国中数学/国中数学七年级/1-4 指数记法与科学记号

1-3 正负数的乘除

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国中数学七年级 1-4 指数记法与科学记号

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1-5 其他的数

本单元将要介绍连乘的简易表示法，并且了解科学记号的表示方法。关于指数律，请见2-5 指数律。

指数为正整数

当$n$为正整数，$a$为任意数时，我们定义$a^{n}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots \times a} _{n}$。

如$5^{3}=5\times 5\times 5=125$。

名词介绍

在式子$a^{n}$当中：

1. $a^{n}$读作“$a$的$n$次方”。
2. $a$称作底数。
3. $n$称作指数。
4. 当指数$n=1$时，我们会省略不写。
5. 当指数$n=2$时，我们有时会称$a^{2}$为$a$的平方。
6. 当指数$n=3$时，我们有时会称$a^{3}$为$a$的立方。

如：在$7^{4}$中，

• $7^{4}$的底数为$7$。
• $7^{4}$的指数为$4$。
• $7^{4}$称作“七的四次方”。

有时人们也会将$a^{n}$用“a^n”这样的形式表示。

底数为正整数

底数为正整数的指数运算就是直接将正整数乘以$n$次。

如：$7^{4}=7\times 7\times 7\times 7=2401$。

1的任意整数次方都是1。

底数为0

0的任意正整数次方都是0。

底数为负整数

底数为负整数的指数运算就是直接将负整数乘以$n$次。

如：$(-7)^{4}=(-7)\times (-7)\times (-7)\times (-7)=2401$。

但是必须注意：

1. $-a^{n}$与$(-a)^{n}$意义不相同，$-a^{n}$是$a^{n}$的相反数，$(-a)^{n}$是$\underbrace {(-a)\times (-a)\times (-a)\times \cdots \times (-a)} _{n}$。
2. -1的偶数次方为1，-1的奇数次方为-1。
3. 当指数为奇数时，答案为负数。(即$(-a)^{n}=-a^{n}$)
4. 当指数为偶数时，答案为正数。(即$(-a)^{n}=a^{n}$)

例题$1$ 计算以下各式的值。 ${\begin{matrix}(1)&(-3)^{3}&(2)&3^{3}&(3)&-3^{3}\end{matrix}}$

解 ${\begin{alignedat}{3}(1)&(-3)^{3}=(-3)\times (-3)\times (-3)=-27\\(2)&3^{3}=3\times 3\times 3=27\\(3)&-3^{3}=-(3\times 3\times 3)=-27\\\end{alignedat}}$

可以注意到指数$3$为奇数，所以$(-3)^{3}=-3^{3}$。

例题$2$ 计算以下各式的值。 ${\begin{matrix}(1)&(-2)^{6}&(2)&2^{6}&(3)&-2^{6}\end{matrix}}$

解 ${\begin{alignedat}{3}(1)&(-2)^{6}=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=64\\(2)&2^{6}=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=64\\(3)&-2^{6}=-(2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2)=-64\\\end{alignedat}}$

