國中數學/國中數學七年級/1-4 指數記法與科學記號

1-3 正負數的乘除

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國中數學七年級 1-4 指數記法與科學記號

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1-5 其他的數

本單元將要介紹連乘的簡易表示法，並且了解科學記號的表示方法。關於指數律，請見2-5 指數律。

指數為正整數

當$n$為正整數，$a$為任意數時，我們定義$a^n=\underset{n}{\underbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a}}$。

如$5^3=5\times 5\times 5=125$。

名詞介紹

在式子$a^n$當中：

1. $a^n$讀作「$a$的$n$次方」。
2. $a$稱作底數。
3. $n$稱作指數。
4. 當指數$n=1$時，我們會省略不寫。
5. 當指數$n=2$時，我們有時會稱$a^2$為$a$的平方。
6. 當指數$n=3$時，我們有時會稱$a^3$為$a$的立方。

如：在$7^4$中，

• $7^4$的底數為$7$。
• $7^4$的指數為$4$。
• $7^4$稱作「七的四次方」。

有時人們也會將$a^n$用「a^n」這樣的形式表示。

底數為正整數

底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以$n$次。

如：$7^4=7\times 7\times 7\times 7=2401$。

1的任意整數次方都是1。

底數為0

0的任意正整數次方都是0。

底數為負整數

底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以$n$次。

如：$(-7{)}^4=(-7)\times (-7)\times (-7)\times (-7)=2401$。

但是必須注意：

1. $-a^n$與$(-a{)}^n$意義不相同，$-a^n$是$a^n$的相反數，$(-a{)}^n$是$\underset{n}{\underbrace{(-a)\times (-a)\times (-a)\times \cdots \times (-a)}}$。
2. -1的偶數次方為1，-1的奇數次方為-1。
3. 當指數為奇數時，答案為負數。(即$(-a{)}^n=-a^n$)
4. 當指數為偶數時，答案為正數。(即$(-a{)}^n=a^n$)

例題$1$ 計算以下各式的值。 $\begin{array}{cccccc}(1)& (-3{)}^3& (2)& 3^3& (3)& -3^3\end{array}$

解 $\begin{array}{cc}(1)& (-3{)}^3=(-3)\times (-3)\times (-3)=-27\\ (2)& 3^3=3\times 3\times 3=27\\ (3)& -3^3=-(3\times 3\times 3)=-27\end{array}$

可以注意到指數$3$為奇數，所以$(-3{)}^3=-3^3$。

例題$2$ 計算以下各式的值。 $\begin{array}{cccccc}(1)& (-2{)}^6& (2)& 2^6& (3)& -2^6\end{array}$

解 $\begin{array}{cc}(1)& (-2{)}^6=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=64\\ (2)& 2^6=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=64\\ (3)& -2^6=-(2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2)=-64\end{array}$

可以注意到指數$6$為偶數，所以$(-2{)}^6=2^6$。

小測

答對得到的分數：
答錯的分數：
忽略問題的系數：

1

$(-4{)}^3=?$

	$12$
	$-12$
	$64$
	$-64$

2

$(-3{)}^4=?$

	$12$
	$-12$
	$81$
	$-81$

3

$(-4{)}^7$與以下哪一個數相等？

	$4^7$
	$-4^7$

4

$(-5{)}^6$與以下哪一個數相等？

	$5^6$
	$-5^6$

5

當$◻$是多少的時候，$(-1{)}^{◻}$的值是$1$？

	$12$
	$13$

6

$(-7{)}^{12},(-7{)}^{13},(-7{)}^{14},(-7{)}^{15}$中，哪一個數最大？

	$(-7{)}^{12}$
	$(-7{)}^{13}$
	$(-7{)}^{14}$
	$(-7{)}^{15}$

7

哪一個數是正數？

	$(-22{)}^{23}$
	$(-23{)}^{22}$

底數為小數

底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以$n$次。

如：$0.3^3=0.3\times 0.3\times 0.3=0.027$。

但是必須注意：

1. 當底數$0<a<1$時，$n$愈大，$a^n$的值就愈小。
2. 當底數$a>1$時，$n$愈大，$a^n$的值就愈大。

例題$3$ 計算以下各式的值。 $\begin{array}{cccccccc}(1)& 0.4^3& (2)& (-0.4{)}^3& (3)& 0.5^4& (4)& (-0.5{)}^4\end{array}$

