# 國中數學/國中數學七年級/1-2 正負數的加減

 1-1 正數與負數 ◄ 國中數學七年級1-2 正負數的加減 ► 1-3 正負數的乘除

## 正負數相加

 代表${\displaystyle +1}$的圖示 代表${\displaystyle -1}$的圖示

### 同號數相加

 例題${\displaystyle 1}$計算${\displaystyle 3+2}$的值。
 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (+3)}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle (+2)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (+5)}$

${\displaystyle 3}$顆白球與${\displaystyle 2}$顆白球共有${\displaystyle 5}$顆白球，所以${\displaystyle 3+2=5}$

 例題${\displaystyle 2}$計算${\displaystyle (-3)+(-4)}$的值。
 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (-3)}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle (-4)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (-7)}$

${\displaystyle 3}$顆黑球與${\displaystyle 4}$顆黑球共有${\displaystyle 7}$顆黑球，所以${\displaystyle (-3)+(-4)=-7}$

 例題${\displaystyle 3}$計算${\displaystyle (-33)+(-67)}$的值。
 解因為${\displaystyle -33}$與${\displaystyle -67}$為同號數， 所以${\displaystyle (-33)+(-67)}$ ${\displaystyle =-(33+67)}$ ${\displaystyle =-100}$

 例題${\displaystyle 4}$計算${\displaystyle (-17.3)+(-23.9)}$的值。
 解因為${\displaystyle -17.3}$與${\displaystyle -23.9}$為同號數， 所以${\displaystyle (-17.3)+(-23.9)}$ ${\displaystyle =-(17.3+23.9)}$ ${\displaystyle =-41.2}$

#### 習題

1. ${\displaystyle 7+3}$
2. ${\displaystyle (-7)+(-3)}$
3. ${\displaystyle (-28)+(-53)}$
4. ${\displaystyle (-43.3)+(-51.5)}$

### 異號數相加

#### 為什麼會抵消？

 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle (-1)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$(抵銷光光)
 例題${\displaystyle 5}$計算${\displaystyle (-3)+2}$的值。
 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (-3)}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle (+2)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (-1)}$

${\displaystyle 3}$顆黑球與${\displaystyle 2}$顆白球相加，其中${\displaystyle 2}$顆黑球與${\displaystyle 2}$顆白球互相抵消，白球沒了，黑球還剩下${\displaystyle 1}$顆，所以${\displaystyle (-3)+2=-1}$

 例題${\displaystyle 6}$計算${\displaystyle (-1)+4}$的值。
 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (-1)}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle (+4)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle (+3)}$

${\displaystyle 1}$顆黑球與${\displaystyle 4}$顆白球相加，其中${\displaystyle 1}$顆黑球與${\displaystyle 1}$顆白球互相抵消，黑球沒了，白球還剩下${\displaystyle 3}$顆，所以${\displaystyle (-1)+4=3}$

 例題${\displaystyle 7}$計算${\displaystyle (-33)+67}$的值。
 解因為${\displaystyle -33}$與${\displaystyle 67}$為異號數，而且${\displaystyle |-33|<|67|}$ 所以答案的性質符號與${\displaystyle 67}$相同，為正數， ${\displaystyle (-33)+67}$ ${\displaystyle ={\color {red}+}(67-33)}$ ${\displaystyle =+34}$

 例題${\displaystyle 8}$計算${\displaystyle 3.9+(-6.7)}$的值。
 解因為${\displaystyle 3.9}$與${\displaystyle -6.7}$為異號數，而且${\displaystyle |3.9|<|-6.7|}$ 所以答案的性質符號與${\displaystyle -6.7}$相同，為負數， ${\displaystyle 3.9+(-6.7)}$ ${\displaystyle ={\color {red}-}(6.7-3.9)}$ ${\displaystyle =-2.8}$

#### 習題

1. ${\displaystyle (-7)+5}$
2. ${\displaystyle 7+(-5)}$
3. ${\displaystyle (-68)+123}$
4. ${\displaystyle 2.1+(-52.1)}$

### 交換律

 例題${\displaystyle 9}$分別計算${\displaystyle (-5)+(-4)}$與${\displaystyle (-4)+(-5)}$的值，並比較是否相等。
 解${\displaystyle (-5)+(-4)=-(5+4)=-9}$， ${\displaystyle (-4)+(-5)=-(4+5)=-9}$， 故兩式相等。
 例題${\displaystyle 10}$分別計算${\displaystyle (-5)+4}$與${\displaystyle 4+(-5)}$的值，並比較是否相等。
 解${\displaystyle (-5)+4=-(5-4)=-1}$， ${\displaystyle 4+(-5)=-(5-4)=-1}$， 故兩式相等。