可以注意到指数$6$为偶数，所以$(-2)^{6}=2^{6}$。

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 $(-4)^{3}=?$

	$12$
	$-12$
	$64$
	$-64$

2 $(-3)^{4}=?$

	$12$
	$-12$
	$81$
	$-81$

3 $(-4)^{7}$与以下哪一个数相等？

	$4^{7}$
	$-4^{7}$

4 $(-5)^{6}$与以下哪一个数相等？

	$5^{6}$
	$-5^{6}$

5 当$\Box$是多少的时候，$(-1)^{\Box }$的值是$1$？

	$12$
	$13$

6 $(-7)^{12},(-7)^{13},(-7)^{14},(-7)^{15}$中，哪一个数最大？

	$(-7)^{12}$
	$(-7)^{13}$
	$(-7)^{14}$
	$(-7)^{15}$

7 哪一个数是正数？

	$(-22)^{23}$
	$(-23)^{22}$

底数为小数

底数为小数的指数运算就是直接将小数乘以$n$次。

如：$0.3^{3}=0.3\times 0.3\times 0.3=0.027$。

但是必须注意：

1. 当底数$0<a<1$时，$n$愈大，$a^{n}$的值就愈小。
2. 当底数$a>1$时，$n$愈大，$a^{n}$的值就愈大。

例题$3$ 计算以下各式的值。 ${\begin{matrix}(1)&0.4^{3}&(2)&(-0.4)^{3}&(3)&0.5^{4}&(4)&(-0.5)^{4}\end{matrix}}$

解 ${\begin{aligned}(1)&0.4^{3}=0.4\times 0.4\times 0.4=0.16\times 0.4=0.064\\(2)&(-0.4)^{3}=(-0.4)\times (-0.4)\times (-0.4)=0.16\times (-0.4)=-0.064\\(3)&0.5^{4}=0.5\times 0.5\times 0.5\times 0.5=0.25\times 0.5\times 0.5=0.125\times 0.5=0.0625\\(4)&(-0.5)^{4}=(-0.5)\times (-0.5)\times (-0.5)\times (-0.5)=0.25\times (-0.5)\times (-0.5)=(-0.125)\times (-0.5)=0.0625\\\end{aligned}}$

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 $1.2^{2}=?$

	$1.44$
	$14.4$

2 $(-1.2)^{2}=?$

	$1.44$
	$-1.44$
	$14.4$
	$-14.4$

3 $0.7^{3}=?$

	$0.343$
	$34.3$

4 $(-0.7)^{3}=?$

	$0.343$
	$34.3$
	$-0.343$
	$-34.3$

5 $(-1.1)^{3}=?$

	$0.1331$
	$1.331$
	$-0.1331$
	$-1.331$

虽然以下两题都是比较次方数的大小，但是答案却不尽相同，请读者好好体会。

例题$4$ 在$(-0.99)^{3},(-0.99)^{4},(-0.99)^{5},(-0.99)^{6}$四数当中，哪一个数最大？哪一个数最小？

解 因为负数的偶数次方为正数，故$(-0.99)^{4},(-0.99)^{6}$为正数；负数的奇数次方为负数，故$(-0.99)^{3},(-0.99)^{5}$为负数。 而$0.99<1$，所以正数的次方愈多就会愈小，所以$(-0.99)^{4}>(-0.99)^{6}$；负数的次方愈多则愈大，故$(-0.99)^{3}<(-0.99)^{5}$，这四个数的大小顺序依序为$(-0.99)^{4}>(-0.99)^{6}>(-0.99)^{5}>(-0.99)^{3}$，最大的数为$(-0.99)^{4}$，最小的数为$(-0.99)^{3}$。

例题$5$ 在$(-1.01)^{3},(-1.01)^{4},(-1.01)^{5},(-1.01)^{6}$四数当中，哪一个数最大？哪一个数最小？

解 因为负数的偶数次方为正数，故$(-1.01)^{4},(-1.01)^{6}$为正数；负数的奇数次方为负数，故$(-1.01)^{3},(-1.01)^{5}$为负数。 而$1.01>1$，所以正数的次方愈多就会愈大，所以$(-1.01)^{4}<(-1.01)^{6}$；负数的次方愈多则愈小，故$(-1.01)^{3}>(-1.01)^{5}$，这四个数的大小顺序依序为$(-1.01)^{6}>(-1.01)^{4}>(-1.01)^{3}>(-1.01)^{5}$，最大的数为$(-1.01)^{6}$，最小的数为$(-1.01)^{5}$。