解 $\begin{array}{cc}(1)& 0.4^3=0.4\times 0.4\times 0.4=0.16\times 0.4=0.064\\ (2)& (-0.4{)}^3=(-0.4)\times (-0.4)\times (-0.4)=0.16\times (-0.4)=-0.064\\ (3)& 0.5^4=0.5\times 0.5\times 0.5\times 0.5=0.25\times 0.5\times 0.5=0.125\times 0.5=0.0625\\ (4)& (-0.5{)}^4=(-0.5)\times (-0.5)\times (-0.5)\times (-0.5)=0.25\times (-0.5)\times (-0.5)=(-0.125)\times (-0.5)=0.0625\end{array}$

小測

答對得到的分數：
答錯的分數：
忽略問題的系數：

1

$1.2^2=?$

	$1.44$
	$14.4$

2

$(-1.2{)}^2=?$

	$1.44$
	$-1.44$
	$14.4$
	$-14.4$

3

$0.7^3=?$

	$0.343$
	$34.3$

4

$(-0.7{)}^3=?$

	$0.343$
	$34.3$
	$-0.343$
	$-34.3$

5

$(-1.1{)}^3=?$

	$0.1331$
	$1.331$
	$-0.1331$
	$-1.331$

雖然以下兩題都是比較次方數的大小，但是答案卻不盡相同，請讀者好好體會。

例題$4$ 在$(-0.99{)}^3,(-0.99{)}^4,(-0.99{)}^5,(-0.99{)}^6$四數當中，哪一個數最大？哪一個數最小？

解 因為負數的偶數次方為正數，故$(-0.99{)}^4,(-0.99{)}^6$為正數；負數的奇數次方為負數，故$(-0.99{)}^3,(-0.99{)}^5$為負數。 而$0.99<1$，所以正數的次方愈多就會愈小，所以$(-0.99{)}^4>(-0.99{)}^6$；負數的次方愈多則愈大，故$(-0.99{)}^3<(-0.99{)}^5$，這四個數的大小順序依序為$(-0.99{)}^4>(-0.99{)}^6>(-0.99{)}^5>(-0.99{)}^3$，最大的數為$(-0.99{)}^4$，最小的數為$(-0.99{)}^3$。

例題$5$ 在$(-1.01{)}^3,(-1.01{)}^4,(-1.01{)}^5,(-1.01{)}^6$四數當中，哪一個數最大？哪一個數最小？

解 因為負數的偶數次方為正數，故$(-1.01{)}^4,(-1.01{)}^6$為正數；負數的奇數次方為負數，故$(-1.01{)}^3,(-1.01{)}^5$為負數。 而$1.01>1$，所以正數的次方愈多就會愈大，所以$(-1.01{)}^4<(-1.01{)}^6$；負數的次方愈多則愈小，故$(-1.01{)}^3>(-1.01{)}^5$，這四個數的大小順序依序為$(-1.01{)}^6>(-1.01{)}^4>(-1.01{)}^3>(-1.01{)}^5$，最大的數為$(-1.01{)}^6$，最小的數為$(-1.01{)}^5$。

小測

答對得到的分數：
答錯的分數：
忽略問題的系數：

1

選出選項當中最大的選項。

	$1.44^{12}$
	$1.44^{13}$
	$1.44^{14}$
	$1.44^{15}$

2

選出選項當中最大的選項。

	$0.44^{12}$
	$0.44^{13}$
	$0.44^{14}$
	$0.44^{15}$

3

選出選項當中最大的選項。

	$(-1.69{)}^{12}$
	$(-1.69{)}^{13}$
	$(-1.69{)}^{14}$
	$(-1.69{)}^{15}$

4

選出選項當中最大的選項。

	$(-0.69{)}^{12}$
	$(-0.69{)}^{13}$
	$(-0.69{)}^{14}$
	$(-0.69{)}^{15}$

指數與四則運算

在數學式的運算中，有指數必須先算。 如：$3\times 5^2=3\times 25=75$，而不是$3\times 5^2=15^2=225$。

例題$6$ 計算以下各式的值。 $\begin{array}{cc}(1)& 2^4+(-3{)}^3-7^2\\ (2)& [20+(-5{)}^2]÷5\end{array}$

