跳转到内容

国中数学/国中数学七年级/1-4 指数记法与科学记号

维基教科书,自由的教学读本
 1-3 正负数的乘除 国中数学七年级
1-4 指数记法与科学记号
1-5 其他的数 

本单元将要介绍连乘的简易表示法,并且了解科学记号的表示方法。关于指数律,请见2-5 指数律

指数为正整数

[编辑]

为正整数[注 1]为任意数时,我们定义

名词介绍

[编辑]

在式子当中:

  1. 读作“次方”。
  2. 称作底数
  3. 称作指数
  4. 当指数时,我们会省略不写。
  5. 当指数时,我们有时会称平方
  6. 当指数时,我们有时会称立方

如:在中,

  • 的底数为
  • 的指数为
  • 称作“七的四次方”。

有时人们也会将用“a^n”这样的形式表示。

底数为正整数

[编辑]

底数为正整数的指数运算就是直接将正整数乘以次。

如:

1的任意整数次方都是1[注 2]

底数为0

[编辑]

0的任意正整数次方都是0[注 3]

底数为负整数

[编辑]

底数为负整数的指数运算就是直接将负整数乘以次。

如:

但是必须注意:

  1. 意义不相同,相反数
  2. -1的偶数次方为1,-1的奇数次方为-1。
  3. 当指数为奇数时,答案为负数。(即)
  4. 当指数为偶数时,答案为正数。(即)
例题
计算以下各式的值。

可以注意到指数为奇数,所以

例题
计算以下各式的值。

可以注意到指数为偶数,所以

小测

  

1

2

3 与以下哪一个数相等?

4 与以下哪一个数相等?

5 是多少的时候,的值是

6 中,哪一个数最大?

7 哪一个数是正数?


底数为小数

[编辑]

底数为小数的指数运算就是直接将小数乘以次。

如:

但是必须注意:

  1. 当底数时,愈大,的值就愈
  2. 当底数时,愈大,的值就愈
例题
计算以下各式的值。

小测

  

1

2

3

4

5

虽然以下两题都是比较次方数的大小,但是答案却不尽相同,请读者好好体会。

例题
四数当中,哪一个数最大?哪一个数最小?

因为负数的偶数次方为正数,故为正数;负数的奇数次方为负数,故为负数。
,所以正数的次方愈多就会愈小,所以;负数的次方愈多则愈大,故,这四个数的大小顺序依序为,最大的数为,最小的数为


例题
四数当中,哪一个数最大?哪一个数最小?

因为负数的偶数次方为正数,故为正数;负数的奇数次方为负数,故为负数。
,所以正数的次方愈多就会愈大,所以;负数的次方愈多则愈小,故,这四个数的大小顺序依序为,最大的数为,最小的数为

小测

  

1 选出选项当中最大的选项。

2 选出选项当中最大的选项。

3 选出选项当中最大的选项。

4 选出选项当中最大的选项。


指数与四则运算

[编辑]

在数学式的运算中,有指数必须先算。 如:,而不是

例题
计算以下各式的值。

小提醒
同号数相加,符号取同,数值相加;异号数相加,符号取绝对值较大者,数值相减。
减去一个数,就等于加上它的相反数。


使用计算机计算指数

[编辑]

在工程计算机会有“”这样的按键。根据功能的不同也有不同的输入方式,在大部分的情况都是依序输入“底数”→“”→“指数”,不过还是要依据计算机功能来决定。

例如要算就依序按下“”→“”→“”即可得到萤幕显示

如果你只有传统计算机,你还是可以计算指数为正整数的情形。只要依序按下“底数”→“”→“底数”→“”→→“”,按“”的次数取决于指数数字,要按下“指数”次。

例如要算就依序按下“”→“”→“”→“”→“”→“”(共次“”)即可得到萤幕显示

因为萤幕显示的数字具有上限的限制,故有时计算的结果为近似值。如“”实际上是“”,但用计算机计算“”可能会出现“”或“”的字样。那这代表的意思为何?我们会在底下的科学记号做进一步的说明。

指数的应用

[编辑]
  • 林多纸草书第79题[课外连结 1]
  • 草履虫的无性生殖[课外连结 2]。在恰当的环境下,每次分裂1只可以分裂成2只,再一次分裂就会从2只变4只,再一次分裂就会从4只变8只,……,所以经过次分裂,原本1只草履虫会变成只草履虫。
  • 如果能够折一张厚度毫米的纸次,那么就可以抵达月球。

10的次方

[编辑]

比较值得一提的是的次方。底下列出一些常用的次方数。

的次方数
代表数字
中文
十万
百万
千万
亿

可以看得出来,的值等于后面有

另外代表,也就是所谓的十分位、百分位……等数。

的次方数
代表分数
代表小数
位值
十分位
百分位
千分位
万分位

注意蓝色铺底的数量,恰好等于次方数绝对值

例题
,请问要填入多少?

,请问要填入多少?