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 选出选项当中最大的选项。

	$1.44^{12}$
	$1.44^{13}$
	$1.44^{14}$
	$1.44^{15}$

2 选出选项当中最大的选项。

	$0.44^{12}$
	$0.44^{13}$
	$0.44^{14}$
	$0.44^{15}$

3 选出选项当中最大的选项。

	$(-1.69)^{12}$
	$(-1.69)^{13}$
	$(-1.69)^{14}$
	$(-1.69)^{15}$

4 选出选项当中最大的选项。

	$(-0.69)^{12}$
	$(-0.69)^{13}$
	$(-0.69)^{14}$
	$(-0.69)^{15}$

指数与四则运算

在数学式的运算中，有指数必须先算。 如：$3\times 5^{2}=3\times 25=75$，而不是$3\times 5^{2}=15^{2}=225$。

例题$6$ 计算以下各式的值。 ${\begin{matrix}(1)&2^{4}+(-3)^{3}-7^{2}\\(2)&[20+(-5)^{2}]\div 5\end{matrix}}$

解 小提醒 $(1)$同号数相加，符号取同，数值相加；异号数相加，符号取绝对值较大者，数值相减。 $(2)$减去一个数，就等于加上它的相反数。 ${\begin{alignedat}{4}(1)2^{4}+(-3)^{3}-7^{2}&=16+(-27)-49\\&=16+(-27)+(-49)\\&=(-11)+(-49)\\&=-60\end{alignedat}}$ ${\begin{alignedat}{4}(2)[20+(-5)^{2}]\div 5&=[20+25]\div 5\\&=45\div 5\\&=9\end{alignedat}}$

使用计算机计算指数

在工程计算机会有“$x^{y}$”这样的按键。根据功能的不同也有不同的输入方式，在大部分的情况都是依序输入“底数”→“$x^{y}$”→“指数”，不过还是要依据计算机功能来决定。

例如要算$7^{4}$就依序按下“$7$”→“$x^{y}$”→“$4$”即可得到屏幕显示$2401$。

如果你只有传统计算机，你还是可以计算指数为正整数的情形。只要依序按下“底数”→“$\times$”→“底数”→“$=$”→$\cdots$→“$=$”，按“$=$”的次数取决于指数数字，要按下“指数$-1$”次。

例如要算$7^{4}$就依序按下“$7$”→“$\times$”→“$7$”→“$=$”→“$=$”→“$=$”(共$4-1=3$次“$=$”)即可得到屏幕显示$2401$。

因为屏幕显示的数字具有上限的限制，故有时计算的结果为近似值。如“$2^{100}$”实际上是“$1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376$”，但用计算机计算“$2^{100}$”可能会出现“$1.2676506\times 10^{30}$”或“$12676506E+30$”的字样。那这代表的意思为何？我们会在底下的科学记号做进一步的说明。

指数的应用

• 林多纸草书第79题
• 草履虫的无性生殖。在恰当的环境下，每次分裂1只可以分裂成2只，再一次分裂就会从2只变4只，再一次分裂就会从4只变8只，……，所以经过$n$次分裂，原本1只草履虫会变成$2^{n}$只草履虫。
• 如果能够折一张厚度$0.1$毫米的纸$42$次，那么就可以抵达月球。

10的次方

比较值得一提的是$10$的次方。底下列出一些常用$10$的次方数。

$10$的次方数	代表数字	中文
$10^{0}$	$1$	一
$10^{1}$	$10$	十
$10^{2}$	$100$	百
$10^{3}$	$1000$	千
$10^{4}$	$10000$	万
$10^{5}$	$100000$	十万
$10^{6}$	$1000000$	百万
$10^{7}$	$10000000$	千万
$10^{8}$	$100000000$	亿
$10^{12}$	$1000000000000$	兆