解 小提醒 $(1)$同號數相加，符號取同，數值相加；異號數相加，符號取絕對值較大者，數值相減。 $(2)$減去一個數，就等於加上它的相反數。 $\begin{array}{cc}(1)2^4+(-3{)}^3-7^2& =16+(-27)-49\\ & =16+(-27)+(-49)\\ & =(-11)+(-49)\\ & =-60\end{array}$ $\begin{array}{cc}(2)[20+(-5{)}^2]÷5& =[20+25]÷5\\ & =45÷5\\ & =9\end{array}$

使用計算機計算指數

在工程計算機會有「$x^y$」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式，在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「$x^y$」→「指數」，不過還是要依據計算機功能來決定。

例如要算$7^4$就依序按下「$7$」→「$x^y$」→「$4$」即可得到螢幕顯示$2401$。

如果你只有傳統計算機，你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「$\times$」→「底數」→「$=$」→$\cdots$→「$=$」，按「$=$」的次數取決於指數數字，要按下「指數$-1$」次。

例如要算$7^4$就依序按下「$7$」→「$\times$」→「$7$」→「$=$」→「$=$」→「$=$」(共$4-1=3$次「$=$」)即可得到螢幕顯示$2401$。

因為螢幕顯示的數字具有上限的限制，故有時計算的結果為近似值。如「$2^{100}$」實際上是「$1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376$」，但用計算機計算「$2^{100}$」可能會出現「$1.2676506\times 10^{30}$」或「$12676506E+30$」的字樣。那這代表的意思為何？我們會在底下的科學記號做進一步的說明。

指數的應用

• 林多紙草書第79題
• 草履蟲的無性生殖。在恰當的環境下，每次分裂1隻可以分裂成2隻，再一次分裂就會從2隻變4隻，再一次分裂就會從4隻變8隻，……，所以經過$n$次分裂，原本1隻草履蟲會變成$2^n$隻草履蟲。
• 如果能夠摺一張厚度$0.1$毫米的紙$42$次，那麼就可以抵達月球。

10的次方

比較值得一提的是$10$的次方。底下列出一些常用$10$的次方數。

$10$的次方數	代表數字	中文
$10^0$	$1$	一
$10^1$	$10$	十
$10^2$	$100$	百
$10^3$	$1000$	千
$10^4$	$10000$	萬
$10^5$	$100000$	十萬
$10^6$	$1000000$	百萬
$10^7$	$10000000$	千萬
$10^8$	$100000000$	億
$10^{12}$	$1000000000000$	兆

可以看得出來，$10^n$的值等於$1$後面有$n$個$0$。

另外$10^{-n}$代表$\frac{1}{10^n}$，也就是所謂的十分位、百分位……等數。

$10$的次方數	代表分數	代表小數	位值
$10^{-1}$	$\frac{1}{10}$	$0.1$	十分位
$10^{-2}$	$\frac{1}{100}$	$0.01$	百分位
$10^{-3}$	$\frac{1}{1000}$	$0.001$	千分位
$10^{-4}$	$\frac{1}{10000}$	$0.0001$	萬分位

注意藍色鋪底的$0$數量，恰好等於次方數$-n$的絕對值。

例題$7$ $(1)\frac{1}{10000000}=10^{◻}$，請問$◻$要填入多少？ $(2)0.00000000001=10^{◻}$，請問$◻$要填入多少？

解 $(1)\frac{1}{10000000}$有$7$個零，所以$\frac{1}{10000000}$代表$10^{-7}$，即$◻=-7$。 $(2)0.00000000001$有$11$個零，所以$0.00000000001$代表$10^{-11}$，即$◻=-11$。

科學記號

在科學上常常會遇到一些很大的數或是很小的數。比如說地球的質量大約為$5972000000000000000000000$公斤，又如大腸桿菌的長度大小大約是$0.0000015$公尺。這樣很大的數或很小的數如果一直重複抄寫，很容易會多寫一個$0$或少寫一個$0$導致數據的不正確，於是將這些數字有一個統一的表示法就相當重要了。將一個整數$m$寫成$a\times 10^n$，其中$a$介於$1$到$10$之間(可以等於$1$但不能等於$10$)，$n$為整數，我們稱$a\times 10^n$為$m$的科學記號表示法。如$50000=5\times 10000=5\times 10^4$，$5\times 10^4$是一個科學記號的表示法。而$37\times 10^4$不是科學記號表示法，因為$37$超過$10$；$4.5\times 10^{1.3}$也不是科學記號表示法，因為$1.3$不是整數。
那要怎麼把一個正數表示為科學記號呢？

