# 国中数学/国中数学七年级/1-2 正负数的加减

 1-1 正数与负数 ◄ 国中数学七年级1-2 正负数的加减 ► 1-3 正负数的乘除

## 正负数相加

 代表${\displaystyle +1}$的图示 代表${\displaystyle -1}$的图示

### 同号数相加

 例题${\displaystyle 1}$计算${\displaystyle 3+2}$的值。
 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (+3)}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle (+2)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (+5)}$

${\displaystyle 3}$颗白球与${\displaystyle 2}$颗白球共有${\displaystyle 5}$颗白球，所以${\displaystyle 3+2=5}$

 例题${\displaystyle 2}$计算${\displaystyle (-3)+(-4)}$的值。
 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (-3)}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle (-4)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (-7)}$

${\displaystyle 3}$颗黑球与${\displaystyle 4}$颗黑球共有${\displaystyle 7}$颗黑球，所以${\displaystyle (-3)+(-4)=-7}$

 例题${\displaystyle 3}$计算${\displaystyle (-33)+(-67)}$的值。
 解因为${\displaystyle -33}$与${\displaystyle -67}$为同号数， 所以${\displaystyle (-33)+(-67)}$ ${\displaystyle =-(33+67)}$ ${\displaystyle =-100}$

 例题${\displaystyle 4}$计算${\displaystyle (-17.3)+(-23.9)}$的值。
 解因为${\displaystyle -17.3}$与${\displaystyle -23.9}$为同号数， 所以${\displaystyle (-17.3)+(-23.9)}$ ${\displaystyle =-(17.3+23.9)}$ ${\displaystyle =-41.2}$

#### 习题

1. ${\displaystyle 7+3}$
2. ${\displaystyle (-7)+(-3)}$
3. ${\displaystyle (-28)+(-53)}$
4. ${\displaystyle (-43.3)+(-51.5)}$

### 异号数相加

#### 为什么会抵消？

 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle (-1)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$(抵销光光)
 例题${\displaystyle 5}$计算${\displaystyle (-3)+2}$的值。
 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (-3)}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle (+2)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (-1)}$

${\displaystyle 3}$颗黑球与${\displaystyle 2}$颗白球相加，其中${\displaystyle 2}$颗黑球与${\displaystyle 2}$颗白球互相抵消，白球没了，黑球还剩下${\displaystyle 1}$颗，所以${\displaystyle (-3)+2=-1}$

 例题${\displaystyle 6}$计算${\displaystyle (-1)+4}$的值。
 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (-1)}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle (+4)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (+3)}$

${\displaystyle 1}$颗黑球与${\displaystyle 4}$颗白球相加，其中${\displaystyle 1}$颗黑球与${\displaystyle 1}$颗白球互相抵消，黑球没了，白球还剩下${\displaystyle 3}$颗，所以${\displaystyle (-1)+4=3}$

 例题${\displaystyle 7}$计算${\displaystyle (-33)+67}$的值。
 解因为${\displaystyle -33}$与${\displaystyle 67}$为异号数，而且${\displaystyle |-33|<|67|}$ 所以答案的性质符号与${\displaystyle 67}$相同，为正数， ${\displaystyle (-33)+67}$ ${\displaystyle ={\color {red}+}(67-33)}$ ${\displaystyle =+34}$

 例题${\displaystyle 8}$计算${\displaystyle 3.9+(-6.7)}$的值。
 解因为${\displaystyle 3.9}$与${\displaystyle -6.7}$为异号数，而且${\displaystyle |3.9|<|-6.7|}$ 所以答案的性质符号与${\displaystyle -6.7}$相同，为负数， ${\displaystyle 3.9+(-6.7)}$ ${\displaystyle ={\color {red}-}(6.7-3.9)}$ ${\displaystyle =-2.8}$

#### 习题

1. ${\displaystyle (-7)+5}$
2. ${\displaystyle 7+(-5)}$
3. ${\displaystyle (-68)+123}$
4. ${\displaystyle 2.1+(-52.1)}$

### 交换律

 例题${\displaystyle 9}$分别计算${\displaystyle (-5)+(-4)}$与${\displaystyle (-4)+(-5)}$的值，并比较是否相等。
 解${\displaystyle (-5)+(-4)=-(5+4)=-9}$， ${\displaystyle (-4)+(-5)=-(4+5)=-9}$， 故两式相等。
 例题${\displaystyle 10}$分别计算${\displaystyle (-5)+4}$与${\displaystyle 4+(-5)}$的值，并比较是否相等。
 解${\displaystyle (-5)+4=-(5-4)=-1}$， ${\displaystyle 4+(-5)=-(5-4)=-1}$， 故两式相等。