可以看得出来，$10^{n}$的值等于$1$后面有$n$个$0$。

另外$10^{-n}$代表${\frac {1}{10^{n}}}$，也就是所谓的十分位、百分位……等数。

$10$的次方数	代表分数	代表小数	位值
$10^{\color {blue}-1}$	${\frac {1}{1{\color {blue}0}}}$	${\color {blue}0.}1$	十分位
$10^{\color {blue}-2}$	${\frac {1}{1{\color {blue}00}}}$	${\color {blue}0.0}1$	百分位
$10^{\color {blue}-3}$	${\frac {1}{1{\color {blue}000}}}$	${\color {blue}0.00}1$	千分位
$10^{\color {blue}-4}$	${\frac {1}{1{\color {blue}0000}}}$	${\color {blue}0.000}1$	万分位

注意蓝色铺底的$0$数量，恰好等于次方数$-n$的绝对值。

例题$7$ $(1){\frac {1}{10000000}}=10^{\Box }$，请问$\Box$要填入多少？ $(2)0.00000000001=10^{\Box }$，请问$\Box$要填入多少？

解 $(1){\frac {1}{1{\color {blue}0000000}}}$有$7$个零，所以${\frac {1}{1{\color {blue}0000000}}}$代表$10^{\color {blue}-7}$，即$\Box =-7$。 $(2){\color {blue}0.0000000000}1$有$11$个零，所以${\color {blue}0.0000000000}1$代表$10^{\color {blue}-11}$，即$\Box =-11$。

科学记号

在科学上常常会遇到一些很大的数或是很小的数。比如说地球的质量大约为$5972000000000000000000000$公斤，又如大肠杆菌的长度大小大约是$0.0000015$米。这样很大的数或很小的数如果一直重复抄写，很容易会多写一个$0$或少写一个$0$导致数据的不正确，于是将这些数字有一个统一的表示法就相当重要了。将一个整数$m$写成$a\times 10^{n}$，其中$a$介于$1$到$10$之间(可以等于$1$但不能等于$10$)，$n$为整数，我们称$a\times 10^{n}$为$m$的科学记号表示法。如$50000=5\times 10000=5\times 10^{4}$，$5\times 10^{4}$是一个科学记号的表示法。而$37\times 10^{4}$不是科学记号表示法，因为$37$超过$10$；$4.5\times 10^{1.3}$也不是科学记号表示法，因为$1.3$不是整数。
那要怎么把一个正数表示为科学记号呢？

将比1大的数字转换成科学记号

首先注意$a\times 10^{n}$就代表$a$的小数点往右移动$n$位。如$2{\color {red}.}345\times 1{\color {blue}000000}=2{\color {red}|}{\color {blue}345000}{\color {red}.}$，所以想要找出$a$，只需要反著作，也就是将小数点往左移动到范围为$1$到$10$之间，可以等于$1$但不能等于$10$。
我们以$23450000$来作例子，因为$2{\color {red}|}{\color {blue}3450000}{\color {red}.}$，故${\color {red}a=2.345}$；蓝色数字总共有${\color {blue}7}$个，而且是向左移动，故$23450000={\color {red}2.345}\times 10^{\color {blue}7}$。

例题$8$ 请写出以下各数的科学记号。 ${\begin{matrix}(1)&2750000&(2)&48000000\end{matrix}}$

解 ${\begin{matrix}(1)&2750000&\\=&2|750000&\\=&2.75\times 10^{6}&\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}(2)&48000000&\\=&4|8000000&\\=&4.8\times 10^{7}&\end{matrix}}$

将比1小的数字转换成科学记号

再来我们要学习如何将比$1$小的数字换成科学记号。首先注意$a\times 10^{-n}$就代表$a\times {\frac {1}{10^{n}}}$，也就是$a$的小数点往左移动$n$位。如$2{\color {red}.}345\times {\frac {1}{1{\color {blue}00000}}}=0{\color {red}.}{\color {blue}00002}{\color {red}|}345$，所以想要找出$a$，只需要反著作，也就是将小数点往右移动到范围为$1$到$10$之间，可以等于$1$但不能等于$10$。
我们以$0.00002345$来作例子，因为$0{\color {red}.}{\color {blue}00002}{\color {red}|}345$，故${\color {red}a=2.345}$；蓝色数字总共有${\color {blue}5}$个，而且是向右移动，故$0.00002345={\color {red}2.345}\times 10^{\color {blue}-5}$。