將比1大的數字轉換成科學記號

首先注意$a\times 10^n$就代表$a$的小數點往右移動$n$位。如$2.345\times 1000000=2|345000.$，所以想要找出$a$，只需要反著作，也就是將小數點往左移動到範圍為$1$到$10$之間，可以等於$1$但不能等於$10$。
我們以$23450000$來作例子，因為$2|3450000.$，故$a=2.345$；藍色數字總共有$7$個，而且是向左移動，故$23450000=2.345\times 10^7$。

例題$8$ 請寫出以下各數的科學記號。 $\begin{array}{cccc}(1)& 2750000& (2)& 48000000\end{array}$

解 $\begin{array}{ccc}(1)& 2750000& \\ =& 2|750000& \\ =& 2.75\times 10^6& \end{array}$ $\begin{array}{ccc}(2)& 48000000& \\ =& 4|8000000& \\ =& 4.8\times 10^7& \end{array}$

將比1小的數字轉換成科學記號

再來我們要學習如何將比$1$小的數字換成科學記號。首先注意$a\times 10^{-n}$就代表$a\times \frac{1}{10^n}$，也就是$a$的小數點往左移動$n$位。如$2.345\times \frac{1}{100000}=0.00002|345$，所以想要找出$a$，只需要反著作，也就是將小數點往右移動到範圍為$1$到$10$之間，可以等於$1$但不能等於$10$。
我們以$0.00002345$來作例子，因為$0.00002|345$，故$a=2.345$；藍色數字總共有$5$個，而且是向右移動，故$0.00002345=2.345\times 10^{-5}$。

例題$9$ 請寫出以下各數的科學記號。 $\begin{array}{cccc}(1)& 0.000007& (2)& 0.000000924\end{array}$

解 $\begin{array}{ccc}(1)& 0.000007& \\ =& 0.000007|& \\ =& 7\times 10^{-6}& \end{array}$ $\begin{array}{ccc}(2)& 0.000000924& \\ =& 0.0000009|24& \\ =& 9.24\times 10^{-7}& \end{array}$

習題
請寫出以下各數的科學記號。
$\begin{array}{ccccccccccc}(1)& 900000& & (2)& 58700000& & (3)& 0.000023& & (4)& 0.000000000314\end{array}$

科學記號的展開

科學記號要還原回原本的數字，只要直接乘開即可。，也可以用移動小數點的方式計算。

大於1的正數展開

如$2.345\times 10^7=2.345\times 10000000=23450000$，也可以將小數點往左移動$7$格。
在這邊你可以注意一下$2.345\times 10^7=23450000$是一個$8$位數。

例題$10$ 乘開以下科學記號。 $\begin{array}{cccc}(1)& 7.3\times 10^3& (2)& 5.734\times 10^7\end{array}$

解 $(1)$方法一、直接乘開：$7.3\times 10^3=7.3\times 1000=7300$。 $(1)$方法二、移動小數點：$7.3\times 10^3$，將$7.3$往右移動$3$位為$7|300.$。 $(2)$方法一、直接乘開：$5.734\times 10^7=5.734\times 10000000=57340000$。 $(2)$方法二、移動小數點：$5.734\times 10^7$，將$5.734$往右移動$7$位為$5|7340000.$。

習題
展開下列各式，並觀察它們整數部分是幾位數。

題號	科學記號	展開的結果	整數部分為幾位數
$(1)$	$4.5\times 10^3$
$(2)$	$4.5\times 10^4$
$(3)$	$7.34\times 10^6$
$(4)$	$7.34\times 10^7$

你有發現什麼嗎？最後一行的數字和藍色數字有什麼關係？

小於1的正數展開

又如$2.345\times 10^{-5}=2.345\times 0.00001=0.00002345$。也可以將小數點往右移動$5$格。

例題$11$ 乘開以下科學記號。 $\begin{array}{cccc}(1)& 7.3\times 10^{-3}& (2)& 5.734\times 10^{-7}\end{array}$

