国中数学/国中数学八年级/3-1 利用提公因式作因式分解

　2-3 毕氏定理

◄

国中数学八年级
3-1 利用提公因式作因式分解

►

3-2 利用乘法公式作因式分解　

本章节为了介绍解一元二次方程式的方式，于是我们介绍关于因式的观念，并且利用提公因式作一些式子的因式分解。

因式

定义

设三个多项式 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 满足 $A \times B$ ＝ $C$ ，则称 $A$ 、 $B$ 为 $C$ 的因式。^{[注 1]}

如： $(x + 1) (x - 2) = x^{2} - x - 2$ ，所以 $x + 1$ 、 $x - 2$ 都是 $x^{2} - x - 2$ 的因式。

因式的判断

若多项式 $C$ 除以多项式 $A$ 的余式为 $0$ ，则我们称 $A$ 为 $C$ 的因式。^{[注 2]}

如： $(x^{2} + 4 x + 3) \div (x + 1)$ 的商式为 $x + 3$ ，余式为 $0$ ，所以 $x + 1$ 是 $x^{2} + 4 x + 3$ 的因式。

注意

若c是任意一个非零常数，则c是一个多项式，而且若A是一个多项式，则1cA也是一个多项式。又因为A＝c×(1cA)，所以c与1cA都是多项式A的因式。故任意一个非零常数、多项式 $A$ 的常数倍都是多项式A的因式。
- 例子： $2 (x^{2} + x - 2)$ 、 $\frac{2}{5} (x^{2} + x - 2)$ 、 $π$ (圆周率)都是 $x^{2} + x - 2$ 的因式。
若三个多项式A、B、C满足A×B=C，则对于一个非零常数c，C=(cA)×(1cB)，所以若多项式A为多项式C的因式，则多项式 $A$ 的常数倍也是多项式C的因式。
- 例子：因为 $x + 1$ 是 $x^{2} + 4 x + 3$ 的因式，所以 $2 x + 2 = 2 (x + 1)$ 、 $\frac{2}{5} x + \frac{2}{5} = \frac{2}{5} (x + 1)$ 也是 $x^{2} + 4 x + 3$ 的因式。

小测

公因式

若多项式 $A$ 是多项式 $C$ 的因式，也是多项式 $D$ 的因式，则我们称多项式 $A$ 是多项式 $C$ 、 $D$ 的公因式。

如： $x + 1$ 是 $x^{2} + 4 x + 3$ 的因式， $x + 1$ 也是 $x^{2} - x - 2$ 的因式，所以 $x + 1$ 是 $x^{2} + 4 x + 3$ 与 $x^{2} - x - 2$ 的公因式。

因式分解

多项式的因式分解是将一个非零多项式写成两个或多个因式的乘积。

如： $x^{2} + x = x (x + 1)$ ， $x (x + 1)$ 称作 $x^{2} + x$ 的因式分解。

已知因式作因式分解

是个可遇不可求的方式，不过搭配之后高中学习的“因式定理”或是“一次因式检验法”，可以帮助我们将更高次多项式作因式分解。
在二次式当中，如果已知某一个一次因式，只要将二次式除以这个因式就能够找到另外一个因式，进而完成因式分解。(就是这两个多项式的乘积。)

例题

1

已知多项式

6 x^{2} - 13 x + 6

有一个因式

3 x - 2

，请因式分解

6 x^{2} - 13 x + 6

。

解

(6 x^{2} - 13 x + 6) \div (3 x - 2) = 2 x - 3

，故

6 x^{2} - 13 x + 6 = (3 x - 2) (2 x - 3)

。^{[注 3]}

提出公因式

找出多个式子当中的最高次数公因式，并利用分配律将此公因式提出，剩余部分合并的方法。

例题

2

因式分解

3 x^{2} + 4 x

。

解

3 x^{2}

和

4 x

都有公因式

x

，故提出

x

：

$3 x^{2} + 4 x = x \cdot (3 x) + x \cdot 4 = x (3 x + 4)$

注意：

如果系数有公因数的时候可以把它提出去。如虽然 $4 x^{2} + 6 x = x (4 x + 6)$ ，不过 $4 x + 6$ 的系数 $4$ 与 $6$ 有公因数 $2$ ，故可以将 $2$ 提出，得到 $4 x^{2} + 6 x = 2 x (2 x + 3)$ 。
除非有特别要求，一般来说，因式的各项系数都要为整数。

例题

3

因式分解

(3 x + 4) (5 x - 2) - (3 x + 4) (6 x - 5)

。

解

(3 x + 4) (5 x - 2)

和

(3 x + 4) (6 x - 5)