${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$为两个数，则${\displaystyle {\color {red}a+b=b+a}}$

### 相反数相加

${\displaystyle a}$为任意数，则${\displaystyle {\color {red}a+(-a)=(-a)+a=0}}$

#### 习题

1. ${\displaystyle 55.34+(-55.34)}$
2. ${\displaystyle (-1423)+1423}$

### 加上0

${\displaystyle a}$为任意数，则${\displaystyle {\color {red}a+0=0+a=a}}$

#### 习题

1. ${\displaystyle 0+(-3.1415)}$
2. ${\displaystyle (-5284)+0}$

## 整数的连加

 例题${\displaystyle 11}$计算${\displaystyle (-13)+15+[(-34)+21]}$的值。
 解${\displaystyle (-13)+15+[(-34)+21]}$ ${\displaystyle =(-13)+15+(-13)}$(先算括号) ${\displaystyle =2+(-13)}$(从左而右计算) ${\displaystyle =-11}$

#### 习题

1. ${\displaystyle (-11)+(5+6)}$
2. ${\displaystyle [29+(-17)]+[(-83)+78]}$
3. ${\displaystyle 5.7+(-6.3)+(-7.2)+8.1}$

### 结合律

${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$为三个数，则${\displaystyle {\color {red}(a+b)+c=a+(b+c)}}$
 例题${\displaystyle 12}$分别计算${\displaystyle [(-5)+(-4)]+3}$[注 1]与${\displaystyle (-5)+[(-4)+3]}$的值，并比较是否相等。
 解${\displaystyle [(-5)+(-4)]+3=(-9)+3=-6}$， ${\displaystyle (-5)+[(-4)+3]=(-5)+(-1)=-6}$， 故两式相等。

### 综合使用交换律与结合律计算连加算式

 例题${\displaystyle 13}$计算${\displaystyle (-75375923)+(-5878)+75375925}$的值。
 解${\displaystyle (-75375923)+(-5878)+75375925}$ ${\displaystyle =(-75375923)+[(-5878)+75375925]}$ ${\displaystyle =(-75375923)+[75375925+(-5878)]}$(交换律) ${\displaystyle =[(-75375923)+75375925]+(-5878)}$(结合律) ${\displaystyle =2+(-5878)}$ ${\displaystyle =-5876}$

#### 习题

1. ${\displaystyle 1234+(-87653321)+87653320}$
2. ${\displaystyle (-5443)+[(-4557)+(-17385)]}$
3. ${\displaystyle [(-145.3347)+14]+146.3347}$

## 正负数相减

### 同号数相减

 例题${\displaystyle 14}$计算${\displaystyle 5-3}$的值。

${\displaystyle 5}$颗白球拿走${\displaystyle 3}$颗白球还剩下${\displaystyle 2}$颗白球，所以${\displaystyle 5-3=2}$

 例题${\displaystyle 15}$计算${\displaystyle (-7)-(-4)}$的值。

${\displaystyle 7}$颗黑球拿走${\displaystyle 4}$颗黑球还剩下${\displaystyle 3}$颗黑球，所以${\displaystyle (-7)-(-4)=-3}$

 问题${\displaystyle 1}$计算${\displaystyle 1-3}$的值。

${\displaystyle 1}$颗白球拿走${\displaystyle 3}$颗白球……。根本不够拿啊……

 这是${\displaystyle 1}$ 这也是${\displaystyle 1}$ 这还是${\displaystyle 1}$

 例题${\displaystyle 16}$计算${\displaystyle 1-3}$的值。

 例题${\displaystyle 17}$计算${\displaystyle (-1)-(-4)}$的值。

### 异号数相减

 例题${\displaystyle 18}$计算${\displaystyle (-3)-5}$的值。

 例题${\displaystyle 19}$计算${\displaystyle 5-(-2)}$的值。

### 减法与加法的关系

${\displaystyle 1-(-3)}$
${\displaystyle 1+3}$
${\displaystyle 1-(-3)=4}$
${\displaystyle 1+3=4}$

${\displaystyle (-1)-(-3)}$
${\displaystyle (-1)+3}$

${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle (-1)-(-3)=2}$
${\displaystyle (-1)+3=2}$

#### 结论

 减掉一个数，等于加上这个数的相反数。即若${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$为两个数，则${\displaystyle {\color {red}a-b=a+(-b)}}$。

 例题${\displaystyle 20}$计算${\displaystyle 39-(-28)}$的值。
 解${\displaystyle 39-(-28)}$ ${\displaystyle =39+28}$ ${\displaystyle =67}$

