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国中数学/国中数学八年级/3-1 利用提公因式作因式分解

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 2-3 毕氏定理 国中数学八年级
3-1 利用提公因式作因式分解
3-2 利用乘法公式作因式分解 

本章节为了介绍解一元二次方程式的方式,于是我们介绍关于因式的观念,并且利用提公因式作一些式子的因式分解。

因式

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定义

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设三个多项式满足,则称的因式。[注 1]

  • 如:,所以都是的因式。

因式的判断

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若多项式除以多项式的馀式为,则我们称的因式。[注 2]

  • 如:的商式为,馀式为,所以的因式。

注意

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  1. 是任意一个非零常数,则是一个多项式,而且若是一个多项式,则也是一个多项式。又因为,所以都是多项式的因式。故任意一个非零常数多项式的常数倍都是多项式的因式。
    • 例子:(圆周率)都是的因式。
  2. 若三个多项式满足,则对于一个非零常数,所以若多项式为多项式的因式,则多项式的常数倍也是多项式的因式。
    • 例子:因为的因式,所以也是的因式。

小测

  

1 已知,请问哪一个是的因式?

2 以下哪一个是的因式?


公因式

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若多项式是多项式的因式,也是多项式的因式,则我们称多项式是多项式公因式

  • 如:的因式,也是的因式,所以的公因式。

因式分解

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多项式因式分解是将一个非零多项式写成两个或多个因式的乘积。

如:称作的因式分解。

已知因式作因式分解

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是个可遇不可求的方式,不过搭配之后高中学习的“因式定理”或是“一次因式检验法”,可以帮助我们将更高次多项式作因式分解。
在二次式当中,如果已知某一个一次因式,只要将二次式除以这个因式就能够找到另外一个因式,进而完成因式分解。(就是这两个多项式的乘积。)

例题
已知多项式有一个因式,请因式分解
,故[注 3]

提出公因式

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找出多个式子当中的最高次数公因式,并利用分配律将此公因式提出,剩馀部分合并的方法。

例题
因式分解
都有公因式,故提出

注意:

  1. 如果系数有公因数的时候可以把它提出去。如虽然,不过的系数有公因数,故可以将提出,得到
  2. 除非有特别要求,一般来说,因式的各项系数都要为整数。
例题
因式分解
都有公因式,故提出

[注 4]

注意:

  • 在作因式分解的时候,如果最高项系数为负数,我们会将负号提出。

另外有趣的事情是,有的时候可能有超过二次的因式。底下是一个常见的例子。

例题
因式分解

都有公因式,故提出

先变号再提公因式

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接下来来看一个看起来好像没有公因式,但实际上只要变号就能够做因式分解的式子。

例题
因式分解

可以改写成
都有公因式,故提出

注意:

  1. 的奇数次方交换时要加负号,变成的偶数次方交换时不用加负号,直接改成

先提出公因数再因式分解

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再来底下是一个看起来好像没有公因式,但实际上只要先提出公因数就能够做因式分解的式子。

例题
因式分解

可以改写成
都有公因式,故提出

课后习题

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  1. 以下哪一个多项式为的因式?
    [解答 1]
  2. 以下哪一个多项式为的因式分解?
    [解答 2]
  3. 已知,则以下哪些是的因式?
    [解答 3]
  4. 以下哪些是的因式?
    [解答 4]
  5. 已知的因式,请因式分解[解答 5]
  6. ,则:
    的公因式为何?
    因式分解[解答 6]
  7. 因式分解[解答 7]
  8. 因式分解[解答 8]
  9. 因式分解[解答 9]
  10. 因式分解[解答 10]
  11. 因式分解[解答 11]
  12. 因式分解[解答 12]

注释

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  1. 这时,多项式也会被称作是多项式倍式
  2. 若多项式除以多项式的商式为多项式,馀式为,则不仅仅多项式为多项式的因式,多项式也为多项式的因式。
  3. 多项式的除法请见1-3 多项式的乘除运算
  4. 关于这里的计算,请见七年级教材3-1 一元一次式

习题解答

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  1. (B)。,故选(B)。
  2. (A)。
  3. 是。
  4. 是。

课外补充

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分组分解

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彼此之间并没有公因式,但是如果分成两个部分

可以改写成可以改写成

这时有公因式,可以提出这个公因式:

这样的作法叫做“分组分解”。