解 $(1)$方法一、直接乘開：$7.3\times 10^{-3}=7.3\times 0.001=0.0073$。 $(1)$方法二、移動小數點：$7.3\times 10^{-3}$，將$7.3$往左移動$3$位為$0.007|3$。 $(2)$方法一、直接乘開：$5.734\times 10^{-7}=5.734\times 0.0000001=0.0000005734$。 $(2)$方法二、移動小數點：$5.734\times 10^{-7}$，將$5.734$往左移動$7$位為$0.0000005|734$。

習題
展開下列各式，並觀察它們小數點後第幾位開始出現不為$0$的數字。

題號	科學記號	展開的結果	小數點後第幾位開始出現不為$0$的數字
$(1)$	$4.5\times 10^{-3}$
$(2)$	$4.5\times 10^{-4}$
$(3)$	$7.34\times 10^{-6}$
$(4)$	$7.34\times 10^{-7}$

你有發現什麼嗎？最後一行的數字和綠色數字的絕對值有什麼關係？

科學記號的數量級

若$a\times 10^n$是科學記號，則$10^n$稱為$a\times 10^n$的數量級。如$23450000=2.345\times 10^7$，則稱$10^7$為$23450000=2.345\times 10^7$的數量級。
由前面科學記號的展開，我們可以發現數量級與數的關聯性為：

1. 若$n$是$0$或正整數，則$a\times 10^n$的整數部分為$n+1$位數。
2. 若$n$是負整數，則$a\times 10^n$小數點後第$|n|$位開始不是$0$。

例題$12$ $(1)3.89\times 10^{15}$乘開之後，在小數點與第一個非零數字$9$之間總共有幾個零？ $(2)7.47\times 10^{-13}$乘開之後，小數點後第$15$位是多少？

解 $(1)3.89\times 10^{15}$乘開之後是$15+1=16$位數，而其中$3,8,9$佔了三個位數，所以會有$16-3=13$個零。 $(2)7.47\times 10^{-13}$乘開之後，小數點後第$13$位不是$0$，是$7$，所以小數點後第$14$位是$4$，小數點後第$15$位是$7$。

將不是科學記號的數轉換成科學記號

將一個不是科學記號的數，如$37\times 10^{21}$轉換成科學記號，應該要怎麼做呢？我們底下舉例說明：

例題$13$ 將以下各數寫成科學記號。 $\begin{array}{cccc}(1)& 37\times 10^{21}& (2)& 0.00057\times 10^{12}\\ (3)& 45000\times 10^{-15}& (4)& 0.0000634\times 10^{-17}\end{array}$

解 $(1)37\times 10^{21}$要將$37$的小數點向左移動$1$位變成$3.7|$，因為是向左移動，所以次方數加1，$37\times 10^{21}=3.7\times 10^{21+1}=3.7\times 10^{22}$。 $(2)0.00057\times 10^{12}$要將$0.00057$的小數點向右移動$4$位變成$0|0005.7$，因為是向右移動，所以次方數減4，$0.00057\times 10^{12}=5.7\times 10^{12-4}=5.7\times 10^8$。 $(3)45000\times 10^{-15}$要將$45000$的小數點向左移動$4$位變成$4.5000|$，因為是向左移動，所以次方數加4，$45000\times 10^{-15}=4.5\times 10^{-15+4}=4.5\times 10^{-11}$。 $(4)0.0000634\times 10^{-17}$要將$0.0000634$的小數點向右移動$5$位變成$0|00006.34$，因為是向右移動，所以次方數減5，$0.0000634\times 10^{-17}=6.34\times 10^{-17-5}=6.34\times 10^{-22}$。

科學記號的大小

科學記號的大小比較：若$a\times 10^m$與$b\times 10^n$皆是科學記號，則：

1. 先比較$m$與$n$的大小。
2. 如果$m,n$一樣大，則再比較$a$、$b$的大小。

例子如下。

例題$14$ 比較以下各題的大小，在$◻$填入$>$或$<$。 $\begin{array}{cccc}(1)& 7.3\times 10^{15}◻9.4\times 10^{13}& (2)& 5.73\times 10^{-22}◻6.37\times 10^{-22}\end{array}$

解 $(1)$因為$10$的次方數$15>13$，所以$7.3\times 10^{15}>9.4\times 10^{13}$，$◻$填入$>$。 $(2)$雖然$10$的次方數$-22=-22$但$5.73<6.37$，所以$5.73\times 10^{-22}<6.37\times 10^{-22}$，$◻$填入$<$。

更多資料

• 指數(高中數學)

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