 例题${\displaystyle 21}$计算${\displaystyle (-2.7)-(-8.44)}$的值。
 解${\displaystyle (-2.7)-(-8.44)}$ ${\displaystyle =(-2.7)+8.44}$ ${\displaystyle =+(8.44-2.7)}$ ${\displaystyle =5.74}$
 例题${\displaystyle 22}$计算${\displaystyle (-2.7)-8.44}$的值。
 解${\displaystyle (-2.7)-8.44}$ ${\displaystyle =(-2.7)+(-8.44)}$ ${\displaystyle =-(2.7+8.44)}$ ${\displaystyle =-11.14}$
 例题${\displaystyle 23}$计算${\displaystyle 8.44-(-2.7)}$的值。
 解${\displaystyle 8.44-(-2.7)}$ ${\displaystyle =8.44+2.7}$ ${\displaystyle =11.14}$

#### 习题

1. ${\displaystyle (-13)-(-7)}$
2. ${\displaystyle (-83)-(-102)}$
3. ${\displaystyle 15-(-17)}$
4. ${\displaystyle (-12)-13}$
5. ${\displaystyle 3.14-(-3.14)}$
6. ${\displaystyle (-2.33)-1.67}$

## 正负数加减混合运算

1. 有绝对值要先算
2. 有括号要先算，顺序依序为${\displaystyle ()\rightarrow []\rightarrow }${}[注 2]
3. 没括号时，从左而右计算

 例题${\displaystyle 24}$计算${\displaystyle (-57)+[(-43)-(-62)]}$之值。
 解${\displaystyle (-57)+[(-43)-(-62)]}$ ${\displaystyle =(-57)+[(-43)+62]}$(减的改成加的) ${\displaystyle =(-57)+[+(62-43)]}$(先算括号) ${\displaystyle =(-57)+19}$ ${\displaystyle =-(57-19)}$ ${\displaystyle =-38}$
 例题${\displaystyle 25}$计算${\displaystyle (-37)+[-33+[(-36)+11]]-17}$之值。
 解${\displaystyle (-37)+[-33-(36-11)]-17}$ ${\displaystyle =(-37)+[(-33)-25]+(-17)}$(减的改成加的) ${\displaystyle =(-37)+[-(25+33)]+(-17)}$(先算括号) ${\displaystyle =(-37)+(-58)+(-17)}$ ${\displaystyle =-(37+58)+(-17)}$(从左而右计算) ${\displaystyle =(-95)+(-17)}$ ${\displaystyle =-(95+17)}$ ${\displaystyle =-112}$

### 习题

1. ${\displaystyle 13+[(-8)+(-24)]}$
2. ${\displaystyle [37+(-54)]-[(-24)-26]}$
3. ${\displaystyle 11+(-22)-[33+(-44)]}$

 例题${\displaystyle 26}$计算${\displaystyle |-23.4|+|(-15.3)-(-1.3)|-26.6}$之值。
 解${\displaystyle |-23.4|+|(-15.3)-(-1.3)|-26.6}$ ${\displaystyle =23.4+|(-15.3)+1.3|-26.6}$(计算绝对值部分) ${\displaystyle =23.4+|-14|-26.6}$(先算括号) ${\displaystyle =23.4+14-26.6}$ ${\displaystyle =37.4-26.6}$(从左而右计算) ${\displaystyle =10.8}$

### 习题

1. ${\displaystyle 13+|-8|+(-24)}$
2. ${\displaystyle |37+24|-|24-37|}$
3. ${\displaystyle 15-|(-8)+(-7)|+|-23|}$

### 去括号规则

${\displaystyle 5{\color {red}-}(7{\color {red}-}3)}$
${\displaystyle 5{\color {red}-}7{\color {blue}-}3}$
${\displaystyle 5{\color {red}-}7{\color {red}+}3}$

${\displaystyle =5-4}$

${\displaystyle ={\color {red}1}}$

${\displaystyle =(-2)-3}$

${\displaystyle =(-2)+(-3)}$
${\displaystyle =-(2+3)}$
${\displaystyle =-5}$

${\displaystyle =(-2)+3}$

${\displaystyle =+(3-2)}$
${\displaystyle ={\color {red}1}}$

${\displaystyle (-5){\color {red}-}[7{\color {red}+}(-2)]}$
${\displaystyle (-5){\color {red}-}7{\color {blue}+}(-2)}$
${\displaystyle (-5){\color {red}-}7{\color {red}-}(-2)}$

${\displaystyle =(-5)-5}$

${\displaystyle =(-5)+(-5)}$
${\displaystyle =-(5+5)}$
${\displaystyle ={\color {red}-10}}$