都有公因式

3 x + 4

，故提出

3 x + 4

：

$(3 x + 4) (5 x - 2) - (3 x + 4) (6 x - 5) = (3 x + 4) [(5 x - 2) - (6 x - 5)]$ ^{[注 4]} $= (3 x + 4) (- x + 3) = - (3 x + 4) (x - 3)$ 。

注意：

在作因式分解的时候，如果最高项系数为负数，我们会将负号提出。

另外有趣的事情是，有的时候可能有超过二次的因式。底下是一个常见的例子。

例题

4

因式分解

(x + 3)^{2} (x - 5) + (x + 3) (x - 5)^{2}

。

解

$(x + 3)^{2} (x - 5)$ 和 $(x + 3) (x - 5)^{2}$ 都有公因式 $(x + 3) (x - 5)$ ，故提出 $(x + 3) (x - 5)$ ：
$(x + 3)^{2} (x - 5) + (x + 3) (x - 5)^{2} = (x + 3) (x - 5) [(x + 3) + (x - 5)] = (x + 3) (x - 5) (2 x - 2) = 2 (x + 3) (x - 5) (x - 1)$ 。

先变号再提公因式

接下来来看一个看起来好像没有公因式，但实际上只要变号就能够做因式分解的式子。

例题

5

因式分解

(3 x + 1) (2 x - 5) + (x + 7) (5 - 2 x)

。

解

$(x + 7) (5 - 2 x)$ 可以改写成 $- (x + 7) (2 x - 5)$ ，
$(3 x + 1) (2 x - 5)$ 和 $- (x + 7) (2 x - 5)$ 都有公因式 $2 x - 5$ ，故提出 $2 x - 5$ ：
$(3 x + 1) (2 x - 5) + (x + 7) (5 - 2 x) = (2 x - 5) [(3 x + 1) - (x + 7)] = (2 x - 5) (2 x - 6) = 2 (x - 3) (2 x - 5)$

注意：

$b - a x = - (a x - b)$ 。
$(b - a x)^{2} = (a x - b)^{2}$ 。
$b - a x$ 的奇数次方交换时要加负号，变成 $- (a x - b)$ ； $b - a x$ 的偶数次方交换时不用加负号，直接改成 $a x - b$ 。

先提出公因数再因式分解

再来底下是一个看起来好像没有公因式，但实际上只要先提出公因数就能够做因式分解的式子。

例题

6

因式分解

(6 x + 4) (2 x - 5) + (3 x + 2) (2 x + 1)

。

解

$(6 x + 4) (2 x - 5)$ 可以改写成 $2 (3 x + 2) (2 x - 5)$ ，
$2 (3 x + 2) (2 x - 5)$ 和 $(3 x + 2) (2 x + 1)$ 都有公因式 $3 x + 2$ ，故提出 $3 x + 2$ ：
$(6 x + 4) (2 x - 5) + (3 x + 2) (2 x + 1) = 2 (3 x + 2) (2 x - 5) + (3 x + 2) (2 x + 1) = (3 x + 2) [2 (2 x - 5) + (2 x + 1)]$ $= (3 x + 2) (6 x - 9) = 3 (3 x + 2) (2 x - 3)$ 。

课后习题

以下哪一个多项式为 $x^{2} - 3 x - 21$ 的因式？
$\begin{matrix} (A) & x + 7 & (B) & x - 7 & (C) & x + 2 & (D) & x - 4 \end{matrix}$ ^{[解答 1]}
以下哪一个多项式为 $x^{2} - 2 x - 8$ 的因式分解？
$\begin{matrix} (A) & (x + 2) (x - 4) & (B) & x (x - 2) - 8 & (C) & x (x + 2) - 4 (x + 2) & (D) & x^{2} - 2 (x + 4) \end{matrix}$ ^{[解答 2]}
已知 $2 x^{2} - 7 x + 3 = (2 x - 1) (x - 3)$ ，则以下哪些是 $2 x^{2} - 7 x + 3$ 的因式？
$(1) 2 x - 1$

$(2) x - 3$

$(3) 2 x - 6$

$(4) x - 1$

$(5) 6 x^{2} - 21 x + 9$

$(6) 5$ ^{[解答 3]}
以下哪些是 $6 x^{3}$ 的因式？
$(1) 5$

$(2) 3 x$

$(3) 4 x^{2}$

$(4) \frac{1}{2} x^{3}$

$(5) 2 x^{4}$ ^{[解答 4]}
已知 $3 x - 5$ 是 $3 x^{2} - 29 x + 40$ 的因式，请因式分解 $3 x^{2} - 29 x + 40$ 。^{[解答 5]}
设 $M = (3 x + 1) (2 x + 3)$ ， $N = (3 x - 1) (2 x + 3)$ ，则：
$(1) M$ 和 $N$ 的公因式为何？
$\begin{matrix} (A) & 3 x + 1 & (B) & 3 x - 1 & (C) & 2 x + 3 & (D) & 2 x - 3 \end{matrix}$