${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$為兩個數，則${\displaystyle {\color {red}a+b=b+a}}$

### 相反數相加

${\displaystyle a}$為任意數，則${\displaystyle {\color {red}a+(-a)=(-a)+a=0}}$

#### 習題

1. ${\displaystyle 55.34+(-55.34)}$
2. ${\displaystyle (-1423)+1423}$

### 加上0

${\displaystyle a}$為任意數，則${\displaystyle {\color {red}a+0=0+a=a}}$

#### 習題

1. ${\displaystyle 0+(-3.1415)}$
2. ${\displaystyle (-5284)+0}$

## 整數的連加

 例題${\displaystyle 11}$計算${\displaystyle (-13)+15+[(-34)+21]}$的值。
 解${\displaystyle (-13)+15+[(-34)+21]}$ ${\displaystyle =(-13)+15+(-13)}$(先算括號) ${\displaystyle =2+(-13)}$(從左而右計算) ${\displaystyle =-11}$

#### 習題

1. ${\displaystyle (-11)+(5+6)}$
2. ${\displaystyle [29+(-17)]+[(-83)+78]}$
3. ${\displaystyle 5.7+(-6.3)+(-7.2)+8.1}$

### 結合律

${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$為三個數，則${\displaystyle {\color {red}(a+b)+c=a+(b+c)}}$
 例題${\displaystyle 12}$分別計算${\displaystyle [(-5)+(-4)]+3}$[註 1]與${\displaystyle (-5)+[(-4)+3]}$的值，並比較是否相等。
 解${\displaystyle [(-5)+(-4)]+3=(-9)+3=-6}$， ${\displaystyle (-5)+[(-4)+3]=(-5)+(-1)=-6}$， 故兩式相等。

### 綜合使用交換律與結合律計算連加算式

 例題${\displaystyle 13}$計算${\displaystyle (-75375923)+(-5878)+75375925}$的值。
 解${\displaystyle (-75375923)+(-5878)+75375925}$ ${\displaystyle =(-75375923)+[(-5878)+75375925]}$ ${\displaystyle =(-75375923)+[75375925+(-5878)]}$(交換律) ${\displaystyle =[(-75375923)+75375925]+(-5878)}$(結合律) ${\displaystyle =2+(-5878)}$ ${\displaystyle =-5876}$

#### 習題

1. ${\displaystyle 1234+(-87653321)+87653320}$
2. ${\displaystyle (-5443)+[(-4557)+(-17385)]}$
3. ${\displaystyle [(-145.3347)+14]+146.3347}$

## 正負數相減

### 同號數相減

 例題${\displaystyle 14}$計算${\displaystyle 5-3}$的值。

${\displaystyle 5}$顆白球拿走${\displaystyle 3}$顆白球還剩下${\displaystyle 2}$顆白球，所以${\displaystyle 5-3=2}$

 例題${\displaystyle 15}$計算${\displaystyle (-7)-(-4)}$的值。

${\displaystyle 7}$顆黑球拿走${\displaystyle 4}$顆黑球還剩下${\displaystyle 3}$顆黑球，所以${\displaystyle (-7)-(-4)=-3}$

 問題${\displaystyle 1}$計算${\displaystyle 1-3}$的值。

${\displaystyle 1}$顆白球拿走${\displaystyle 3}$顆白球……。根本不夠拿啊……

 這是${\displaystyle 1}$ 這也是${\displaystyle 1}$ 這還是${\displaystyle 1}$

 例題${\displaystyle 16}$計算${\displaystyle 1-3}$的值。

 例題${\displaystyle 17}$計算${\displaystyle (-1)-(-4)}$的值。

### 異號數相減

 例題${\displaystyle 18}$計算${\displaystyle (-3)-5}$的值。

 例題${\displaystyle 19}$計算${\displaystyle 5-(-2)}$的值。

### 減法與加法的關係

${\displaystyle 1-(-3)}$
${\displaystyle 1+3}$
${\displaystyle 1-(-3)=4}$
${\displaystyle 1+3=4}$

${\displaystyle (-1)-(-3)}$
${\displaystyle (-1)+3}$

${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle (-1)-(-3)=2}$
${\displaystyle (-1)+3=2}$

#### 結論

 減掉一個數，等於加上這個數的相反數。即若${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$為兩個數，則${\displaystyle {\color {red}a-b=a+(-b)}}$。

 例題${\displaystyle 20}$計算${\displaystyle 39-(-28)}$的值。
 解${\displaystyle 39-(-28)}$ ${\displaystyle =39+28}$ ${\displaystyle =67}$

 例題${\displaystyle 21}$計算${\displaystyle (-2.7)-(-8.44)}$的值。
 解${\displaystyle (-2.7)-(-8.44)}$ ${\displaystyle =(-2.7)+8.44}$ ${\displaystyle =+(8.44-2.7)}$ ${\displaystyle =5.74}$
 例題${\displaystyle 22}$計算${\displaystyle (-2.7)-8.44}$的值。
 解${\displaystyle (-2.7)-8.44}$ ${\displaystyle =(-2.7)+(-8.44)}$ ${\displaystyle =-(2.7+8.44)}$ ${\displaystyle =-11.14}$
 例題${\displaystyle 23}$計算${\displaystyle 8.44-(-2.7)}$的值。
 解${\displaystyle 8.44-(-2.7)}$ ${\displaystyle =8.44+2.7}$ ${\displaystyle =11.14}$

#### 習題

1. ${\displaystyle (-13)-(-7)}$
2. ${\displaystyle (-83)-(-102)}$
3. ${\displaystyle 15-(-17)}$
4. ${\displaystyle (-12)-13}$
5. ${\displaystyle 3.14-(-3.14)}$
6. ${\displaystyle (-2.33)-1.67}$

## 正負數加減混合運算

1. 有絕對值要先算
2. 有括號要先算，順序依序為${\displaystyle ()\rightarrow []\rightarrow }${}[註 2]
3. 沒括號時，從左而右計算

 例題${\displaystyle 24}$計算${\displaystyle (-57)+[(-43)-(-62)]}$之值。
 解${\displaystyle (-57)+[(-43)-(-62)]}$ ${\displaystyle =(-57)+[(-43)+62]}$(減的改成加的) ${\displaystyle =(-57)+[+(62-43)]}$(先算括號) ${\displaystyle =(-57)+19}$ ${\displaystyle =-(57-19)}$ ${\displaystyle =-38}$
 例題${\displaystyle 25}$計算${\displaystyle (-37)+[-33+[(-36)+11]]-17}$之值。
 解${\displaystyle (-37)+[-33-(36-11)]-17}$ ${\displaystyle =(-37)+[(-33)-25]+(-17)}$(減的改成加的) ${\displaystyle =(-37)+[-(25+33)]+(-17)}$(先算括號) ${\displaystyle =(-37)+(-58)+(-17)}$ ${\displaystyle =-(37+58)+(-17)}$(從左而右計算) ${\displaystyle =(-95)+(-17)}$ ${\displaystyle =-(95+17)}$ ${\displaystyle =-112}$

### 習題

1. ${\displaystyle 13+[(-8)+(-24)]}$
2. ${\displaystyle [37+(-54)]-[(-24)-26]}$
3. ${\displaystyle 11+(-22)-[33+(-44)]}$

 例題${\displaystyle 26}$計算${\displaystyle |-23.4|+|(-15.3)-(-1.3)|-26.6}$之值。
 解${\displaystyle |-23.4|+|(-15.3)-(-1.3)|-26.6}$ ${\displaystyle =23.4+|(-15.3)+1.3|-26.6}$(計算絕對值部分) ${\displaystyle =23.4+|-14|-26.6}$(先算括號) ${\displaystyle =23.4+14-26.6}$ ${\displaystyle =37.4-26.6}$(從左而右計算) ${\displaystyle =10.8}$

### 習題

1. ${\displaystyle 13+|-8|+(-24)}$
2. ${\displaystyle |37+24|-|24-37|}$
3. ${\displaystyle 15-|(-8)+(-7)|+|-23|}$

### 去括號規則

${\displaystyle 5{\color {red}-}(7{\color {red}-}3)}$
${\displaystyle 5{\color {red}-}7{\color {blue}-}3}$
${\displaystyle 5{\color {red}-}7{\color {red}+}3}$

${\displaystyle =5-4}$

${\displaystyle ={\color {red}1}}$

${\displaystyle =(-2)-3}$

${\displaystyle =(-2)+(-3)}$
${\displaystyle =-(2+3)}$
${\displaystyle =-5}$

${\displaystyle =(-2)+3}$

${\displaystyle =+(3-2)}$
${\displaystyle ={\color {red}1}}$

${\displaystyle (-5){\color {red}-}[7{\color {red}+}(-2)]}$
${\displaystyle (-5){\color {red}-}7{\color {blue}+}(-2)}$
${\displaystyle (-5){\color {red}-}7{\color {red}-}(-2)}$

${\displaystyle =(-5)-5}$

${\displaystyle =(-5)+(-5)}$
${\displaystyle =-(5+5)}$
${\displaystyle ={\color {red}-10}}$

