本单元将要介绍连乘的简易表示法,并且了解科学记号的表示方法。关于指数律,请见2-5 指数律。
当为正整数[注 1],为任意数时,我们定义。
如。
在式子当中:
- 读作“的次方”。
- 称作底数。
- 称作指数。
- 当指数时,我们会省略不写。
- 当指数时,我们有时会称为的平方。
- 当指数时,我们有时会称为的立方。
如:在中,
- 的底数为。
- 的指数为。
- 称作“七的四次方”。
有时人们也会将用“a^n”这样的形式表示。
底数为正整数的指数运算就是直接将正整数乘以次。
如:。
1的任意整数次方都是1[注 2]。
0的任意正整数次方都是0[注 3]。
底数为负整数的指数运算就是直接将负整数乘以次。
如:。
但是必须注意:
- 与意义不相同,是的相反数,是。
- -1的偶数次方为1,-1的奇数次方为-1。
- 当指数为奇数时,答案为负数。(即)
- 当指数为偶数时,答案为正数。(即)
例题 计算以下各式的值。
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解
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可以注意到指数为奇数,所以。
例题 计算以下各式的值。
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解
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可以注意到指数为偶数,所以。
小测
底数为小数的指数运算就是直接将小数乘以次。
如:。
但是必须注意:
- 当底数时,愈大,的值就愈小。
- 当底数时,愈大,的值就愈大。
例题 计算以下各式的值。
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解
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小测
虽然以下两题都是比较次方数的大小,但是答案却不尽相同,请读者好好体会。
例题 在 四数当中,哪一个数最大?哪一个数最小?
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例题 在 四数当中,哪一个数最大?哪一个数最小?
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小测
在数学式的运算中,有指数必须先算。
如:,而不是。
例题 计算以下各式的值。
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在工程计算机会有“”这样的按键。根据功能的不同也有不同的输入方式,在大部分的情况都是依序输入“底数”→“”→“指数”,不过还是要依据计算机功能来决定。
例如要算就依序按下“”→“”→“”即可得到萤幕显示。
如果你只有传统计算机,你还是可以计算指数为正整数的情形。只要依序按下“底数”→“”→“底数”→“”→→“”,按“”的次数取决于指数数字,要按下“指数”次。
例如要算就依序按下“”→“”→“”→“”→“”→“”(共次“”)即可得到萤幕显示。
因为萤幕显示的数字具有上限的限制,故有时计算的结果为近似值。如“”实际上是“”,但用计算机计算“”可能会出现“”或“”的字样。那这代表的意思为何?我们会在底下的科学记号做进一步的说明。
- 林多纸草书第79题[课外连结 1]
- 草履虫的无性生殖[课外连结 2]。在恰当的环境下,每次分裂1只可以分裂成2只,再一次分裂就会从2只变4只,再一次分裂就会从4只变8只,……,所以经过次分裂,原本1只草履虫会变成只草履虫。
- 如果能够折一张厚度毫米的纸次,那么就可以抵达月球。
比较值得一提的是的次方。底下列出一些常用的次方数。
的次方数
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代表数字
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中文
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一
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十
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百
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千
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万
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十万
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百万
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千万
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亿
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兆
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可以看得出来,的值等于后面有个。
另外代表,也就是所谓的十分位、百分位……等数。
的次方数
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代表分数
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代表小数
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位值
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十分位
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百分位
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千分位
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万分位
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注意蓝色铺底的数量,恰好等于次方数的绝对值。
例题 ,请问 要填入多少?
,请问要填入多少?
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在科学上常常会遇到一些很大的数或是很小的数。比如说地球的质量大约为公斤[注 4],又如大肠杆菌的长度大小大约是公尺[注 5]。这样很大的数或很小的数如果一直重复抄写,很容易会多写一个或少写一个导致数据的不正确,于是将这些数字有一个统一的表示法就相当重要了。将一个整数写成[注 6],其中介于到之间(可以等于但不能等于[注 7]),为整数,我们称为的科学记号表示法。如,是一个科学记号的表示法。而不是科学记号表示法,因为超过;也不是科学记号表示法,因为不是整数[注 8]。
那要怎么把一个正数表示为科学记号呢?
首先注意就代表的小数点往右移动位。如,所以想要找出,只需要反著作,也就是将小数点往左移动到范围为到之间,可以等于但不能等于。
我们以来作例子,因为,故;蓝色数字总共有个,而且是向左移动,故。
例题 请写出以下各数的科学记号。
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解
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再来我们要学习如何将比小的数字换成科学记号。首先注意就代表,也就是的小数点往左移动位。如,所以想要找出,只需要反著作,也就是将小数点往右移动到范围为到之间,可以等于但不能等于。
我们以来作例子,因为,故;蓝色数字总共有个,而且是向右移动,故。
例题 请写出以下各数的科学记号。
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解
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习题
请写出以下各数的科学记号。
[习题解答 1]
科学记号要还原回原本的数字,只要直接乘开即可。,也可以用移动小数点的方式计算。
如,也可以将小数点往左移动格。
在这边你可以注意一下是一个位数。
例题 乘开以下科学记号。
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习题
展开下列各式,并观察它们整数部分是几位数。
题号 |
科学记号 |
展开的结果 |
整数部分为几位数
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[习题解答 2]
你有发现什么吗?最后一行的数字和蓝色数字有什么关系?
又如。也可以将小数点往右移动格。
例题 乘开以下科学记号。
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习题
展开下列各式,并观察它们小数点后第几位开始出现不为的数字。
题号 |
科学记号 |
展开的结果 |
小数点后第几位开始出现不为的数字
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[习题解答 3]
你有发现什么吗?最后一行的数字和绿色数字的绝对值有什么关系?
若是科学记号,则称为的数量级。如,则称为的数量级。
由前面科学记号的展开,我们可以发现数量级与数的关联性为:
- 若是或正整数,则的整数部分为位数。
- 若是负整数,则小数点后第位开始不是。
例题 乘开之后,在小数点与第一个非零数字 之间总共有几个零?
乘开之后,小数点后第位是多少?
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将一个不是科学记号的数,如转换成科学记号,应该要怎么做呢?我们底下举例说明:
例题 将以下各数写成科学记号。
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科学记号的大小比较:若与皆是科学记号,则:
- 先比较与的大小。
- 如果一样大,则再比较、的大小。
例子如下。
例题 比较以下各题的大小,在 填入 或 。
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- ↑ 在国中阶段只讨论指数为正整数与0的情况(10是例外,有讨论10的整数次方)。
- ↑ 因为1自己乘几次都是1。
- ↑ 因为0自己乘几次都是0。
- ↑ 根据Google引擎搜寻的资料[1]。
- ↑ 大肠杆菌长为,而。详见此文章:大肠杆菌。
- ↑ 电脑或是某些计算机会显示为,如Google搜寻引擎找寻地球的质量会出现,这个数意思就是,也是科学记号表示法。
- ↑ 可以记成,此符号会在7-1 一元一次不等式的地方学习。
- ↑ 小数的次方我们会在高中阶段介绍“指数”的时候介绍。详情请参阅:指数(高中课程)。
- ↑ 世界第一题趣味数学(五梦网)
- ↑ 草履虫(维基百科)
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题号 |
科学记号 |
展开的结果 |
整数部分为几位数
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题号 |
科学记号 |
展开的结果 |
小数点后第几位开始出现不为的数字
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