會被稱作是多項式與的倍式。
- ↑ 若多項式除以多項式的商式為多項式,餘式為,則不僅僅多項式為多項式的因式,多項式也為多項式的因式。
- ↑ 多項式的除法請見1-3 多項式的乘除運算。
- ↑ 關於這裏的計算,請見七年級教材3-1 一元一次式 。
習題解答
[編輯]課外補充
[編輯]分組分解
[編輯]彼此之間並沒有公因式,但是如果分成兩個部分
則可以改寫成;可以改寫成
這時有公因式,可以提出這個公因式:
這樣的作法叫做「分組分解」。