${\displaystyle =(-5)+(-7)+(-2)}$

${\displaystyle =-(5+7)+(-2)}$
${\displaystyle =(-12)+(-2)}$
${\displaystyle =(-12+2)}$
${\displaystyle =-14}$

${\displaystyle =(-5)+(-7)+2}$

${\displaystyle =-(5+7)+2}$
${\displaystyle =(-12)+2}$
${\displaystyle =-(12-2)}$
${\displaystyle ={\color {red}-10}}$

 設${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$為兩個數，則 ${\displaystyle -(a+b)=-a-b}$ ${\displaystyle -(a-b)=-a+b}$ ${\displaystyle -(-a+b)=a-b}$ ${\displaystyle -(-a-b)=a+b}$

 例題${\displaystyle 27}$計算${\displaystyle (-15963471)-[(-15963472)-(-12345)]}$之值。
 解${\displaystyle (-15963471)-[(-15963472)-(-12345)]}$ ${\displaystyle =(-15963471){\color {red}-}[{\color {red}-}15963472{\color {red}+}12345]}$ ${\displaystyle =(-15963471){\color {red}+}15963472{\color {red}-}12345}$ ${\displaystyle =1-12345}$ ${\displaystyle =-12344}$

### 習題

1. ${\displaystyle (-166666)-[(-166664)+(-354)]}$
2. ${\displaystyle 39717185-[(-12349999)-(-39717185)]}$

## 數線上兩點之間的距離

• 我們知道這兩家人只是來回於豐原交流道與西螺服務區之間，所以這兩家人移動的距離應該是相同的，而他們移動的距離都是${\displaystyle 229.3-168.3=61}$公里。

 在數線上任兩點的距離等於兩個點所代表的數當中比較大的數減掉比較小的數的結果。


• 因為定義上的關係，所以任意兩相異點之間的距離都是正數

1. ${\displaystyle a>b}$時，${\displaystyle {\overline {AB}}=a-b}$
2. ${\displaystyle b>a}$時，${\displaystyle {\overline {AB}}=b-a}$

 數線上${\displaystyle A(a)}$與${\displaystyle B(b)}$的距離等於${\displaystyle |a-b|=|b-a|}$。


 例題${\displaystyle 28}$數線上有三點${\displaystyle A(7)}$、${\displaystyle B(-13)}$、${\displaystyle C(-3)}$，試求： ${\displaystyle (1){\overline {AB}}}$ ${\displaystyle (2){\overline {AC}}}$ ${\displaystyle (3){\overline {BC}}}$
 解 ${\displaystyle (1){\overline {AB}}=|7-(-13)|=|20|=20}$ ${\displaystyle (2){\overline {AC}}=|7-(-3)|=|10|=10}$ ${\displaystyle (3){\overline {BC}}=|(-13)-(-3)|=|-10|=10}$

### 中點

 當數線上一點${\displaystyle C}$與另外相異兩點${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$的距離相等，則我們稱${\displaystyle C}$點為${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$兩點的中點，也可以說${\displaystyle C}$點為${\displaystyle {\overline {AB}}}$的中點。


1. 因為中點到兩端點的距離相等，所以先計算到兩端點的距離${\displaystyle {\overline {AB}}}$，中點到${\displaystyle A}$點或${\displaystyle B}$點的距離都是${\displaystyle {\overline {AB}}\div 2}$
2. ${\displaystyle a，則中點的位置${\displaystyle =a+{\overline {AB}}\div 2}$${\displaystyle =b-{\overline {AB}}\div 2}$
 例題${\displaystyle 29}$數線上兩點${\displaystyle A(19)}$、${\displaystyle B(-11)}$，試求${\displaystyle {\overline {AB}}}$的中點坐標。
 解 ${\displaystyle {\overline {AB}}=|19-(-11)|=|30|=30}$，${\displaystyle 30\div 2=15}$ 因為${\displaystyle -11<19}$，所以中點坐標${\displaystyle =-11+15=4}$

## 註解

1. []為中括號符號，通常在計算算式時會加在小括號外面。但是在電腦程式或是數學軟體GeoGebra等等中，大部分不區分括號的差別，統一使用小括號()。
2. 這是大括號符號，通常加在中括號外面。
3. 在後面學習的單元會有更多的應用，如一元一次式的化簡二元一次式的化簡多項式的減法都有應用。
4. ${\displaystyle {\overline {AB}}}$讀作「線段${\displaystyle AB}$」或「${\displaystyle AB}$線段」，代表${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$兩點之間的線段，也代表${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$兩點的最近距離。
5. 圓周率小數點後位數永無止盡，故數學上常用希臘符號「${\displaystyle \pi }$(讀做ㄆㄞ)」表示。