例题$9$ 请写出以下各数的科学记号。 ${\begin{matrix}(1)&0.000007&(2)&0.000000924\end{matrix}}$

解 ${\begin{matrix}(1)&0.000007&\\=&0.000007|&\\=&7\times 10^{-6}&\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}(2)&0.000000924&\\=&0.0000009|24&\\=&9.24\times 10^{-7}&\end{matrix}}$

习题
请写出以下各数的科学记号。
${\begin{matrix}(1)&900000&&(2)&58700000&&(3)&0.000023&&(4)&0.000000000314\end{matrix}}$

科学记号的展开

科学记号要还原回原本的数字，只要直接乘开即可。，也可以用移动小数点的方式计算。

大于1的正数展开

如$2.345\times 10^{7}=2.345\times 10000000=23450000$，也可以将小数点往左移动$7$格。
在这边你可以注意一下$2.345\times 10^{\color {blue}7}=23450000$是一个${\color {blue}8}$位数。

例题$10$ 乘开以下科学记号。 ${\begin{matrix}(1)&7.3\times 10^{3}&(2)&5.734\times 10^{7}\end{matrix}}$

解 $(1)$方法一、直接乘开：$7.3\times 10^{3}=7.3\times 1000=7300$。 ${\color {white}(1)}$方法二、移动小数点：$7.3\times 10^{\color {red}3}$，将$7.3$往右移动${\color {red}3}$位为$7{\color {red}|300.}$。 $(2)$方法一、直接乘开：$5.734\times 10^{7}=5.734\times 10000000=57340000$。 ${\color {white}(2)}$方法二、移动小数点：$5.734\times 10^{\color {red}7}$，将$5.734$往右移动${\color {red}7}$位为$5{\color {red}|7340000.}$。

习题
展开下列各式，并观察它们整数部分是几位数。

题号	科学记号	展开的结果	整数部分为几位数
$(1)$	$4.5\times 10^{\color {blue}3}$
$(2)$	$4.5\times 10^{\color {blue}4}$
$(3)$	$7.34\times 10^{\color {blue}6}$
$(4)$	$7.34\times 10^{\color {blue}7}$

你有发现什么吗？最后一行的数字和蓝色数字有什么关系？

小于1的正数展开

又如$2.345\times 10^{-5}=2.345\times 0.00001=0.00002345$。也可以将小数点往右移动$5$格。

例题$11$ 乘开以下科学记号。 ${\begin{matrix}(1)&7.3\times 10^{-3}&(2)&5.734\times 10^{-7}\end{matrix}}$

解 $(1)$方法一、直接乘开：$7.3\times 10^{-3}=7.3\times 0.001=0.0073$。 ${\color {white}(1)}$方法二、移动小数点：$7.3\times 10^{\color {green}-3}$，将$7.3$往左移动${\color {green}3}$位为$0{\color {green}.007|}3$。 $(2)$方法一、直接乘开：$5.734\times 10^{-7}=5.734\times 0.0000001=0.0000005734$。 ${\color {white}(2)}$方法二、移动小数点：$5.734\times 10^{\color {green}-7}$，将$5.734$往左移动${\color {green}7}$位为$0{\color {green}.0000005|}734$。

习题
展开下列各式，并观察它们小数点后第几位开始出现不为$0$的数字。

题号	科学记号	展开的结果	小数点后第几位开始出现不为$0$的数字
$(1)$	$4.5\times 10^{\color {green}-3}$
$(2)$	$4.5\times 10^{\color {green}-4}$
$(3)$	$7.34\times 10^{\color {green}-6}$
$(4)$	$7.34\times 10^{\color {green}-7}$