${\displaystyle =(-5)+(-7)+(-2)}$

${\displaystyle =-(5+7)+(-2)}$
${\displaystyle =(-12)+(-2)}$
${\displaystyle =(-12+2)}$
${\displaystyle =-14}$

${\displaystyle =(-5)+(-7)+2}$

${\displaystyle =-(5+7)+2}$
${\displaystyle =(-12)+2}$
${\displaystyle =-(12-2)}$
${\displaystyle ={\color {red}-10}}$

 设${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$为两个数，则 ${\displaystyle -(a+b)=-a-b}$ ${\displaystyle -(a-b)=-a+b}$ ${\displaystyle -(-a+b)=a-b}$ ${\displaystyle -(-a-b)=a+b}$

 例题${\displaystyle 27}$计算${\displaystyle (-15963471)-[(-15963472)-(-12345)]}$之值。
 解${\displaystyle (-15963471)-[(-15963472)-(-12345)]}$ ${\displaystyle =(-15963471){\color {red}-}[{\color {red}-}15963472{\color {red}+}12345]}$ ${\displaystyle =(-15963471){\color {red}+}15963472{\color {red}-}12345}$ ${\displaystyle =1-12345}$ ${\displaystyle =-12344}$

### 习题

1. ${\displaystyle (-166666)-[(-166664)+(-354)]}$
2. ${\displaystyle 39717185-[(-12349999)-(-39717185)]}$

## 数线上两点之间的距离

• 我们知道这两家人只是来回于丰原交流道与西螺服务区之间，所以这两家人移动的距离应该是相同的，而他们移动的距离都是${\displaystyle 229.3-168.3=61}$公里。

 在數線上任兩點的距離等於兩個點所代表的數當中比較大的數減掉比較小的數的結果。


• 因为定义上的关系，所以任意两相异点之间的距离都是正数

1. ${\displaystyle a>b}$时，${\displaystyle {\overline {AB}}=a-b}$
2. ${\displaystyle b>a}$时，${\displaystyle {\overline {AB}}=b-a}$

 數線上${\displaystyle A(a)}$與${\displaystyle B(b)}$的距離等於${\displaystyle |a-b|=|b-a|}$。


 例题${\displaystyle 28}$数线上有三点${\displaystyle A(7)}$、${\displaystyle B(-13)}$、${\displaystyle C(-3)}$，试求： ${\displaystyle (1){\overline {AB}}}$ ${\displaystyle (2){\overline {AC}}}$ ${\displaystyle (3){\overline {BC}}}$
 解 ${\displaystyle (1){\overline {AB}}=|7-(-13)|=|20|=20}$ ${\displaystyle (2){\overline {AC}}=|7-(-3)|=|10|=10}$ ${\displaystyle (3){\overline {BC}}=|(-13)-(-3)|=|-10|=10}$

### 中点

 當數線上一點${\displaystyle C}$與另外相異兩點${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$的距離相等，則我們稱${\displaystyle C}$點為${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$兩點的中點，也可以說${\displaystyle C}$點為${\displaystyle {\overline {AB}}}$的中點。


1. 因为中点到两端点的距离相等，所以先计算到两端点的距离${\displaystyle {\overline {AB}}}$，中点到${\displaystyle A}$点或${\displaystyle B}$点的距离都是${\displaystyle {\overline {AB}}\div 2}$
2. ${\displaystyle a，则中点的位置${\displaystyle =a+{\overline {AB}}\div 2}$${\displaystyle =b-{\overline {AB}}\div 2}$
 例题${\displaystyle 29}$数线上两点${\displaystyle A(19)}$、${\displaystyle B(-11)}$，试求${\displaystyle {\overline {AB}}}$的中点坐标。
 解 ${\displaystyle {\overline {AB}}=|19-(-11)|=|30|=30}$，${\displaystyle 30\div 2=15}$ 因为${\displaystyle -11<19}$，所以中点坐标${\displaystyle =-11+15=4}$

## 注解

1. []为中括号符号，通常在计算算式时会加在小括号外面。但是在计算机程序或是数学软件GeoGebra等等中，大部分不区分括号的差别，统一使用小括号()。
2. 这是大括号符号，通常加在中括号外面。
3. 在后面学习的单元会有更多的应用，如一元一次式的化简二元一次式的化简多项式的减法都有应用。
4. ${\displaystyle {\overline {AB}}}$读作“线段${\displaystyle AB}$”或“${\displaystyle AB}$线段”，代表${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$两点之间的线段，也代表${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$两点的最近距离。
5. 圆周率小数点后位数永无止尽，故数学上常用希腊符号“${\displaystyle \pi }$(读做ㄆㄞ)”表示。