國中數學/國中數學七年級/1-4 指數記法與科學記號

1-3 正負數的乘除

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國中數學七年級 1-4 指數記法與科學記號

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1-5 其他的數

本單元將要介紹連乘的簡易表示法，並且了解科學記號的表示方法。關於指數律，請見2-5 指數律。

指數為正整數

當$n$為正整數，$a$為任意數時，我們定義$a^{n}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots \times a} _{n}$。

如$5^{3}=5\times 5\times 5=125$。

名詞介紹

在式子$a^{n}$當中：

1. $a^{n}$讀作「$a$的$n$次方」。
2. $a$稱作底數。
3. $n$稱作指數。
4. 當指數$n=1$時，我們會省略不寫。
5. 當指數$n=2$時，我們有時會稱$a^{2}$為$a$的平方。
6. 當指數$n=3$時，我們有時會稱$a^{3}$為$a$的立方。

如：在$7^{4}$中，

• $7^{4}$的底數為$7$。
• $7^{4}$的指數為$4$。
• $7^{4}$稱作「七的四次方」。

有時人們也會將$a^{n}$用「a^n」這樣的形式表示。

底數為正整數

底數為正整數的指數運算就是直接將正整數乘以$n$次。

如：$7^{4}=7\times 7\times 7\times 7=2401$。

1的任意整數次方都是1。

底數為0

0的任意正整數次方都是0。

底數為負整數

底數為負整數的指數運算就是直接將負整數乘以$n$次。

如：$(-7)^{4}=(-7)\times (-7)\times (-7)\times (-7)=2401$。

但是必須注意：

1. $-a^{n}$與$(-a)^{n}$意義不相同，$-a^{n}$是$a^{n}$的相反數，$(-a)^{n}$是$\underbrace {(-a)\times (-a)\times (-a)\times \cdots \times (-a)} _{n}$。
2. -1的偶數次方為1，-1的奇數次方為-1。
3. 當指數為奇數時，答案為負數。(即$(-a)^{n}=-a^{n}$)
4. 當指數為偶數時，答案為正數。(即$(-a)^{n}=a^{n}$)

例題$1$ 計算以下各式的值。 ${\begin{matrix}(1)&(-3)^{3}&(2)&3^{3}&(3)&-3^{3}\end{matrix}}$

解 ${\begin{alignedat}{3}(1)&(-3)^{3}=(-3)\times (-3)\times (-3)=-27\\(2)&3^{3}=3\times 3\times 3=27\\(3)&-3^{3}=-(3\times 3\times 3)=-27\\\end{alignedat}}$

可以注意到指數$3$為奇數，所以$(-3)^{3}=-3^{3}$。

例題$2$ 計算以下各式的值。 ${\begin{matrix}(1)&(-2)^{6}&(2)&2^{6}&(3)&-2^{6}\end{matrix}}$

解 ${\begin{alignedat}{3}(1)&(-2)^{6}=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=64\\(2)&2^{6}=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=64\\(3)&-2^{6}=-(2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2)=-64\\\end{alignedat}}$

可以注意到指數$6$為偶數，所以$(-2)^{6}=2^{6}$。

小測

答對得到的分數：
錯誤答案減少的分數：
忽略問題的係數：

1 $(-4)^{3}=?$

	$12$
	$-12$
	$64$
	$-64$

2 $(-3)^{4}=?$

	$12$
	$-12$
	$81$
	$-81$

3 $(-4)^{7}$與以下哪一個數相等？

	$4^{7}$
	$-4^{7}$

4 $(-5)^{6}$與以下哪一個數相等？

	$5^{6}$
	$-5^{6}$

5 當$\Box$是多少的時候，$(-1)^{\Box }$的值是$1$？

	$12$
	$13$

6 $(-7)^{12},(-7)^{13},(-7)^{14},(-7)^{15}$中，哪一個數最大？

	$(-7)^{12}$
	$(-7)^{13}$
	$(-7)^{14}$
	$(-7)^{15}$

7 哪一個數是正數？

	$(-22)^{23}$
	$(-23)^{22}$

底數為小數

底數為小數的指數運算就是直接將小數乘以$n$次。

如：$0.3^{3}=0.3\times 0.3\times 0.3=0.027$。

但是必須注意：

1. 當底數$0<a<1$時，$n$愈大，$a^{n}$的值就愈小。
2. 當底數$a>1$時，$n$愈大，$a^{n}$的值就愈大。

例題$3$ 計算以下各式的值。 ${\begin{matrix}(1)&0.4^{3}&(2)&(-0.4)^{3}&(3)&0.5^{4}&(4)&(-0.5)^{4}\end{matrix}}$

解 ${\begin{aligned}(1)&0.4^{3}=0.4\times 0.4\times 0.4=0.16\times 0.4=0.064\\(2)&(-0.4)^{3}=(-0.4)\times (-0.4)\times (-0.4)=0.16\times (-0.4)=-0.064\\(3)&0.5^{4}=0.5\times 0.5\times 0.5\times 0.5=0.25\times 0.5\times 0.5=0.125\times 0.5=0.0625\\(4)&(-0.5)^{4}=(-0.5)\times (-0.5)\times (-0.5)\times (-0.5)=0.25\times (-0.5)\times (-0.5)=(-0.125)\times (-0.5)=0.0625\\\end{aligned}}$

小測

答對得到的分數：
錯誤答案減少的分數：
忽略問題的係數：

1 $1.2^{2}=?$

	$1.44$
	$14.4$

2 $(-1.2)^{2}=?$

	$1.44$
	$-1.44$
	$14.4$
	$-14.4$

3 $0.7^{3}=?$

	$0.343$
	$34.3$

4 $(-0.7)^{3}=?$

	$0.343$
	$34.3$
	$-0.343$
	$-34.3$

5 $(-1.1)^{3}=?$

	$0.1331$
	$1.331$
	$-0.1331$
	$-1.331$

雖然以下兩題都是比較次方數的大小，但是答案卻不盡相同，請讀者好好體會。

例題$4$ 在$(-0.99)^{3},(-0.99)^{4},(-0.99)^{5},(-0.99)^{6}$四數當中，哪一個數最大？哪一個數最小？

解 因為負數的偶數次方為正數，故$(-0.99)^{4},(-0.99)^{6}$為正數；負數的奇數次方為負數，故$(-0.99)^{3},(-0.99)^{5}$為負數。 而$0.99<1$，所以正數的次方愈多就會愈小，所以$(-0.99)^{4}>(-0.99)^{6}$；負數的次方愈多則愈大，故$(-0.99)^{3}<(-0.99)^{5}$，這四個數的大小順序依序為$(-0.99)^{4}>(-0.99)^{6}>(-0.99)^{5}>(-0.99)^{3}$，最大的數為$(-0.99)^{4}$，最小的數為$(-0.99)^{3}$。

例題$5$ 在$(-1.01)^{3},(-1.01)^{4},(-1.01)^{5},(-1.01)^{6}$四數當中，哪一個數最大？哪一個數最小？

解 因為負數的偶數次方為正數，故$(-1.01)^{4},(-1.01)^{6}$為正數；負數的奇數次方為負數，故$(-1.01)^{3},(-1.01)^{5}$為負數。 而$1.01>1$，所以正數的次方愈多就會愈大，所以$(-1.01)^{4}<(-1.01)^{6}$；負數的次方愈多則愈小，故$(-1.01)^{3}>(-1.01)^{5}$，這四個數的大小順序依序為$(-1.01)^{6}>(-1.01)^{4}>(-1.01)^{3}>(-1.01)^{5}$，最大的數為$(-1.01)^{6}$，最小的數為$(-1.01)^{5}$。

小測

答對得到的分數：
錯誤答案減少的分數：
忽略問題的係數：

1 選出選項當中最大的選項。

	$1.44^{12}$
	$1.44^{13}$
	$1.44^{14}$
	$1.44^{15}$

2 選出選項當中最大的選項。

	$0.44^{12}$
	$0.44^{13}$
	$0.44^{14}$
	$0.44^{15}$

3 選出選項當中最大的選項。

	$(-1.69)^{12}$
	$(-1.69)^{13}$
	$(-1.69)^{14}$
	$(-1.69)^{15}$

4 選出選項當中最大的選項。

	$(-0.69)^{12}$
	$(-0.69)^{13}$
	$(-0.69)^{14}$
	$(-0.69)^{15}$

指數與四則運算

在數學式的運算中，有指數必須先算。 如：$3\times 5^{2}=3\times 25=75$，而不是$3\times 5^{2}=15^{2}=225$。

例題$6$ 計算以下各式的值。 ${\begin{matrix}(1)&2^{4}+(-3)^{3}-7^{2}\\(2)&[20+(-5)^{2}]\div 5\end{matrix}}$

解 小提醒 $(1)$同號數相加，符號取同，數值相加；異號數相加，符號取絕對值較大者，數值相減。 $(2)$減去一個數，就等於加上它的相反數。 ${\begin{alignedat}{4}(1)2^{4}+(-3)^{3}-7^{2}&=16+(-27)-49\\&=16+(-27)+(-49)\\&=(-11)+(-49)\\&=-60\end{alignedat}}$ ${\begin{alignedat}{4}(2)[20+(-5)^{2}]\div 5&=[20+25]\div 5\\&=45\div 5\\&=9\end{alignedat}}$

使用計算機計算指數

在工程計算機會有「$x^{y}$」這樣的按鍵。根據功能的不同也有不同的輸入方式，在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「$x^{y}$」→「指數」，不過還是要依據計算機功能來決定。

例如要算$7^{4}$就依序按下「$7$」→「$x^{y}$」→「$4$」即可得到螢幕顯示$2401$。

如果你只有傳統計算機，你還是可以計算指數為正整數的情形。只要依序按下「底數」→「$\times$」→「底數」→「$=$」→$\cdots$→「$=$」，按「$=$」的次數取決於指數數字，要按下「指數$-1$」次。

例如要算$7^{4}$就依序按下「$7$」→「$\times$」→「$7$」→「$=$」→「$=$」→「$=$」(共$4-1=3$次「$=$」)即可得到螢幕顯示$2401$。

因為螢幕顯示的數字具有上限的限制，故有時計算的結果為近似值。如「$2^{100}$」實際上是「$1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376$」，但用計算機計算「$2^{100}$」可能會出現「$1.2676506\times 10^{30}$」或「$12676506E+30$」的字樣。那這代表的意思為何？我們會在底下的科學記號做進一步的說明。

指數的應用

• 林多紙草書第79題
• 草履蟲的無性生殖。在恰當的環境下，每次分裂1隻可以分裂成2隻，再一次分裂就會從2隻變4隻，再一次分裂就會從4隻變8隻，……，所以經過$n$次分裂，原本1隻草履蟲會變成$2^{n}$隻草履蟲。
• 如果能夠摺一張厚度$0.1$毫米的紙$42$次，那麼就可以抵達月球。

10的次方

比較值得一提的是$10$的次方。底下列出一些常用$10$的次方數。

$10$的次方數	代表數字	中文
$10^{0}$	$1$	一
$10^{1}$	$10$	十
$10^{2}$	$100$	百
$10^{3}$	$1000$	千
$10^{4}$	$10000$	萬
$10^{5}$	$100000$	十萬
$10^{6}$	$1000000$	百萬
$10^{7}$	$10000000$	千萬
$10^{8}$	$100000000$	億
$10^{12}$	$1000000000000$	兆

可以看得出來，$10^{n}$的值等於$1$後面有$n$個$0$。

另外$10^{-n}$代表${\frac {1}{10^{n}}}$，也就是所謂的十分位、百分位……等數。

$10$的次方數	代表分數	代表小數	位值
$10^{\color {blue}-1}$	${\frac {1}{1{\color {blue}0}}}$	${\color {blue}0.}1$	十分位
$10^{\color {blue}-2}$	${\frac {1}{1{\color {blue}00}}}$	${\color {blue}0.0}1$	百分位
$10^{\color {blue}-3}$	${\frac {1}{1{\color {blue}000}}}$	${\color {blue}0.00}1$	千分位
$10^{\color {blue}-4}$	${\frac {1}{1{\color {blue}0000}}}$	${\color {blue}0.000}1$	萬分位

注意藍色鋪底的$0$數量，恰好等於次方數$-n$的絕對值。

例題$7$ $(1){\frac {1}{10000000}}=10^{\Box }$，請問$\Box$要填入多少？ $(2)0.00000000001=10^{\Box }$，請問$\Box$要填入多少？

解 $(1){\frac {1}{1{\color {blue}0000000}}}$有$7$個零，所以${\frac {1}{1{\color {blue}0000000}}}$代表$10^{\color {blue}-7}$，即$\Box =-7$。 $(2){\color {blue}0.0000000000}1$有$11$個零，所以${\color {blue}0.0000000000}1$代表$10^{\color {blue}-11}$，即$\Box =-11$。

科學記號

在科學上常常會遇到一些很大的數或是很小的數。比如說地球的質量大約為$5972000000000000000000000$公斤，又如大腸桿菌的長度大小大約是$0.0000015$公尺。這樣很大的數或很小的數如果一直重複抄寫，很容易會多寫一個$0$或少寫一個$0$導致數據的不正確，於是將這些數字有一個統一的表示法就相當重要了。將一個整數$m$寫成$a\times 10^{n}$，其中$a$介於$1$到$10$之間(可以等於$1$但不能等於$10$)，$n$為整數，我們稱$a\times 10^{n}$為$m$的科學記號表示法。如$50000=5\times 10000=5\times 10^{4}$，$5\times 10^{4}$是一個科學記號的表示法。而$37\times 10^{4}$不是科學記號表示法，因為$37$超過$10$；$4.5\times 10^{1.3}$也不是科學記號表示法，因為$1.3$不是整數。
那要怎麼把一個正數表示為科學記號呢？

將比1大的數字轉換成科學記號

首先注意$a\times 10^{n}$就代表$a$的小數點往右移動$n$位。如$2{\color {red}.}345\times 1{\color {blue}000000}=2{\color {red}|}{\color {blue}345000}{\color {red}.}$，所以想要找出$a$，只需要反著作，也就是將小數點往左移動到範圍為$1$到$10$之間，可以等於$1$但不能等於$10$。
我們以$23450000$來作例子，因為$2{\color {red}|}{\color {blue}3450000}{\color {red}.}$，故${\color {red}a=2.345}$；藍色數字總共有${\color {blue}7}$個，而且是向左移動，故$23450000={\color {red}2.345}\times 10^{\color {blue}7}$。

例題$8$ 請寫出以下各數的科學記號。 ${\begin{matrix}(1)&2750000&(2)&48000000\end{matrix}}$

解 ${\begin{matrix}(1)&2750000&\\=&2|750000&\\=&2.75\times 10^{6}&\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}(2)&48000000&\\=&4|8000000&\\=&4.8\times 10^{7}&\end{matrix}}$

將比1小的數字轉換成科學記號

再來我們要學習如何將比$1$小的數字換成科學記號。首先注意$a\times 10^{-n}$就代表$a\times {\frac {1}{10^{n}}}$，也就是$a$的小數點往左移動$n$位。如$2{\color {red}.}345\times {\frac {1}{1{\color {blue}00000}}}=0{\color {red}.}{\color {blue}00002}{\color {red}|}345$，所以想要找出$a$，只需要反著作，也就是將小數點往右移動到範圍為$1$到$10$之間，可以等於$1$但不能等於$10$。
我們以$0.00002345$來作例子，因為$0{\color {red}.}{\color {blue}00002}{\color {red}|}345$，故${\color {red}a=2.345}$；藍色數字總共有${\color {blue}5}$個，而且是向右移動，故$0.00002345={\color {red}2.345}\times 10^{\color {blue}-5}$。

例題$9$ 請寫出以下各數的科學記號。 ${\begin{matrix}(1)&0.000007&(2)&0.000000924\end{matrix}}$

解 ${\begin{matrix}(1)&0.000007&\\=&0.000007|&\\=&7\times 10^{-6}&\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}(2)&0.000000924&\\=&0.0000009|24&\\=&9.24\times 10^{-7}&\end{matrix}}$

習題
請寫出以下各數的科學記號。
${\begin{matrix}(1)&900000&&(2)&58700000&&(3)&0.000023&&(4)&0.000000000314\end{matrix}}$

科學記號的展開

科學記號要還原回原本的數字，只要直接乘開即可。，也可以用移動小數點的方式計算。

大於1的正數展開

如$2.345\times 10^{7}=2.345\times 10000000=23450000$，也可以將小數點往左移動$7$格。
在這邊你可以注意一下$2.345\times 10^{\color {blue}7}=23450000$是一個${\color {blue}8}$位數。

例題$10$ 乘開以下科學記號。 ${\begin{matrix}(1)&7.3\times 10^{3}&(2)&5.734\times 10^{7}\end{matrix}}$

解 $(1)$方法一、直接乘開：$7.3\times 10^{3}=7.3\times 1000=7300$。 ${\color {white}(1)}$方法二、移動小數點：$7.3\times 10^{\color {red}3}$，將$7.3$往右移動${\color {red}3}$位為$7{\color {red}|300.}$。 $(2)$方法一、直接乘開：$5.734\times 10^{7}=5.734\times 10000000=57340000$。 ${\color {white}(2)}$方法二、移動小數點：$5.734\times 10^{\color {red}7}$，將$5.734$往右移動${\color {red}7}$位為$5{\color {red}|7340000.}$。

習題
展開下列各式，並觀察它們整數部分是幾位數。

題號	科學記號	展開的結果	整數部分為幾位數
$(1)$	$4.5\times 10^{\color {blue}3}$
$(2)$	$4.5\times 10^{\color {blue}4}$
$(3)$	$7.34\times 10^{\color {blue}6}$
$(4)$	$7.34\times 10^{\color {blue}7}$

你有發現什麼嗎？最後一行的數字和藍色數字有什麼關係？

小於1的正數展開

又如$2.345\times 10^{-5}=2.345\times 0.00001=0.00002345$。也可以將小數點往右移動$5$格。

例題$11$ 乘開以下科學記號。 ${\begin{matrix}(1)&7.3\times 10^{-3}&(2)&5.734\times 10^{-7}\end{matrix}}$

解 $(1)$方法一、直接乘開：$7.3\times 10^{-3}=7.3\times 0.001=0.0073$。 ${\color {white}(1)}$方法二、移動小數點：$7.3\times 10^{\color {green}-3}$，將$7.3$往左移動${\color {green}3}$位為$0{\color {green}.007|}3$。 $(2)$方法一、直接乘開：$5.734\times 10^{-7}=5.734\times 0.0000001=0.0000005734$。 ${\color {white}(2)}$方法二、移動小數點：$5.734\times 10^{\color {green}-7}$，將$5.734$往左移動${\color {green}7}$位為$0{\color {green}.0000005|}734$。

習題
展開下列各式，並觀察它們小數點後第幾位開始出現不為$0$的數字。

題號	科學記號	展開的結果	小數點後第幾位開始出現不為$0$的數字
$(1)$	$4.5\times 10^{\color {green}-3}$
$(2)$	$4.5\times 10^{\color {green}-4}$
$(3)$	$7.34\times 10^{\color {green}-6}$
$(4)$	$7.34\times 10^{\color {green}-7}$