你有发现什么吗？最后一行的数字和绿色数字的绝对值有什么关系？

科学记号的数量级

若$a\times 10^{n}$是科学记号，则$10^{n}$称为$a\times 10^{n}$的数量级。如$23450000=2.345\times 10^{7}$，则称$10^{7}$为$23450000=2.345\times 10^{7}$的数量级。
由前面科学记号的展开，我们可以发现数量级与数的关联性为：

1. 若$n$是$0$或正整数，则$a\times 10^{n}$的整数部分为$n+1$位数。
2. 若$n$是负整数，则$a\times 10^{n}$小数点后第$|n|$位开始不是$0$。

例题$12$ $(1)3.89\times 10^{15}$乘开之后，在小数点与第一个非零数字$9$之间总共有几个零？ $(2)7.47\times 10^{-13}$乘开之后，小数点后第$15$位是多少？

解 $(1)3.89\times 10^{15}$乘开之后是$15+1=16$位数，而其中$3,8,9$占了三个位数，所以会有$16-3=13$个零。 $(2)7.47\times 10^{-13}$乘开之后，小数点后第$13$位不是$0$，是$7$，所以小数点后第$14$位是$4$，小数点后第$15$位是$7$。

将不是科学记号的数转换成科学记号

将一个不是科学记号的数，如$37\times 10^{21}$转换成科学记号，应该要怎么做呢？我们底下举例说明：

例题$13$ 将以下各数写成科学记号。 ${\begin{matrix}(1)&37\times 10^{21}&(2)&0.00057\times 10^{12}\\(3)&45000\times 10^{-15}&(4)&0.0000634\times 10^{-17}\end{matrix}}$

解 $(1)37\times 10^{21}$要将$37$的小数点向左移动$1$位变成$3{\color {red}.7|}$，因为是向左移动，所以次方数加1，$37\times 10^{21}=3.7\times 10^{21{\color {red}+1}}=3.7\times 10^{22}$。 $(2)0.00057\times 10^{12}$要将$0.00057$的小数点向右移动$4$位变成$0{\color {blue}|0005}.7$，因为是向右移动，所以次方数减4，$0.00057\times 10^{12}=5.7\times 10^{12{\color {blue}-4}}=5.7\times 10^{8}$。 $(3)45000\times 10^{-15}$要将$45000$的小数点向左移动$4$位变成$4{\color {red}.5000|}$，因为是向左移动，所以次方数加4，$45000\times 10^{-15}=4.5\times 10^{-15{\color {red}+4}}=4.5\times 10^{-11}$。 $(4)0.0000634\times 10^{-17}$要将$0.0000634$的小数点向右移动$5$位变成$0{\color {blue}|00006}.34$，因为是向右移动，所以次方数减5，$0.0000634\times 10^{-17}=6.34\times 10^{-17{\color {blue}-5}}=6.34\times 10^{-22}$。

科学记号的大小

科学记号的大小比较：若$a\times 10^{m}$与$b\times 10^{n}$皆是科学记号，则：

1. 先比较$m$与$n$的大小。
2. 如果$m,n$一样大，则再比较$a$、$b$的大小。

例子如下。

例题$14$ 比较以下各题的大小，在$\Box$填入$>$或$<$。 ${\begin{matrix}(1)&7.3\times 10^{15}\Box 9.4\times 10^{13}&(2)&5.73\times 10^{-22}\Box 6.37\times 10^{-22}\end{matrix}}$

解 $(1)$因为$10$的次方数$15{\color {red}>}13$，所以$7.3\times 10^{15}{\color {red}>}9.4\times 10^{13}$，$\Box$填入$>$。 $(2)$虽然$10$的次方数$-22=-22$但${\color {blue}5.73<6.37}$，所以$5.73\times 10^{-22}{\color {blue}<}6.37\times 10^{-22}$，$\Box$填入$<$。

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