$(2)$ 因式分解 $(3 x + 1) (2 x + 3) + (3 x - 1) (2 x + 3)$ 。^{[解答 6]}
因式分解 $3 x y^{2} - 6 x^{2} y - 9 x y$ 。^{[解答 7]}
因式分解 $3 a (x + 3)^{2} - 4 a^{2} (x + 3)$ 。^{[解答 8]}
因式分解 $5 (x - 7)^{2} - 4 (7 - x)$ 。^{[解答 9]}
因式分解 $2 (3 x - 2) - 4 (2 - 3 x)^{2}$ 。^{[解答 10]}
因式分解 $225 x^{2} - 64 x$ 。^{[解答 11]}
因式分解 $(3 x + 2)^{2} - 6 x - 4$ 。^{[解答 12]}

注释

↑ 这时，多项式 $C$ 也会被称作是多项式 $A$ 与 $B$ 的倍式。
↑ 若多项式 $C$ 除以多项式 $A$ 的商式为多项式 $B$ ，余式为 $0$ ，则不仅仅多项式 $A$ 为多项式 $C$ 的因式，多项式 $B$ 也为多项式 $C$ 的因式。
↑ 多项式的除法请见1-3 多项式的乘除运算。
↑ 关于这里的计算，请见七年级教材3-1 一元一次式。

习题解答

↑ (B)。 $(x^{2} - 3 x - 21) \div (x - 7) = (x + 4) \dots 0$ ，故选(B)。
↑ (A)。
↑ $(1) (2) (3) (5) (6)$ 是。
↑ $(1) (2) (3) (4)$ 是。
↑ $3 x^{2} - 29 x + 40 = (3 x - 5) (x - 8)$ 。
↑ $(1) (C)$ 。 $(2) 6 x (2 x + 3)$ 。
↑ $- 3 x y (2 x - y + 3)$ 。
↑ $a (x + 3) (3 x - 4 a + 9)$ 。
↑ $(x - 7) (5 x - 31)$ 。
↑ $- 2 (3 x - 2) (6 x - 5)$ 。
↑ $x (225 x - 64)$ 。
↑ $3 x (3 x + 2)$ 。

课外补充

分组分解

$a x + b x + a y + b y$ 彼此之间并没有公因式，但是如果分成两个部分

(a x + b x) + (a y + b y)

则 $a x + b x$ 可以改写成 $x (a + b)$ ； $a y + b y$ 可以改写成 $y (a + b)$

这时有公因式 $(a + b)$ ，可以提出 $(a + b)$ 这个公因式：

a x + b x + a y + b y = (a x + b x) + (a y + b y) = x (a + b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)

这样的作法叫做“分组分解”。

[1] 这时，多项式 $C$ 也会被称作是多项式 $A$ 与 $B$ 的倍式。

[2] 若多项式 $C$ 除以多项式 $A$ 的商式为多项式 $B$ ，余式为 $0$ ，则不仅仅多项式 $A$ 为多项式 $C$ 的因式，多项式 $B$ 也为多项式 $C$ 的因式。

[3] 多项式的除法请见1-3 多项式的乘除运算。

[4] 关于这里的计算，请见七年级教材3-1 一元一次式。

[5] (B)。 $(x^{2} - 3 x - 21) \div (x - 7) = (x + 4) \dots 0$ ，故选(B)。

[6] (A)。

[7] $(1) (2) (3) (5) (6)$ 是。

[8] $(1) (2) (3) (4)$ 是。

[9] $3 x^{2} - 29 x + 40 = (3 x - 5) (x - 8)$ 。

[10] $(1) (C)$ 。 $(2) 6 x (2 x + 3)$ 。

[11] $- 3 x y (2 x - y + 3)$ 。

[12] $a (x + 3) (3 x - 4 a + 9)$ 。

[13] $(x - 7) (5 x - 31)$ 。

[14] $- 2 (3 x - 2) (6 x - 5)$ 。

[15] $x (225 x - 64)$ 。

[16] $3 x (3 x + 2)$ 。

[注 1]

[注 2]

[注 3]

[注 4]

[解答 1]

[解答 2]

[解答 3]

[解答 4]

[解答 5]

[解答 6]

[解答 7]

[解答 8]

[解答 9]

[解答 10]

[解答 11]

[解答 12]

	$5 x + 1$
	$5 x + 5$
	$5 x - 1$
	$5 x - 5$

	$x^{2} - 2 x + 8$
	$2 x^{2} - 2 x - 8$
	$2 x^{2} - 4 x - 16$
	$3 x^{2} + 6 x + 24$

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：