你有發現什麼嗎？最後一行的數字和綠色數字的絕對值有什麼關係？

科學記號的數量級

若$a\times 10^{n}$是科學記號，則$10^{n}$稱為$a\times 10^{n}$的數量級。如$23450000=2.345\times 10^{7}$，則稱$10^{7}$為$23450000=2.345\times 10^{7}$的數量級。
由前面科學記號的展開，我們可以發現數量級與數的關聯性為：

1. 若$n$是$0$或正整數，則$a\times 10^{n}$的整數部分為$n+1$位數。
2. 若$n$是負整數，則$a\times 10^{n}$小數點後第$|n|$位開始不是$0$。

例題$12$ $(1)3.89\times 10^{15}$乘開之後，在小數點與第一個非零數字$9$之間總共有幾個零？ $(2)7.47\times 10^{-13}$乘開之後，小數點後第$15$位是多少？

解 $(1)3.89\times 10^{15}$乘開之後是$15+1=16$位數，而其中$3,8,9$占了三個位數，所以會有$16-3=13$個零。 $(2)7.47\times 10^{-13}$乘開之後，小數點後第$13$位不是$0$，是$7$，所以小數點後第$14$位是$4$，小數點後第$15$位是$7$。

將不是科學記號的數轉換成科學記號

將一個不是科學記號的數，如$37\times 10^{21}$轉換成科學記號，應該要怎麼做呢？我們底下舉例說明：

例題$13$ 將以下各數寫成科學記號。 ${\begin{matrix}(1)&37\times 10^{21}&(2)&0.00057\times 10^{12}\\(3)&45000\times 10^{-15}&(4)&0.0000634\times 10^{-17}\end{matrix}}$

解 $(1)37\times 10^{21}$要將$37$的小數點向左移動$1$位變成$3{\color {red}.7|}$，因為是向左移動，所以次方數加1，$37\times 10^{21}=3.7\times 10^{21{\color {red}+1}}=3.7\times 10^{22}$。 $(2)0.00057\times 10^{12}$要將$0.00057$的小數點向右移動$4$位變成$0{\color {blue}|0005}.7$，因為是向右移動，所以次方數減4，$0.00057\times 10^{12}=5.7\times 10^{12{\color {blue}-4}}=5.7\times 10^{8}$。 $(3)45000\times 10^{-15}$要將$45000$的小數點向左移動$4$位變成$4{\color {red}.5000|}$，因為是向左移動，所以次方數加4，$45000\times 10^{-15}=4.5\times 10^{-15{\color {red}+4}}=4.5\times 10^{-11}$。 $(4)0.0000634\times 10^{-17}$要將$0.0000634$的小數點向右移動$5$位變成$0{\color {blue}|00006}.34$，因為是向右移動，所以次方數減5，$0.0000634\times 10^{-17}=6.34\times 10^{-17{\color {blue}-5}}=6.34\times 10^{-22}$。

科學記號的大小

科學記號的大小比較：若$a\times 10^{m}$與$b\times 10^{n}$皆是科學記號，則：

1. 先比較$m$與$n$的大小。
2. 如果$m,n$一樣大，則再比較$a$、$b$的大小。

例子如下。

例題$14$ 比較以下各題的大小，在$\Box$填入$>$或$<$。 ${\begin{matrix}(1)&7.3\times 10^{15}\Box 9.4\times 10^{13}&(2)&5.73\times 10^{-22}\Box 6.37\times 10^{-22}\end{matrix}}$

解 $(1)$因為$10$的次方數$15{\color {red}>}13$，所以$7.3\times 10^{15}{\color {red}>}9.4\times 10^{13}$，$\Box$填入$>$。 $(2)$雖然$10$的次方數$-22=-22$但${\color {blue}5.73<6.37}$，所以$5.73\times 10^{-22}{\color {blue}<}6.37\times 10^{-22}$，$\Box$填入$<$。

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• 指數(高中數學)

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