个零,所以代表,即
个零,所以代表,即

科学记号

[编辑]

在科学上常常会遇到一些很大的数或是很小的数。比如说地球的质量大约为公斤[注 4],又如大肠杆菌的长度大小大约是公尺[注 5]。这样很大的数或很小的数如果一直重复抄写,很容易会多写一个或少写一个导致数据的不正确,于是将这些数字有一个统一的表示法就相当重要了。将一个整数写成[注 6],其中介于之间(可以等于但不能等于[注 7]),为整数,我们称科学记号表示法。如是一个科学记号的表示法。而不是科学记号表示法,因为超过也不是科学记号表示法,因为不是整数[注 8]
那要怎么把一个正数表示为科学记号呢?

将比1大的数字转换成科学记号

[编辑]

首先注意就代表的小数点往移动位。如,所以想要找出,只需要反著作,也就是将小数点往移动到范围为之间,可以等于但不能等于
我们以来作例子,因为,故;蓝色数字总共有个,而且是向左移动,故

例题
请写出以下各数的科学记号。

将比1小的数字转换成科学记号

[编辑]

再来我们要学习如何将比小的数字换成科学记号。首先注意就代表,也就是的小数点往移动位。如,所以想要找出,只需要反著作,也就是将小数点往移动到范围为之间,可以等于但不能等于
我们以来作例子,因为,故;蓝色数字总共有个,而且是向右移动,故

例题
请写出以下各数的科学记号。

习题
请写出以下各数的科学记号。
[习题解答 1]

科学记号的展开

[编辑]

科学记号要还原回原本的数字,只要直接乘开即可。,也可以用移动小数点的方式计算。

大于1的正数展开

[编辑]

,也可以将小数点往左移动格。
在这边你可以注意一下是一个位数。

例题
乘开以下科学记号。

方法一、直接乘开:
方法二、移动小数点:,将往右移动位为
方法一、直接乘开:
方法二、移动小数点:,将往右移动位为

习题
展开下列各式,并观察它们整数部分是几位数。

题号
科学记号
展开的结果
整数部分为几位数

[习题解答 2]

你有发现什么吗?最后一行的数字和蓝色数字有什么关系?

小于1的正数展开

[编辑]

又如。也可以将小数点往右移动格。

例题
乘开以下科学记号。

方法一、直接乘开:
方法二、移动小数点:,将移动位为
方法一、直接乘开:
方法二、移动小数点:,将移动位为

习题
展开下列各式,并观察它们小数点后第几位开始出现不为的数字。

题号
科学记号
展开的结果
小数点后第几位开始出现不为的数字

[习题解答 3]

你有发现什么吗?最后一行的数字和绿色数字的绝对值有什么关系?

科学记号的数量级

[编辑]

是科学记号,则称为数量级。如,则称的数量级。
由前面科学记号的展开,我们可以发现数量级与数的关联性为:

  1. 或正整数,则的整数部分为位数。
  2. 是负整数,则小数点后第位开始不是
例题
乘开之后,在小数点与第一个非零数字之间总共有几个零?

乘开之后,小数点后第位是多少?

乘开之后是位数,而其中占了三个位数,所以会有个零。
乘开之后,小数点后第位不是,是,所以小数点后第位是,小数点后第位是

将不是科学记号的数转换成科学记号

[编辑]

将一个不是科学记号的数,如转换成科学记号,应该要怎么做呢?我们底下举例说明:

例题
将以下各数写成科学记号。

要将的小数点向移动位变成,因为是向左移动,所以次方数加1
要将的小数点向移动位变成,因为是向右移动,所以次方数减4
要将的小数点向移动位变成,因为是向左移动,所以次方数加4
要将的小数点向移动位变成,因为是向右移动,所以次方数减5

科学记号的大小

[编辑]

科学记号的大小比较:若皆是科学记号,则:

  1. 先比较的大小。
  2. 如果一样大,则再比较的大小。

例子如下。

例题
比较以下各题的大小,在填入

因为的次方数,所以填入
虽然的次方数,所以填入

注释

[编辑]
  1. 在国中阶段只讨论指数为正整数与0的情况(10是例外,有讨论10的整数次方)。
  2. 因为1自己乘几次都是1。
  3. 因为0自己乘几次都是0。
  4. 根据Google引擎搜寻的资料[1]
  5. 大肠杆菌长为,而。详见此文章:大肠杆菌
  6. 电脑或是某些计算机会显示为,如Google搜寻引擎找寻地球的质量会出现,这个数意思就是,也是科学记号表示法。
  7. 可以记成,此符号会在7-1 一元一次不等式的地方学习。
  8. 小数的次方我们会在高中阶段介绍“指数”的时候介绍。详情请参阅:指数(高中课程)

课外连结

[编辑]
  1. 世界第一题趣味数学(五梦网)
  2. 草履虫(维基百科)

习题解答

[编辑]
  1. 题号
    科学记号
    展开的结果
    整数部分为几位数
  2. 题号
    科学记号
    展开的结果
    小数点后第几位开始出现不为的数字

更多资料

[编辑]
维基百科中的相关条目: