本單元將要介紹連乘的簡易表示法,並且了解科學記號的表示方法。關於指數律,請見2-5 指數律。
當為正整數[註 1],為任意數時,我們定義。
如。
在式子當中:
- 讀作「的次方」。
- 稱作底數。
- 稱作指數。
- 當指數時,我們會省略不寫。
- 當指數時,我們有時會稱為的平方。
- 當指數時,我們有時會稱為的立方。
如:在中,
- 的底數為。
- 的指數為。
- 稱作「七的四次方」。
有時人們也會將用「a^n」這樣的形式表示。
底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以次。
如:。
1的任意整數次方都是1[註 2]。
0的任意正整數次方都是0[註 3]。
底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以次。
如:。
但是必須注意:
- 與意義不相同,是的相反數,是。
- -1的偶數次方為1,-1的奇數次方為-1。
- 當指數為奇數時,答案為負數。(即)
- 當指數為偶數時,答案為正數。(即)
例題 計算以下各式的值。
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解
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可以注意到指數為奇數,所以。
例題 計算以下各式的值。
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解
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可以注意到指數為偶數,所以。
小測
底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以次。
如:。
但是必須注意:
- 當底數時,愈大,的值就愈小。
- 當底數時,愈大,的值就愈大。
例題 計算以下各式的值。
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解
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小測
雖然以下兩題都是比較次方數的大小,但是答案卻不盡相同,請讀者好好體會。
例題 在 四數當中,哪一個數最大?哪一個數最小?
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例題 在 四數當中,哪一個數最大?哪一個數最小?
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小測
在數學式的運算中,有指數必須先算。
如:,而不是。
例題 計算以下各式的值。
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在工程計算機會有「」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式,在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「」→「指數」,不過還是要依據計算機功能來決定。
例如要算就依序按下「」→「」→「」即可得到螢幕顯示。
如果你只有傳統計算機,你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「」→「底數」→「」→→「」,按「」的次數取決於指數數字,要按下「指數」次。
例如要算就依序按下「」→「」→「」→「」→「」→「」(共次「」)即可得到螢幕顯示。
因為螢幕顯示的數字具有上限的限制,故有時計算的結果為近似值。如「」實際上是「」,但用計算機計算「」可能會出現「」或「」的字樣。那這代表的意思為何?我們會在底下的科學記號做進一步的說明。
- 林多紙草書第79題[課外連結 1]
- 草履蟲的無性生殖[課外連結 2]。在恰當的環境下,每次分裂1隻可以分裂成2隻,再一次分裂就會從2隻變4隻,再一次分裂就會從4隻變8隻,……,所以經過次分裂,原本1隻草履蟲會變成隻草履蟲。
- 如果能夠摺一張厚度毫米的紙次,那麼就可以抵達月球。
比較值得一提的是的次方。底下列出一些常用的次方數。
的次方數
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代表數字
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中文
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一
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十
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百
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千
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萬
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十萬
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百萬
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千萬
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億
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兆
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可以看得出來,的值等於後面有個。
另外代表,也就是所謂的十分位、百分位……等數。
的次方數
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代表分數
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代表小數
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位值
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十分位
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百分位
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千分位
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萬分位
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注意藍色鋪底的數量,恰好等於次方數的絕對值。
例題 ,請問 要填入多少?
,請問要填入多少?
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在科學上常常會遇到一些很大的數或是很小的數。比如說地球的質量大約為公斤[註 4],又如大腸桿菌的長度大小大約是公尺[註 5]。這樣很大的數或很小的數如果一直重複抄寫,很容易會多寫一個或少寫一個導致數據的不正確,於是將這些數字有一個統一的表示法就相當重要了。將一個整數寫成[註 6],其中介於到之間(可以等於但不能等於[註 7]),為整數,我們稱為的科學記號表示法。如,是一個科學記號的表示法。而不是科學記號表示法,因為超過;也不是科學記號表示法,因為不是整數[註 8]。
那要怎麼把一個正數表示為科學記號呢?
首先注意就代表的小數點往右移動位。如,所以想要找出,只需要反著作,也就是將小數點往左移動到範圍為到之間,可以等於但不能等於。
我們以來作例子,因為,故;藍色數字總共有個,而且是向左移動,故。
例題 請寫出以下各數的科學記號。
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解
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再來我們要學習如何將比小的數字換成科學記號。首先注意就代表,也就是的小數點往左移動位。如,所以想要找出,只需要反著作,也就是將小數點往右移動到範圍為到之間,可以等於但不能等於。
我們以來作例子,因為,故;藍色數字總共有個,而且是向右移動,故。
例題 請寫出以下各數的科學記號。
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解
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習題
請寫出以下各數的科學記號。
[習題解答 1]
科學記號要還原回原本的數字,只要直接乘開即可。,也可以用移動小數點的方式計算。
如,也可以將小數點往左移動格。
在這邊你可以注意一下是一個位數。
例題 乘開以下科學記號。
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習題
展開下列各式,並觀察它們整數部分是幾位數。
題號 |
科學記號 |
展開的結果 |
整數部分為幾位數
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[習題解答 2]
你有發現什麼嗎?最後一行的數字和藍色數字有什麼關係?
又如。也可以將小數點往右移動格。
例題 乘開以下科學記號。
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習題
展開下列各式,並觀察它們小數點後第幾位開始出現不為的數字。
題號 |
科學記號 |
展開的結果 |
小數點後第幾位開始出現不為的數字
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[習題解答 3]
你有發現什麼嗎?最後一行的數字和綠色數字的絕對值有什麼關係?
若是科學記號,則稱為的數量級。如,則稱為的數量級。
由前面科學記號的展開,我們可以發現數量級與數的關聯性為:
- 若是或正整數,則的整數部分為位數。
- 若是負整數,則小數點後第位開始不是。
例題 乘開之後,在小數點與第一個非零數字 之間總共有幾個零?
乘開之後,小數點後第位是多少?
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將一個不是科學記號的數,如轉換成科學記號,應該要怎麼做呢?我們底下舉例說明:
例題 將以下各數寫成科學記號。
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科學記號的大小比較:若與皆是科學記號,則:
- 先比較與的大小。
- 如果一樣大,則再比較、的大小。
例子如下。
例題 比較以下各題的大小,在 填入 或 。
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- ↑ 在國中階段只討論指數為正整數與0的情況(10是例外,有討論10的整數次方)。
- ↑ 因為1自己乘幾次都是1。
- ↑ 因為0自己乘幾次都是0。
- ↑ 根據Google引擎搜尋的資料[1]。
- ↑ 大腸桿菌長為,而。詳見此文章:大腸桿菌。
- ↑ 電腦或是某些計算機會顯示為,如Google搜尋引擎找尋地球的質量會出現,這個數意思就是,也是科學記號表示法。
- ↑ 可以記成,此符號會在7-1 一元一次不等式的地方學習。
- ↑ 小數的次方我們會在高中階段介紹「指數」的時候介紹。詳情請參閱:指數(高中課程)。
- ↑ 世界第一題趣味數學(五夢網)
- ↑ 草履蟲(維基百科)
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題號 |
科學記號 |
展開的結果 |
整數部分為幾位數
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題號 |
科學記號 |
展開的結果 |
小數點後第幾位開始出現不為的數字
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