国中数学/国中数学八年级/3-1 利用提公因式作因式分解
外观
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本章节为了介绍解一元二次方程式的方式,于是我们介绍关于因式的观念,并且利用提公因式作一些式子的因式分解。
因式
[编辑]定义
[编辑]设三个多项式、、满足=,则称、为的因式。[注 1]
- 如:,所以、都是的因式。
因式的判断
[编辑]若多项式除以多项式的馀式为,则我们称为的因式。[注 2]
- 如:的商式为,馀式为,所以是的因式。
注意
[编辑]- 若是任意一个非零常数,则是一个多项式,而且若是一个多项式,则也是一个多项式。又因为=,所以与都是多项式的因式。故任意一个非零常数、多项式的常数倍都是多项式的因式。
- 例子:、、(圆周率)都是的因式。
- 若三个多项式、、满足,则对于一个非零常数,,所以若多项式为多项式的因式,则多项式的常数倍也是多项式的因式。
- 例子:因为是的因式,所以、也是的因式。
- 例子:因为是的因式,所以、也是的因式。
小测
公因式
[编辑]若多项式是多项式的因式,也是多项式的因式,则我们称多项式是多项式、的公因式。
- 如:是的因式,也是的因式,所以是与的公因式。
因式分解
[编辑]多项式的因式分解是将一个非零多项式写成两个或多个因式的乘积。
如:,称作的因式分解。
已知因式作因式分解
[编辑]是个可遇不可求的方式,不过搭配之后高中学习的“因式定理”或是“一次因式检验法”,可以帮助我们将更高次多项式作因式分解。
在二次式当中,如果已知某一个一次因式,只要将二次式除以这个因式就能够找到另外一个因式,进而完成因式分解。(就是这两个多项式的乘积。)
例题 已知多项式有一个因式,请因式分解。
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解
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提出公因式
[编辑]找出多个式子当中的最高次数公因式,并利用分配律将此公因式提出,剩馀部分合并的方法。
例题 因式分解。
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解 和都有公因式,故提出:
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注意:
- 如果系数有公因数的时候可以把它提出去。如虽然,不过的系数与有公因数,故可以将提出,得到。
- 除非有特别要求,一般来说,因式的各项系数都要为整数。
例题 因式分解。
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解
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注意:
- 在作因式分解的时候,如果最高项系数为负数,我们会将负号提出。
另外有趣的事情是,有的时候可能有超过二次的因式。底下是一个常见的例子。
例题 因式分解。
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解 和都有公因式,故提出: |
先变号再提公因式
[编辑]接下来来看一个看起来好像没有公因式,但实际上只要变号就能够做因式分解的式子。
例题 因式分解。
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解 可以改写成, |
注意:
- 。
- 。
- 的奇数次方交换时要加负号,变成;的偶数次方交换时不用加负号,直接改成。
先提出公因数再因式分解
[编辑]再来底下是一个看起来好像没有公因式,但实际上只要先提出公因数就能够做因式分解的式子。
例题 因式分解。
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解 可以改写成, |
课后习题
[编辑]- 以下哪一个多项式为的因式?
- 以下哪一个多项式为的因式分解?
- 已知,则以下哪些是的因式?
- 以下哪些是的因式?
- 已知是的因式,请因式分解。[解答 5]
- 设,,则:
- 和的公因式为何?
- 因式分解。[解答 6]
- 和的公因式为何?
- 因式分解。[解答 7]
- 因式分解。[解答 8]
- 因式分解。[解答 9]
- 因式分解。[解答 10]
- 因式分解。[解答 11]
- 因式分解。[解答 12]
注释
[编辑]- ↑ 这时,多项式也会被称作是多项式与的倍式。
- ↑ 若多项式除以多项式的商式为多项式,馀式为,则不仅仅多项式为多项式的因式,多项式也为多项式的因式。
- ↑ 多项式的除法请见1-3 多项式的乘除运算。
- ↑ 关于这里的计算,请见七年级教材3-1 一元一次式 。
习题解答
[编辑]课外补充
[编辑]分组分解
[编辑]彼此之间并没有公因式,但是如果分成两个部分
则可以改写成;可以改写成
这时有公因式,可以提出这个公因式:
这样的作法叫做“分组分解”。